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吉林省舒兰市第一中学高中数学人教A版必修3导学案 《3.3.2均匀随机数的产生》

【学习目标】 1.了解均匀随机数产生的方法与意义. 2.会利用随机模拟试验估计几何概型的概率. 【学习重点】如何利用均与随机数估计试验的概率.

课 前 预 习 案
【知识链接】 问题 1、 (1)什么是几何概型? (2)几何概型的概率公式是怎样的? (3)几何概型的特点是什么? 【知识梳理】 均匀随机数 (1)产生方法:方法一,利用几何概型产生;方法二,用转盘产生;方法三,用 ______或 ______产生. (2)应用:利用均匀随机数可以进行随机模拟试验估计______的概率. 重难点突破: 1.均匀随机数的产生 剖析:产生均匀随机数和产生整数随机数的办法基本相同,都可以采用计算器和 Excel 软件产生,只是具体操作时所用的函数略有不同.下面以产生之间的均匀随机数为例来说明 这种随机数的产生方法. (1)计算器法. 比如我们要产生之间的均匀随机数,具体操作如下:

(2)计算机法. 比如首先打开 Excel 软件,在想要产生随机数的第一个单元格中输入“=rand()”,再按 Enter 键,这时就在此单元格中产生了一个 之间的均匀随机数,选中此单元格“复制”,再点 选其他 单元格中的一个,拖动鼠标直到最后一个单元格,执行“粘贴”操作,这时就得到了 若干个之间的均匀随机数. 2.产生范围的均匀随机数 剖析:我们知道 rand()函数可以产生范围内的均匀随机数,但事实上我们需要用到的随机 数的范围是各种各样的,下面就介绍如何将范围内的随机数转化为之间的随机数. 初探:先利用计算器或计算机产生内的均匀随机数 a1,因为 0≤a1≤1,且 b-a>0,所以 0≤a1(b-a)≤b-a,∴a≤a1(b-a)+a≤b. 探究结果:rand()*(b-a)+a 表示之间的均匀随机数. 特例:若 0≤a1≤1,则-0.5≤a1-0.5≤0.5,即-1≤2(a1-0.5)≤1.所以当我们需要范围 内的均匀随机数时,可以采用(rand()-0.5)? 2,也可以采用 2rand()-1 来产生.
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自主小测 1、 下 列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是 ( ) A.旋转的次数的多少不会影响估计的结果 B.旋转的次数越多,估计的结果越精确 C.旋转时可以按规律旋转 D.转盘的半径越大,估计的结果越精确 2.b1 是上的均匀随机数,b=3(b1-2),则 b 是区间________上的均匀随机数.

课上导学案
【 例题讲解】 【例题 1】 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,用随机 模拟方法求这个正方形的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率.

反思:利用随机模拟方法估计图形面积的步骤是:①把已知图形放在平面直角坐标系中, 将图形看成某规则图形(长方形或圆等)的一部分,并用阴影表示;②利用随机模拟方法在规则 N1 图形内任取一点,求出落在阴影部分的概率 P (A)= ;③设阴影部分的面积是 S,规则图形 N S N1 N1 N1 的面积是 S′,则有 = ,解得 S= S′,则所求图形面积的近似值为 S′. N N S′ N 【当堂检测】 1.用计算器或计算机产生 20 个 0~1 之间的随机数 x,但是基本事件都在区间上,则需 要经过的变换是( ) A.y=3x-1 B.y=3x+1 C.y=4x+1 D.y=4x-1 3 2. 利用随机模拟方法计算如图所示的阴影部分(y=x 和 x=2 以及 x 轴所围成的部分)的面 积.

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步骤是:(1)利用计算器或计算机产生两组 0 到 1 之间的均匀随机数,a1=RAND,b1= RAND; (2)进行伸缩变换 a=2a1,b=8b1; (3)数出落在阴影内的样本点数 N1(满足 b<a3 的点(a,b)的个数),用几何概型公 式计算阴 影部分的面积. 例如,做 1 000 次试验,即 N=1 000,模拟得到 N1=250. 由

S阴影 N ≈ 1 ,得 S 阴影≈________. N S矩

3.取一根长度为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,用随机模拟方法求出剪得两段的 长都不小于 1 m 的概率.

【问题与收获】

基础知识答案:(1)计算机 计算器 (2)几何概型 自主小测答案: 1、 B 旋转时要无规律旋转,否则估计的结果与实际有较大的误差,所以 C 项不正确; 转盘的半径与估计的结果无关,所以 D 项不正确;旋转的次数越多,估计的结果越精确,所 以 B 项正确,A 项不正确. 2、 0≤b1≤1, 则函数 b=3(b1-2)的值域是-6≤b≤-3, 即 b 是区间上的均匀随机数. 例题答案: 【例题 1】 解:步骤:(1)用计算机产生一组内的均匀随机数,a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a =12a1 得到内的均匀随机数.

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(3)统计试验总次数 N 和内随机数的个数 N1. N1 (4)计算频率 . N 记事件 A={面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间}={边长介于 6 cm 与 9 cm 之间}, 则 P(A)的 N1 近似值为 . N 【例题 2】 解:步骤:(1)利用计算机产生两组 内的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND. (2)进行平移和伸缩变换,a=2(a1-0.5),b=2b1,得到一组内的均匀随机数和一组内的均 匀随机数. (3)统计试验总数 N 和落在阴影内的点数 N1. N1 (4 )计算频率 ,即为点落在阴影部分的概率的近似值. N S (5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为 P= , 4 则 N1 S = . N 4

4N1 4N 1 故 S= ,即阴影部分面积的近似值为 . N N 当堂检 测答案:1.D 2.4 S 阴影≈

N1 250 · S 矩= ×2×8=4. N 1000

3.分析:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍内的任意数,并且内的 每一个实数被取到都是等可能的.因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应上的均 匀随机数,其中取得的内的随机数就表示剪断位置与端点距离在内,也就是剪得的两段长都 不小于 1 m.这样取得的内的随机数个数与内个数之比就是事件 A 发生的频率. 解:设剪得两段的长都不小于 1 m 为事件 A. (1)利用计算器或计算机产生一组 0 到 1 之间的均匀随机数,a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=3a1. (3)统计 出内随机数的个数 N1 和内随机数的个数 N. (4)计算频率

N1 即为概率 P(A)的近似值. N

4.解:设事件 A={所投点落入小正方形内}. ①用计算机产生两组上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND. ②经过平移和伸缩平移变换,a=3a1-1.5,b=3b1-1.5,得上的均匀随机数. ③统计落入大正方形内的点数 N(即上 述所有随机数构成的点(a,b)的个数)及落入小正方 形内的点数 N1(即满足-1<a<1 且-1<b<1 的点(a,b)的个数). ④计算

N1 ,即为概率 P(A)的近似值. N

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