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【导与练】2014届高三数学(理)一轮总复习:第四篇 平面向量、复数 第3节 Word版含解析





平面向量的数量积

及平面向量的应用

【选题明细表】 知识点、方法 数量积的运算 长度及垂直问题 夹角问题 平面向量的应用 一、选择题 1.(2012 年高考重庆卷)设 x∈R,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且 a⊥b,则 |a+b|等于( B ) (A) (B) (C)2 (D)10 题号 1、4、9 1、2、3、5 7、10 6、8、11、12

解析:∵a⊥b,∴x-2=0, ∴x=2. ∴|a+b|= = = = .故选 B.

2.(2013 乐 山 市 第 一 次 调 研 ) 已 知 两 点 A(-1,0),B(1,3), 向 量 a=(2k-1,2),若 ⊥a,则实数 k 的值为( C ) (A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2 解析:由 =(2,3),因为 ⊥a, 所以 2(2k-1)+2×3=0,

得 k=-1,故选 C. 3.(2012 年高考辽宁卷)已知两个非零向量 a、b 满足|a+b|=|a-b|,则下 面结论正确的是( B ) (A)a∥b (C)|a|=|b| (B)a⊥b (D)a+b=a-b

解析:法一 代数法:将原式平方得|a+b|2=|a-b|2, ∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,∴a·b=0,∴a⊥b, 故选 B.

法二 几何法:如图所示, 在?ABCD 中,设 =a, ∴ =a+b, =a-b, =b,

∵|a+b|=|a-b|, ∴平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形 ABCD 为矩形, ∴a⊥b,故选 B. 4.(2013 玉溪一中月考)已知|a|=6,|b|=3,a· b=-12,则向量 a 在向量 b 方 向上的投影是( A ) (A)-4 (B)4 (C)-2 (D)2 解析:cos<a,b>= = =- ,

向量 a 在向量 b 方向上的投影为 |a|cos<a,b>=6×(- )=-4, 故选 A. 5.(2012 东北四校联考)已知平面向量 a 和 b,|a|=1,|b|=2,且 a 与 b 的 夹角为 120°,则|2a+b|等于( A ) (A)2 (B)4 (C)2 (D)6 解 析 : 由 题 意 可 知 |2a+b|2=4a2+b2+4a·b=4|a|2+|b|2+4|a||b|·cos 120°=4,所以|2a+b|=2,故选 A. 6.(2013 成都市高三一诊模拟)已知向量 a=(cos θ,sin θ),向量 b=( ,1),则|2a-b|的最大值和最小值分别为( B ) (A)4 ,0 (B)4,0 (C)16,0 (D)4,4

解析:|2a-b|=|(2cos θ- ,2sin θ-1)| = = ,

所以最大值和最小值分别为 4,0. 故选 B. 二、填空题 7. 为 单 位 圆 上 三 点 A,B,C 满 足 . + + =0, 则 向 量 , 的夹角

解析:∵A,B,C 为单位圆上三点 ,

∴| |=| ∴- = ∴ =(

|=| |=1,又 + + , + )2= + +2

+ =0,

· ,

可得 cos< , ∴向量 , 答案:120°

>=- ,

的夹角为 120°.

8.(2011 年高考天津卷)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC, ∠ ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是 腰 DC 上 的 动 点 , 则 | 为 . +3 |的最小值

解析:如图建立平面直角坐标系, 设 C(0,b),则 B(1,b), 又 A(2,0),设 P(0,y), 则 +3 =(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y), ∴| +3 |2=25+(3b-4y)2,

∴当 3b-4y=0,即 y= b 时, | +3 |2 的最小值为 25. ∴| +3 |的最小值为 5. 答案:5 9.(2012 德州一模)已知 a=(m,n),b=(p,q),定义 a?b=mn-pq,下列等式 中, ①a?a=0;②a?b=b?a;③(a+b)?a=a?a+b?a; ④(a?b)2+(a· 2=(m2+q2)(n2+p2), b) 一定成立的是 .(填上所有正确等式的序号)

解析:由 a?b 的定义可知,①a?a=mn-mn=0,故①正确,②a?b=mn-pq,b? a=pq-mn,故②错误,③a+b=(m+p,n+q),所以(a+b)?a=(m+p)(n+q)-mn,而 a?a+b?a=pq-mn,故③错误,④(a?b)2=(mn-pq)2,(a·b)2=(mp+nq)2,所以 (a?b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),故④正确. 答案:①④ 三、解答题 10.已知 a、b、c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2). (1)若|c|=2 ,且 c∥a,求 c 的坐标; (2)若|b|= ,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角θ. 解:(1)设 c=(x,y),由 c∥a 和|c|=2 ,可得: ∴ 或

∴c=(2,4)或 c=(-2,-4). (2)∵(a+2b)⊥(2a-b), ∴(a+2b)· (2a-b)=0, 即 2a2+3a· b-2b2=0, ∴2|a|2+3a· b-2|b|2=0, ∴2×5+3a· b-2× =0, ∴a· b=- , ∴cos θ= =-1,

∵θ∈[0,π],∴θ=π. 即 a 与 b 的夹角大小为π. 11.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 · = · =k(k∈ R). (1)判断△ABC 的形状; (2)若 k=2,求 b 的值. 解:(1)∵ · =cbcos A, · =bacos C, ∴bccos A=abcos C, 根据正弦定理,得 sin Ccos A=sin Acos C, 即 sin Acos C-cos Asin C=0,sin(A-C)=0, ∴A=C,即 a=c. 则△ABC 为等腰三角形.

(2)由(1)知 a=c, 由余弦定理,得 · =bccos A=bc· · =k=2, 即 =2,解得 b=2. 12.(2012 山东省威海市高三第一次模拟)已知向量 m=(2cos x, cos x-sin x),n= ,且满足 f(x)=m· n. = .

(1)求函数 y=f(x)的单调递增区间; (2)设△ABC 的内角 A 满足 f(A)=2,a、 c 分别为角 A、 C 所对的边, b、 B、 且 · = ,求边 BC 的最小值. 解:(1)f(x)=2cos x sin x+ cos x) sin x· x-sin2 x=2 sin x· ( + cos cos x+cos2 x-sin2 x= sin 2x+cos 2x= 2sin ,

由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 故所求单调递增区间为 (2)由 f(A)=2sin (k∈Z). =2,0<A<π得 A= ,

∵ · = ,即 bccos A= , ∴bc=2, 又△ABC 中, a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2- bc≥2bc- bc =(2- )bc, ∴ =(2- )×2=4-2 , = -1.

∴amin=

即边 BC 的最小值为 -1