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数列的概念和简单表示(上课用)


2.1.1数列的概念 和简单表示

一.复习:
确定性

互异性
无序性

集合元素的性质 函数的概念

一、创设情境
(1)国际象棋起源于古印度,关于国际象棋有这样一 个传说,国王想赏赐国际象棋的发明者,于是有下面一段对 话· · · · 6 5 63 4 3 2

1 2 2

2

2

2

请在棋盘的第1格子里放 1颗麦子,在第 2个格子 陛下赏小 你想得到 陛下您的 里放2颗麦子,第3个格 人几粒麦 什么样的 多少麦子? 国库里麦 子里放4颗麦子,以此类 子就行了 。 OK 子够搬吗? 赏赐? 推。后面第一格里的麦 子是前一格子里的麦粒 数的2倍,直到第64格。

…2 1+2+22+…+263=? ?? ?? ?? ?
2

?

一、创设情境
(2)庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭。

木棒

1 2

?1? ? ? ?2?

2

?1? ? ? ?2?

3

?1? ?1? … ? ? ? ? ?2? ?2?
4 5

二.引入:
看下面一组实例: (1)堆放的钢管 4, 5,6,7,8,9,10 (2) 正整数1,2,3,4,…的倒数 1,1/2,1/3,1/4… (3)某种细胞分裂问题: 1,2,4,8,16,… (4)?1的正整数次幂: ?1,1,?1,1,… (5) 无穷多个1排成一列数: 1,1,1,…

共同特点 ?
1、都是一列数;

2、有一定的次序。

三、数列的概念
1.数列及其有关概念: (1)按照一定次序排成的一列数称为数列 (2)数列中每个数都叫做这个数列的项 (3)数列的一般形式可以写成:

a1 , a2 , a3 ,?, an ,?, 简记为{an },其中a1称为数列 {an }的第1项(或首项),a2称为第2项, ?,an 称为第n项.

(4)数列的分类:
数列

有穷数列

无穷数列

项 数 有 限 的 数 列

项 数 无 限 的 数 列

数 列 分 类

递增数列
项 的 值 随 项 数 增 大 而 增 大

递减数列
项 的 值 随 项 数 增 大 而 减 小

摆动数列
项 的 值 随 项 数 增 大 大 小 变 化

常数数列
项 的 值 随 项 数 增 大 不 变

探究:数列1,3,5,7,9,… 的每一项与这一项的序号的对
应关系是什么? 序号 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9 6 11 7 …n 13 2n-1

一般地,如果数列?a n ?的第n项与序号n之间可以 用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列

四、数列的通项公式及其举例

an ?formula f (n) 的通项公式(the of term).

例1. 已知数列的第n项 an = 2n ? 1 写出这个数列的首项、第二项和第三项.

一个数列不一定都有通项公式,即使有也不一定唯一.

例2.已知数列?an ? 的通项公式,写出这个数列
n (?1) n (1)an ? ; (2)an ? n 的前5项,并作出它的图象: n ?1 2

数列可以用通项公式来描述,也可以通过列表或图象来表 示.数列在平面直角坐标系中的图象是一些孤立的点.

思考: (1)集合{4,5,6,7,8,9,10}与数列4,5,6,7,8,9,10 是否相同? 不相同。因为集合元素无序而数列元素有序。

(2)数列10,9,8,7,6,5,4与数列4,5,6,7,8,9,10是否相同 不相同。因为数列元素是有序的。 (3) an与{an}是否一样?数列的项与项数是否一样?

(4)实质:

不一样。

从映射、函数的观点看,数列可以看作是一 个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1, 2 , … , n} )的函数,当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值,通项公式即相 应的函数解析式,即数列是特殊的函数。

例3.写出下面数列的一个通项公式, 使它的前4项分别是下列各数:
? (1)1,3,5,7
2 ?1 3 ?1 4 ?1 5 ?1 (2) , , , ; 2 3 4 5
2 2 2 2

an ? 2n ? 1
(n ? 1) 2 ? 1 an ? n ?1

2 4 6 8 ,? ? (3 ) ? , ? , ? 3 15 35 63

2n an ? ? (2n ? 1)(2n ? 1)

(4)0,2, 0, 2

an ? 1 ? (?1)n
10 an ? (10) ?1
n

,? a ? 1 ? ( 1 ) n (5) 0.9,0.99,0.999,0.9999 n
(6) 9,99,999,9999 ,?

例4 已知数列 1,2, , ,

7 5 13 , ? (1)写出这个数列的一个通项公式 3 2 5

an ;

3n ? 2 解: (1) a n ? n

(2)根据 an 判断数列{an } 的增减性和有界性.

2 2 2 2 ) ? (3 ? ) ? ? ?0 (2)因为 a n ?1 ? a n ? (3 ? n ?1 n n n ?1
所以数列 {an } 是递增数列

2 又因为 0 ? a n ? 3 ? ? 3 n
所以数列 {an } 是有界数列.

2 a ? ? 2 n ? 28n ? 4 例5、已知数列 ?an ? 的通项公式是 n

判断这个数列的单调性,并求出最大项
n ? 6时,递增; n ? 7时,递减

a7 ? 132
,则这个数列

n 练习:已知数列 a n ? n 2 ? 156 的最大项是( C)
A、第12项 C、第12项或13项

B、第13项 D、不存在

例6 在数列 {an }中,a1 ? 3, a10 ? 21 ,通项公式是项数的一次 函数 ; (1)求数列{an }的通项公式,并求 a2008

(2)若 bn ? a2 n ,求数列{bn } 的通项公式.

an ? 2n ? 1 an ? 4017 bn ? a2n ? 4n ? 1

例7 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? ?2n 2 ? 9n ? 3 (1)试问 2 是否是数列 {an } 中的项? (2)求数列 (3)若 a
n

{an } 的最大项;
,求

?0

n.

不是

a2 ? 13
1,2,3,4

例8.写出一个数列的通项公式,使它的前4项分别是下列 各数: 1 1 1 1

1? 2

,?

2 ? 3 3? 4

,

,?

4?5

;

1 1 1 1 变1: ? , , ? , ; 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5

1 an ? (?1) n(n ? 1) 1 an ? (?1) n n(n ? 1)
n ?1

3 7 13 21 变2: ,, ,;a 1? 2 2 ? 3 3? 4 4?5
n n

n

? (?1) n ?1

n(n ? 1) ? 1 n(n ? 1)

变3: 2, 0, 2, 0; a ? 1 ? (?1) 变4: 1, 0, 1, 0;
n

1 an ? (1 ? (?1) n ) 2

变5: 1,, 2 1,; 2 a ? 3 ? 1 (?1) 变6 : 0, -1,0, -1
n

2

2

1 1 an ? ? ? (?1) n ) 2 2

例1根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个 通项公式. 2 3 4 5 6 ? , ,? , ,? ? 1,0,1,0, ? (2) (1) 3 8 15 24 35 1 ? (?1) n ?1 n ?1 an ? a n ? (?1) n ? (n ? 1) 2 ? 1 2 (3) 7,77,777,7777 (4) ? 1,7,?13,19,?25,31,? ,? 7 n n a ? ( ? 1 ) (6n ? 5) a n ? (10 ? 1) n (5) 1,3,3,5,5,7,7,9,9,?
1 ? (?1) n an ? n ? 2
n?1

9

(6) 1,3,7,15,?

an ? 2 ? 1
n

(7) 2,?6,12,?20,30,?42,? (8) 0.9,0.99,0.999,0.9999 ,?

n(n ? 1) 2 1 4 16 (9) , ,3, ,? a ? n (10) 3 3 3 n 3

an ? (?1)

1 an ? 1 ? n 10
n

2 4 6 8 10 , , , , ,? 2n 3 15 35a 63 99 ?

(2n ? 1)(2n ? 1)


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