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【数学】广东省东莞市第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试(理)

广东省东莞市第一中学 2014-2015 学年 高二上学期期中考试数学(理)试题 注意:本卷共三大题,20 小题,满分 150 分,时间 120 分钟,不准使用计算器 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 不等式 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 的解集是( A.( ? ) D. ( ?? ,? ) ? (1,?? ) ) 1 ,1 ) 2 B.(1, ? ?) C. (??,1) ? (2,??) 1 2 中, a1 ? 2. 在数列 ?a n ? A. ? 16 3 1 , a n ? 2(?1) n a n ?1 (n ? 2) ,则 a5 ? ( 3 8 16 8 B. C. ? D. 3 3 3 3. 在 ?ABC中,已知b ? 40, c ? 20, C ? 600 ,则此三角形的解为( A.有一解 B.有两解 C.无解 ) D.有解但解的个数不确定 ) D. a ? d ? b ? c 2 4.若 a,b,c,d ? R,a ? b, c ? d , 则下列不等式成立的是 ( A.ac>bd 2 2 B. a ? b 2 2 C. c ? d 5. 已知等比数列 ?a n ? 的公比为正数,且 a3 .a9 ? 2a5 , a2 ? 1, 则a1 ? ( A. ) 1 2 B. 2 2 C. 2 D.2 ) 6. 已知等差数列{an}中, a2 ? 7, a4 ? 15, 则前 10项的和S10 ? ( A.100 B.210 C.380 D.400 7. 设x ? y ? z, n ? N , 且 A. 2 B.3 1 1 n ? ? 恒成立,则 n 的最大值为( x? y y?z x?z C.4 D.5 ) 8. 某公司准备进行两种组合投资,稳健型组合投资是由每份金融投资 20 万元,房地产投资 30 万元组成;进取型组合投资是由每份金融投资 40 万元,房地产投资 30 万元组成。已知 每份稳健型组合投资每年可获利 10 万元, 每份进取型组合投资每年可获利 15 万元。 若可作 投资用的资金中,金融投资不超过 160 万元,房地产投资不超过 180 万元,要使一年获利总 1 额最多,则稳健型组合投资与进取型组合,合投资分别注入的份数分别为( A. x=4,y=2 B.x=3,y=3 C.x=5,y=1 D.x=5,y=2 ) 二、填空题:本题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9. 在 ?ABC中,AB ? 3, BC ? 13, AC ? 4, 则A ? . . 10. 已知等比数列 ?a n ?的各项均为正数,前 n 项之积为 Tn,若 T5 ? 1, 则a3 ? 11. 已知 ?ABC的面积为 3 ,AC ? 2, ?BAC ? 600 , 则BC ? 2 . 12. 数列 ?a n ?的通项公式是 a n ? 1 n ? n ?1 ,若前 n 项的和为 10,则项数 n= . 13. 在数列 ?a n ? 中, a 3 ? 2, a7 ? 1, 如果数列? ? 1 ? a 11 ? ?是等差数列,那么 ? a n ? 1? . . 14. 设 x,y 满足约束条件 ? ?x? y ?a ,且 z ? x ? ay 的最小值为 7,则 a= ? x ? y ? ?1 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤。 a, b, c 15. (本小题满分 14 分) ?ABC的内角A, B, C所对的边分别为 (1) 在?ABC中,a ? b ? 3 ? 2, A ? 600 , B ? 450 , 求a, b c ? 2a, 求 cos B的值 (2)若 a, b, c成等比数列,且 2 16. (本小题满分 12 分) (1)若关于 x 的不等式 - 1 2 x ? 2 x ? mx 的解集为 ?x | 0 ? x ? 2?, 求实数 m的值 2 (2)已知 x,y 都是正数,若 4 x ? y ? 6, 求 1 1 ? 的最小值 x y 的前n项和S n ? 17. (本小题满分 14 分)已知数列 ?a n ? (1)求数列 ?a n ? 的通项公式 . (2)若数列 ?b n ?满足: bn ? 3n 2 ? n , n ? N? . 2 1 (a n ? 2) ? 2 n , n ? N ? ,试求 ?b n ? 的前n项和公式Tn . 3 3 18. (本题满分 12 分)在海岸 A 处,发现北偏东 450 方向,距离 A 为 nmile 的 B 处 ( 3, -1 ) 有一艘走私船,在 A 处北偏西 750 方向,距离 A 为 2nmile 的 C 处有一艘缉私艇奉命以 10 3 nmile/h 的速度追截走私船,此时,走私船正以 10 nmile/h 的速度从 B 处向北偏东 300 方向逃窜,问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间. 19. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 3 . 2 f ( x) ? 3a ? 1对一切x ? R恒成立,求实数 a的取值范围; (1)关于 x的不等式 (2)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 1; (3)函数 f ( x)在区间上- 1 ,2 有上零点,求实数 a 的取值范围. ? ? 的首项a 1 ? 20. (本题满分 14 分)已知数列 ?a n ? 4 3an 3 , an?1 ? , n ? N? . 5 2an ? 1 (1)求数列 ?a n ?通项公式; (2)记 S n ? 1 1 1 ? ? ... ? , 若S n ? 101 , 求最大正整数 n的值; a1 a2 an (3)是否存在