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高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》练习题(含详解)


数学选修 4-4 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.若直线的参数方程为 ?

坐标系与参数方程

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t



2 3 3 C. 2
A.

2 3 3 D. ? 2
B. ?

2.下列在曲线 ?

? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ?
B. ( ?



A. ( , ? 2) 3.将参数方程 ?

1 2

3 1 , ) 4 2

C. (2, 3)

D. (1, 3)

? x ? 2 ? sin 2 ? ? (? 为参数) 化为普通方程为( 2 ? y ? sin ? ?
B. y ? x ? 2 C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) )

) D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

A. y ? x ? 2

4.化极坐标方程 ? 2 cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A. x ? y ? 0或y ? 1
2 2

B. x ? 1

C. x ? y ? 0或x ? 1
2 2

D. y ? 1

5.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2,



?
3

)

B. (2, ?

?
3

)

C. (2,

2? ) 3

D. (2, 2k? ? )

?
3

), (k ? Z )

6.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 二、填空题 1.直线 ? B.两条直线

C.一条直线和一个圆

D.一个圆

? x ? 3 ? 4t (t为参数) 的斜率为______________________。 ? y ? 4 ? 5t
? x ? et ? e ? t ? (t为参数) 的普通方程为__________________。 t ?t ? y ? 2(e ? e ) ?

2.参数方程 ?

3.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t
1

则 AB ? _______________。

1 ? ?x ? 2 ? 2 t ? (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为______________。 4.直线 ? ? y ? ?1 ? 1 t ? ? 2
5.直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 的极坐标方程为____________________。 三、解答题 1.已知点 P( x, y) 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 y 上的动点, (1)求 2x ? y 的取值范围;

(2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

2.求直线 l1 : ?

?x ? 1? t ? (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P ? y ? ?5 ? 3t ?

与 Q(1, ?5) 的距离。

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 3.在椭圆 16 12

数学选修 4-4 [综合训练 B 组]
一、选择题 1.直线 l 的参数方程为 ? 是( )

坐标系与参数方程

?x ? a ? t (t为参数) , l 上的点 P1 对应的参数是 t1 ,则点 P1 与 P(a, b) 之间的距离 ?y ? b ? t

2

A. t1

B. 2 t1

C. 2 t1

D.

2 t1 2

1 ? ?x ? t ? 2.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ?y ? 2 ?
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线



D.两条射线

1 ? ?x ? 1? 2 t ? 3.直线 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点, ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2
则 AB 的中点坐标为( A. (3, ?3) B. (? 3,3) ) C. ( 3, ?3) D. (3, ? 3) )

4.圆 ? ? 5cos? ? 5 3sin ? 的圆心坐标是( A. ( ?5, ?

4? ) 3

B. (?5,

?
3

)

C. (5,

?
3

)

D. ( ?5,

5? ) 3


5.与参数方程为 ?

?x ? t ? ? y ? 2 1? t ?

(t为参数) 等价的普通方程为(
y2 ? 1(0 ? x ? 1) 4

A. x ?
2

y2 ?1 4 y2 ? 1(0 ? y ? 2) 4

B. x ?
2

C. x ?
2

D. x ?
2

y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) 4


6.直线 ?

? x ? ?2 ? t (t为参数) 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为( ? y ? 1? t
B. 40

A. 98

1 4

C. 82

D. 93 ? 4 3

二、填空题

1 ? ?x ? 1? 1.曲线的参数方程是 ? t (t为参数,t ? 0) ,则它的普通方程为__________________。 ? y ? 1? t2 ?
2.直线 ?

? x ? 3 ? at (t为参数) 过定点_____________。 ? y ? ?1 ? 4t
2 2

3.点 P(x,y)是椭圆 2 x ? 3 y ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________。
3

4.曲线的极坐标方程为 ? ? tan ? ?

1 ,则曲线的直角坐标方程为________________。 cos ?

5.设 y ? tx(t为参数) 则圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的参数方程为__________________________。 三、解答题 1.参数方程 ?

? x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) (? 为参数) 表示什么曲线? ? y ? sin ? (sin ? ? cos ? )

2.点 P 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,求点 P 到直线 3x ? 4 y ? 24 的最大距离和最小距离。 16 9

3.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程。

?
6



(2)设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。
2 2

数学选修 4-4 [提高训练 C 组]
一、选择题

坐标系与参数方程.

1.把方程 xy ? 1 化为以 t 参数的参数方程是(



4

1 ? ?x ? t 2 A. ? 1 ? y ? t?2 ?

? x ? sin t ? B. ? 1 ? y ? sin t ?

? x ? cos t ? C. ? 1 ? y ? cos t ?

? x ? tan t ? D. ? 1 ? y ? tan t ?


2.曲线 ?

? x ? ?2 ? 5t (t为参数) 与坐标轴的交点是( ? y ? 1 ? 2t
2 5 1 2 ( B. (0, )、 , 0) 1 1 5 2 5 (8, D. (0, )、 0) 9

( A. (0, )、 , 0)

(8, C. (0, ?4)、 0)
3.直线 ?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为( y ? 2?t ?
12 5 5 9 10 D. 5
B.



12 5 9 5 C. 5
A.

4.若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? 则 PF 等于( A. 2 C. 4 B. 3 D. 5 )

? x ? 4t 2 ? y ? 4t

(t为参数) 上,

5.极坐标方程 ? cos 2? ? 0 表示的曲线为( A.极点 C.一条直线 B.极轴 D.两条相交直线



6.在极坐标系中与圆 ? ? 4sin ? 相切的一条直线的方程为( A. ? cos ? ? 2 C. ? ? 4 sin(? ? B. ? sin ? ? 2



?
3

)

D. ? ? 4 sin(? ?

?
3

)

二、填空题 1.已知曲线 ?

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(t为参数,p为正常数) 上的两点 M , N 对应的参数分别为 t1和t2, , 且t1 ? t2 ? 0 ,

那么 MN =_______________。

5

2.直线 ?

? x ? ?2 ? 2t ? ? y ? 3 ? 2t ?

(t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______。

3.圆的参数方程为 ?

? x ? 3sin ? ? 4cos ? (? 为参数) ,则此圆的半径为_______________。 ? y ? 4sin ? ? 3cos ?

4.极坐标方程分别为 ? ? cos ? 与 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距为_____________。

5.直线 ?

? x ? t cos ? ? x ? 4 ? 2cos ? 与圆 ? 相切,则 ? ? _______________。 ? y ? t sin ? ? y ? 2sin ?

三、解答题

1 t ? ?t ? x ? 2 (e ? e ) cos ? ? 1.分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 化为普通方程: ? y ? 1 (et ? e ? t ) sin ? ? ? 2
(1) ? 为参数, t 为常数; (2) t 为参数, ? 为常数;

2.过点 P (

10 , 0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x2 ? 12 y2 ? 1 交于点 M , N , 2

求 PM ? PN 的值及相应的 ? 的值。

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-4
一、选择题

坐标系与参数方程

[基础训练 A 组]

6

1.D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C

k?

y ? 2 ?3t 3 ? ?? x ? 1 2t 2 3 1 时, y ? 4 2

转化为普通方程: y 2 ? 1 ? x ,当 x ? ?

转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ? [2,3], y ?[0,1]

? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ? x 2 ? y 2 ? 0, 或? cos ? ? x ? 1
(2, 2k? ? 2? ), (k ? Z ) 都是极坐标 3

? cos? ? 4sin ? cos? ,cos? ? 0, 或? ? 4sin ? ,即? 2 ? 4? sin ?
则 ? ? k? ?

?
2

, 或 x2 ? y 2 ? 4 y

二、填空题 1. ?

5 4

k?

y?4 ? 5 t 5 ? ?? x ?3 4 t 4

x2 y 2 ? ? 1, ( x ? 2) 2. 4 16

y ? t ? x ? et ? e ? t ? x ? 2 ? 2e y y ? ? ?? ? (x ? ) x ? ? ( ) ?y y 2 2 ? et ? e ? t ?t ? ? x ? ? 2e ?2 ? ? 2

4

3.

5 2

将?

? x ? 1 ? 3t 1 5 5 ) 代入 2 x ? 4y ? 5 t ? ,则 B ( , 0 ,而 A( 1 , 2 ) 得 ,得 AB ? 2 2 2 ? y ? 2 ? 4t 1 2 2 2 14 ,弦长的一半为 22 ? ( , ? ) ? 2 2 2 2

4. 14

直线为 x ? y ? 1 ? 0 ,圆心到直线的距离 d ?

得弦长为 14 5. ? ?

?
2

??

? c o s c o? ? s i?n s? n ? s ? ? i
? x ? cos ? , ? y ? 1 ? sin ?

0 ,?c o ?(,取 ?)? ?0? ? s?

?
2

三、解答题 1.解: (1)设圆的参数方程为 ?

2x ? y ? 2cos? ? sin ? ? 1 ? 5 sin(? ? ? ) ?1 ?? 5 ?1 ? 2x ? y ? 5 ?1
(2) x ? y ? a ? cos ? ? sin ? ? 1 ? a ? 0

7

? a ? ?( c o? ? s ? a ? ? 2 ?1
2.解:将 ?

s?i n ) ?1 ? ?

? ? ?in? 2 s (
4

)

1

?x ? 1? t ? 代入 x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? 2 3 , ? y ? ?5 ? 3t ?
2 2

得 P(1 ? 2 3,1) ,而 Q(1, ?5) ,得 PQ ? (2 3) ? 6 ? 4 3 3.解:设椭圆的参数方程为 ?

4 cos ? ? 4 3 sin ? ? 12 ? x ? 4 cos ? ? ,d ? 5 ? y ? 2 3 sin ? ?

?

4 5 co? ? s 5

3 s ? n? i

4 5 ? 3 5

2 ? o? ( ? ) c s 3

?

3

? 当 c o s (?

?
3

?) 时, d m i n? 1

4 5 , 。 ,此时所求点为 ( 2 ? 3 ) 5

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数学选修 4-4
一、选择题 1.C 2.D 距离为 t1 ? t1 ?
2 2

坐标系与参数方程

[综合训练 B 组]

2 t1

y ? 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ? 2, 或x ? ?2 ,所以表示两条射线
t ?t 1 3 2 (1 ? t )2 ? (?3 3 ? t ) ? 16 ,得 t 2 ? 8t ? 8 ? 0 , t1 ? t2 ? 8, 1 2 ? 4 2 2 2

3.D

1 ? ?x ? 1? 2 ? 4 ?x ? 3 ? ? 中点为 ? ?? ? ? y ? ?3 3 ? 3 ? 4 ? y ? ? 3 ? ? 2
4.A 圆心为 ( , ?

5 2

5 3 ) 2

5.D

y2 y2 2 2 x ? t, ? 1? t ? 1? x , x ? ? 1, 而t ? 0, 0 ? 1 ? t ? 1, 得0 ? y ? 2 4 4
2

8

6.C

? 2 ? x ? ?2 ? 2t ? ? x ? ?2 ? t ? 2 ,把直线 ? x ? ?2 ? t 代入 ?? ? ? ? y ? 1? t ? y ? 1? t ? y ? 1 ? 2t ? 2 ? ? 2

( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 得 (?5 ? t )2 ? (2 ? t )2 ? 25, t 2 ? 7t ? 2 ? 0
t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 41 ,弦长为 2 t1 ? t2 ? 82
二、填空题 1. y ?

x( x ? 2) ( x ? 1) ( x ? 1) 2

1 1 1? x ? ,t ? , 而 y ? 1? t 2 , t 1? x
即 y ? 1? (

1 2 x( x ? 2) ) ? ( x ? 1) 1? x ( x ? 1) 2

2. (3, ?1)

y ?1 4 ? , ?( y ? 1 ) ? 4 ? 1 2?对于任何 a 都成立,则 x ? 3 ,且y ? ? 1 a x 0 x?3 a

3. 22

x2 y 2 ? ? 1 ,设 P( 6 c o s , 2?s i n ) 椭圆为 , ? 6 4

x ? 2 y ? 6 cos? ? 4sin ? ? 22 sin(? ? ? ) ? 22
4. x ? y
2

? ? t a n??

1 s i? n ? ,? c2o s? ? 2 co? s c o?s

s ? n2? , i

2

c ? s ? 即? 2 n y , ?o si? x

4t ? ?x ? 1? t2 ? 5. ? 2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?

x2 ? (tx)2 ? 4tx ? 0 ,当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, x ?

4t ; 1? t2

4t ? ?x ? 1? t2 4t ? 而y? tx ,即 y ? ,得 ? 2 2 1? t ? y ? 4t ? 1? t2 ?
2

三、解答题 1.解:显然

y y2 1 1 ? tan ? ,则 2 ? 1 ? , cos 2 ? ? 2 2 y x x cos ? ?1 x2

x ? c o 2 ? ? s i?n s

1 c? ? os 2

1 2 tan ? s? ? 2 2 ?c ? s ? in o 2 2 1 t a? ? n

?

2

? cos

9

1 即x? ? 2

y y ?1 1 y2 y x ? x ? , x(1 ? 2 ) ? ? 1 2 2 2 y y y x x 1? 2 1? 2 1? 2 x x x 2

得x?

y2 y ? ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 x x 12cos ? ? 12sin ? ? 24 5

2.解:设 P(4cos ? ,3sin ? ) ,则 d ?

12 2 cos(? ? ) ? 24 4 即d ? , 5
当 cos(? ? 当 cos(? ?

?

?
?
4 4

) ? ?1 时, d max ? ) ? 1 时, d min

12 (2 ? 2) ; 5 12 ? (2 ? 2) 。 5

? ? ? 3 x ? 1 ? t cos t ?x ? 1? ? ? ? 6 2 3.解: (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2
? 3 t ?x ? 1? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 (2)把直线 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 2 2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-4
一、选择题 1.D 2.B

坐标系与参数方程

[提高训练 C 组]

xy ? 1 , x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制
2 1 1 ,而 y ? 1 ? 2t ,即 y ? ,得与 y 轴的交点为 (0, ) ; 5 5 5 1 1 1 当 y ? 0 时, t ? ,而 x ? ?2 ? 5t ,即 x ? ,得与 x 轴的交点为 ( , 0 ) 2 2 2
当 x ? 0 时, t ?
10

3.B

? x ? 1 ? 5t ? ? x ? 1 ? 2t ? ? ?? ? ?y ? 2 ? t ? y ? 1 ? 5t ? ? ?

2 ? x ? 1 ? 2t 5 ,把直线 ? 代入 1 ?y ? 2 ?t 5

x2 ? y 2 ? 9 得 (1 ? 2t )2 ? (2 ? t )2 ? 9,5t 2 ? 8t ? 4 ? 0
12 8 16 12 5 t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? (? )2 ? ? ,弦长为 5 t1 ? t2 ? 5 5 5 5
4.C 5.D 6.A 抛物线为 y 2 ? 4 x ,准线为 x ? ?1 , PF 为 P(3, m) 到准线 x ? ?1 的距离,即为 4

? cos 2? ? 0, cos 2? ? 0, ? ? k? ?

?
4

,为两条相交直线

? ? 4sin ? 的普通方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , ? cos? ? 2 的普通方程为 x ? 2
圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 与直线 x ? 2 显然相切

二、填空题 1. 4p t1 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴。即 x 轴, M N ? 2 p1 t? 2 t ?2

p1 t 2

2. (?3, 4) ,或 (?1, 2)

2 2 1 (? 2t )2 ? ( 2t ) 2 ? ( 2) ,2t ? , t ? ? 2 2

3. 5

由?

n ? ?x ? 3 s i ? ? 4 c o s 2 得 x ? y 2 ? 25 n ? ?y ? 4 s i? ? 3 c o s
1 1 , 0和 ( 0 , ) ) 2 2

4.

2 2

圆心分别为 (

5.

? 5? ,或 6 6

2 2 ? 直线为 y ? x t a n ,圆为 ( x ? 4) ? y ? 4 ,作出图形,相切时,

易知倾斜角为 三、解答题

? 5? ,或 6 6

1.解: (1)当 t ? 0 时, y ? 0, x ? cos ? ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 当 t ? 0 时, c o ? ? s

x 1 t ?t (e ? e ) 2
x2 ?

, s? n i?

y 1 t ?t (e ? e ) 2
?1

而 x ? y ? 1,即
2 2

y2 1 t (e ? e ? t ) 2 4

1 t (e ? e ? t ) 2 4

11

(2)当 ? ? k? , k ? Z 时, y ? 0 , x ? ?

1 t (e ? e?t ) ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 2 ? 1 t ?t 当 ? ? k? ? , k ? Z 时, x ? 0 , y ? ? (e ? e ) ,即 x ? 0 ; 2 2

2x 2x 2y ? t ?t ? t ?e ? e ? cos ? ?2e ? cos ? ? sin ? k? ? ? , k ? Z 时,得 ? 当? ? ,即 ? 2 ?e t ? e ? t ? 2 y ? 2e ? t ? 2 x ? 2 y ? ? sin ? cos ? sin ? ? ?
得 2e ? 2e
t ?t

?(

2x 2y 2x 2y ? )( ? ) cos ? sin ? cos ? sin ?



x2 y2 ? 2 ?1。 cos 2 ? sin ?

? 10 ? t cos ? ?x ? 2.解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线并整理得 2 ? y ? t sin ? ?
(1 ? sin 2 ? )t 2 ? ( 10 cos ? )t ? 3 ?0 2

3 2 则 PM ? PN ? t1t2 ? 1 ? sin 2 ? ? 3 ? 2 所以当 sin ? ? 1 时,即 ? ? , PM ? PN 的最小值为 ,此时 ? ? 。 2 4 2

12


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