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第一章1.1.7柱、锥、台和球的体积教案教师版


1.1.7

柱、锥、台和球的体积

【学习要求】 1.理解祖暅原理的内容. 2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导. 3.掌握柱、锥、台体和球的体积公式. 4.能运用公式求柱体,锥体,台体和球的体积. 【学法指导】 通过柱、锥、台和球体的体积公式的推导,提高空间思维能力和空间想象能力,增强探索问题和解决问题的信心. 填一填:知识要点、记下疑难点 1.柱体的体积:一般柱体的体积公式 V= Sh ,其中 S 为底面面积,h 为棱柱的高. 1 1 2.棱锥的体积:V = Sh (S 为底面面积,h 为高),圆锥的体积为:V 圆锥= πR2h . 3 3 3.棱台的体积:V= 1 (S′+ S′S+S)h 3 ,其中 S′,S 分别为上、下底面面积,h 为棱台的高. . 4 3 πR 3 .

圆台的体积公式为:V 圆台=

1 πh(r2+rR+R2) 3

4.球的体积:设球的半径为 R,那么它的体积为 V 球=

研一研:问题探究、课堂更高效 [问题情境] 上一节我们学习了几何体的表面积,一般地,面积是相对平面图形来说的,对于空间图形需要研究它们的体积,本 节我们就来研究柱体、锥体、台体、球的体积和球的表面积问题. 探究点一 祖 原理 问题 1 我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式,它们的体积公式是什么? 答:

1 V 正方体=a3,V 长方体=abc,V 圆柱=πr2h,V 圆锥= πr2h. 3

问题 2 取一摞纸张放在桌面上(如下图所示) ,并改变它们的放置方法,观察改变 前后的体积是否发生变化?从这个事实中你得到什么启发? 答:体积没有发生变化,从这个事实中能够猜测出两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两 个几何体的体积相等. 小结:祖暅原理:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面 的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等. 探究点二 棱柱、圆柱和球的体积 问题 1 等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系如何? 答: 应用祖暅原理可以说明它们的体积相等. 问题 2 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式,推测柱体的体积计算公式? 答: 如果设 S 为底面面积,h 为高,一般柱体的体积公式为 V 柱=Sh. 问题 3 底面半径是 r,高是 h 的圆柱体的体积的计算公式如何表示? 答: V 圆柱=Sh=πr2h. 问题 4 观察下面的图,用同样大小的三个三棱锥能拼成一个三棱柱,说明了什么问题? 答: 说明三棱锥的体积是等底面积、等高的三棱柱体积的三分之一. 问题 5 由问题 4,你能得到锥体体积的计算公式吗? 1 答:如果一个锥体的底面积是 S,高是 h,那么它的体积是 V 锥体= Sh. 3 问题 6 由锥体的体积公式,你能得出圆锥的体积公式吗? 1 答: V 圆锥= πR2h. 3 问题 7 台体的上底面积 S′,下底面积 S, 高 h,则台体的体积是如何计算的? 答:台体的体积可以用两个锥体体积的差得到(如图), x S′ h S′ 1 1 1 1 1 ∵ = ,∴x= . V 台= S(h+x)- S′x= Sh+ Sx- S′x 3 3 3 3 3 x+h S S- S′ 1 1 1 1 h S′ 1 1 1 = Sh+ (S-S′)x= Sh+ (S-S′) = Sh+ ( S+ S′)h S′= h(S+ SS′+S′). 3 3 3 3 3 3 3 S- S′

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问题 8 由台体的体积公式,你能得出圆台的体积公式吗? 1 1 答:V 圆台= (S′+ S′S+S)h= π(r2+rR+R2) (r、R 分别为圆台上底、下底的半径) 3 3 问题 9 如何求球的体积呢? 4 答: 应用圆柱和圆锥的体积公式, 根据祖暅原理可以得到球的体积公式: V 球= πR3. 3 其中 R 为球的半径. 问题 10 柱体、锥体、台体的体积公式间有怎样的关系? 答: 例 1 如图所示, 在长方体 ABCD—A′B′C′D′中, 用截面截下一个棱锥 C—A′DD′, 求棱锥 C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比. 解:已知长方体可以看成直四棱柱 ADD′A′—BCC′B′,设它的底面 ADD′A′面积为 1 S,高为 h,则它的体积为 V=Sh.因为棱锥 C—A′DD′的底面面积为 S,高是 h, 2 1 1 1 1 5 所以棱锥 C—A′DD′的体积 VC—A′DD′= × Sh= Sh.余下的体积是 Sh- Sh= Sh. 3 2 6 6 6 所以棱锥 C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为 1∶5. 1 小结:由 V 锥体= Sh,在计算三棱锥的体积时,任何一个面都可以作底面,所以寻找底面和对应高易求的底是关键. 3 跟踪训练 1 正三棱柱侧面的一条对角线长为 2 且与该侧面内的底边所成角为 45° ,求此三棱柱体积. 解: 如图为正三棱柱 ABC—A1B1C1, 则有 AB1=2, ∠B1AB=45° , ∴AB=BB1= 2, ∴S△ABC 1 3 3 3 6 6 = × 2× × 2= .∴V 三棱柱= × 2= .即此三棱柱的体积为 . 2 2 2 2 2 2 例 2 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯(如图),共重 5.8 kg,已知螺帽的底面六边形边长是 12 mm,高是 10 mm,内孔直径是 10 mm,这一堆螺帽约有多少个(铁的密度是 7.8 g/cm3, π≈3.14)? 解:六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积和一个圆柱的体积的差.因为 V 正六棱锥= 1 3 6× × 12× (12× sin 60° )× 10 = 3× 122× ×10≈3.74×103(mm3) , V 圆 柱 ≈3.14×(10÷2)2× 10 = 2 2 3 3 3 3 3 3 0.785× 10 (mm ) . 所 以 一 个 螺 帽 的 体 积 V = 3.74× 10 - 0.785× 10 ≈2.96×10 (mm ) = 2.96(cm3).因此约有 5.8× 103÷(7.8×2.96)≈2.5×102(个).答: 这堆螺帽约有 250 个. 小结:不规则几何体的体积可通过对几何体分割,使每部分都能够易求得其体积,或者使所求体积等于整体几何体 体积减去部分几何体体积. 2 跟踪训练 2 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:(1)球的体积等于圆柱体积的 ; 3 (2)球的表面积等于圆柱的侧面积. 4 证明:(1)设球的半径为 R, 则圆柱的底面半径为 R, 高为 2R.因为 V 球= πR3, V 圆柱=πR2· 2R=2πR3, 3 2 所以,V 球= V 圆柱.(2)因为 S 球=4πR2,S 圆柱侧=2πR·2R=4πR2,所以 S 球=S 圆柱侧. 3 例 3 在球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA、PB、PC 两两垂直且 PA=PB=PC=a,求这个球的体积. 解: ∵PA、PB、PC 两两垂直, PA=PB=PC=a.∴以 PA、PB、PC 为相邻三条棱可以构 造正方体.又∵P、A、B、C 四点是球面上四点,∴球是正方体的外接球 ,正方体的对角 3 4 4 3 3 线是球的直径.∴2R= 3a,R= a.∴V= πR3= π? a?3= πa3. 2 3 3 ?2 ? 2 小结: 球既是中心对称又是轴对称的几何体,它的任何截面均为圆,过球心的截面都是轴 截面,因此球的问题常转化为圆的有关问题解决. 跟踪训练 3 球与圆台的上、下底面及侧面都相切,且球面面积与圆台的侧面积之比为 3∶4,则球的体积与圆台的 体积之比为 ( ) A.6∶13 B.5∶14 C.3∶4 D.7∶15 解析: 如图所示,作圆台的轴截面等腰梯形 ABCD,球的大圆 O 内切于梯形 ABCD.设球的半径为 R,圆台的上、 下底面半径分别为 r1、r2,由平面几何知识知,圆台的高为 2R,母线长为 r1+r2. ∵∠AOB=90° ,OE⊥AB(E 为切点),∴R2=OE2=AE· BE=r1· r2.由已知 S 球∶S 圆台侧=4πR2∶π(r1+r2)2=3∶4, 4 3 πR 3 2R2 2R2 6 2 16 2 (r1+r2) = R .V 球∶V 圆台= = = = ,故选 A 2 3 1 16 13 ?r + r ? - r r 2 2 2 2 1 2 1 2 π? r R -R 1+r1r2+r2? ·2R 3 3
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练一练:当堂检测、目标达成落实处 1.设正六棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 5,那么它的体积为 A.6 3 B. 3 C.2 3 D.2 1 1 3 解析: 因正六棱锥的高为 5-12=2, 所以 V= Sh= × 6× × 2= 3. 3 3 4 2.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大到原来的 ( B )

( B

)

3 A.2 倍 B.2 2倍 C. 2倍 D. 2倍 解析:由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的 2倍,则体积扩大到原来的 2 2倍. 3.直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,已知点 P、Q 分别为 AA1、CC1 上的点,而且满足 AP=C1Q,则四棱锥 B—APQC 的体积是 ( B ) 1 1 1 2 A. V B. V C. V D. V 2 3 4 3 课堂小结: 1.求几何体的体积,需要求与其体积有关的各个量,但有时各个量不一定都要求出, 而只需求出与其体积有关的各量的组合. 2.“割补”是求体积的一种常用策略,运用时,要注意弄清“割补”前后几何体体积之间的数量关系. 3.解答组合体问题要注意知识的横向联系,善于把立体几何问题转化为平面几何问题, 运用方程思想与函数思想解决,融计算、推理、想象于一体. 4.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为

S′=S S′=0 1 1 V 柱体=Sh――――V 台体= h(S+ SS′+S′)―――→V 锥体= Sh. 3 3

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