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山东版2016届高三第六次月考 数学(文)


第六次月考数学文试题【山东版】

2.已知 3 ? 3i ? z ? ?2 3i (i 是虚数单位) ,那么复数 z 对应的点位于复平面内的 A.第一象限 B.第二象限 3.下列有关命题说法正确的是
2

?

?

C.第三象限

D.第四象限

,则x ? 1 ”的否命题为“若 x2 ? 1, 则x ? 1 ” A.命题“若 x ? 1
2 B.命题“ ?x0 ? R,x0 ? x0 ?1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ?1 ? 0 ”
2

C.命题“若 x ? y, 则 sin x ? sin y ”的逆命题为假命题 D.若“p 或 q”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题 4. 设 a, b, c 分 别 是 ?ABC中?A, ?B, ?C 所 对 边 的 边 长 , 则 直 线 sin A ? x ? ay ? c ? 0 与

bx ? sin B ? y ? sin C ? 0 的位置关系是
A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直
2 2

5.已知点 P 是直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 上的动点,点 Q 为圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 上的动点,则 PQ 的 最小值为 A.

9 5

B.2

C.

4 5

D.

13 5

6.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为 4,该几何体的体积为 A.

8? 3

B.

16? 3

C. 4?

D. 8?

7.将函数 y ? sin ? x ?

? ?

??

? ? 的图象向左平移 6 个单位,再将所得图象 3?

上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得函数图 象对应的解析式为 A. y ? sin ?

?? ?1 x? ? 3? ?2
1 x 2

B. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

C. y ? sin

D. y ? sin ?

?? ?1 x? ? 6? ?2

?x ? 3y ? 4 ? 0 ? 8.已知约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 若目标函数 z ? x ? ay ? a ? 0? 恰好在点 ? 2, 2 ? 处取得最大值,则 a ?3 x ? y ? 8 ? 0 ?
的取值范围为 A. 0 ? a ?

1 3

B. a ?

1 3

C. a ?

1 3

D. 0 ? a ?

1 2

9.我们定义函数 y ? ? x? ( ? x ? 表示不大于 x 的最大整数)为“下整函数”;定义 y ? ?x? ( ? x? 表示不 小于 x 的最小整数)为“上整函数”;例如 ?4.3? ? 4, ?5? ? 5;?4.3? ? 5, ?5? ? 5 .某停车场收费标准为每 小时 2 元,即不超过 1 小时(包括 1 小时)收费 2 元,超过一小时,不超过 2 小时(包括 2 小时) 收费 4 元,以此类推.若李刚停车时间为 x 小时,则李刚应缴费为(单位:元) A. 2? x ? 1? 10.方程 2 A.2 C.4
x ?1

B. 2 ? x ? ? 1

?

?

C. 2 ? x?

D.

?2x?

? x2 ?1 ? ?
B.3 D.5

1 的实根个数为 2

第 II 卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.

11. 平 面 内 给 定 三 个 向 量 a ? ? 3, 2 ? , b ? ? ?1, 2 ? , c ? ? 4,1? ,

r

r

r



r r r a ? mb ? nc,则n ? m ? ______;
12.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? n2 ? 2n ? 2 ,则数列 ?an ? 的通项公式是 _________; 13.如果执行右边的框图,输入 N=5,则输出的数等于_________; 14.在单位正方形内随机取一点 P,则若在如图阴影部分的概率是_________;

15.已知函数 f ? x ? ? ?

?1, x是有理数 ?0, x是无理数

, 下列命题是真命题的是__________(只填命题序号).

①函数 f ? x ? 是偶函数;②对任意 x ? R, f x ? 2 ? f ? x ? ; ③对任意 x ? R, f ? x ? 2? ? f ? x ? ; ④对任意 x, y ? R, f ? x ? y ? ?

?

?

1 ? f ? x ? ? f ? x ?? ; 2

⑤若存在 x, y ? R, 使得 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ?,则x, y 都为无理数. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin ?
2

?? ? ? x ? ? 3 cos 2 x . ?4 ?

(I)求 f ? x ? 的单调递增区间; (II)当 x ? ?

?? ? ? 时,求函数 f ? x ? 的最大值和最小值. , ?4 2? ?

17. (本小题满分 12 分) 国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校 为单位组织实施,某校对高一 1 班同学按照“国家学生体质健康数据测试”项目按百分制进行了测试, 并对 50 分以上的成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若 90~100 分数段的人数为 2 人. (I)请求出 70~80 分数段的人数; (II)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组) 中任意选出两人,形成搭档小组.若选出的两人成绩差大于 20,则称这两人为“搭档组”,试求选出的 两人为“搭档组”的概率.

18.(本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,BC//AD, ?BAD ? 90 ,且 PA=AB=BC=1,
o

AD=2, PA ? 平面 ABCD,E 为 AB 的中点. (I)证明: PC ? CD ; (II)在线段 PA 上是否存在一点 F,使 EF//平面 PCD,若存在,求

AF 的值. FP

19.(本小题满分 12 分) 已知公差不为零的等差数列 ?an ? ,满足 a1 ? a3 ? a5 ? 12.,且a1,a5,a17 成等比数列. (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若 bn ?

3 an 2 ? 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求证: S n ? n ? . 2 2 an ? 1

20.(本小题满分 13 分) 坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的其中一个顶点坐标为 B ( 0 , 1 ) ,且点 a 2 b2

? 6 1? P? ? ? 2 ,2? ? 在 C1 上. ? ?
(I)求椭圆 C1 的方程; (II)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C1 交于 M,N 且 kOM ? kON ? 4k ,求证: m 为定值.
2

21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? ln x ?

m ,m? R . x

(I)当 m ? e (e 为自然对数的底数)时,求 f ? x ? 的最小值; (II)讨论函数 g ? x ? ? f ? ? x ? ? (III)若对任意 b ? a ? 0,

x 零点的个数; 3

f ?b? ? f ? a ? ? 1恒成立,求 m 的取值范围. b?a

(Ⅱ)∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,………….8 分 6 3 3 ?4 2? 即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ?

?π π?

π

π



? ?

π? ? ≤ 3 ,………….10 分 3?

∴ f ( x)max ? 3 ,f ( x)min ? 2 .………….12 分
(17) 解: (Ⅰ) 由频率分布直方图可知: 50~60 分的频率为 0.1, 60~70 分的频率为 0.25, 80~ 90 分的频率为 0.15,90~100 分的频率为 0.05;………………………………………………1 分 ∴70~80 分的频率为 1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45,…………………………………2 分 ∵90~100 分数段的人数为 2 人, 频率为 0.05; ∴参加测试的总人数为 分 ∴70~80 分数段的人数为 40 ? 0.45 ? 18 .……………………………………5 分

2 ? 40 人.…………………4 0.05

2 ? 40 人, 0.05 ∴50~60 分数段的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人.…………………………………………6 分
(Ⅱ)∵参加测试的总人数为 设 第 一 组 50 ~ 60 分 数 段 的 同 学 为 A1 , A2 , A3 , A4 ; 第 五 组 90 ~ 100 分 数 段 的 同 学 为

B1 , B2 ,………7 分
则从中选出两人的选法有:

( A1 , A2 ) ,( A1 , A3 ) ,( A1 , A4 ) ,( A1 , B1 ) ,( A1 , B2 ) ,( A2 , A3 ) ,( A2 , A4 ) ,( A2 , B1 ) ,( A2 , B2 ) ,
( A3 , A4 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( A4 , B1 ) , ( A4 , B2 ) , ( B1 , B2 ) 共 15 种;……………9 分

( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , 其中两人成绩差大于 20 的选法有: ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( A4 , B1 ) , ( A4 , B2 ) 共 8 种;………………………………………………11 分
则选出的两人为“搭档组”的概率为 P ?

8 .………………………………………12 分 15

(18)解: (Ⅰ)证明:平面 ABCD,CD ? 平面 ABCD。? PA ? CD 。…………………2 分 因为 ABCD 为直角梯形,且 AB=BC=1,? AC ?
2

2 ,取 AD 的中点 M,连接 CM、CA,
2

易知四边形 ABCM 为矩形,所以 AC=CD= CM ? AM 三角形,

? 2 ,因为 AD=2,所以 ?ACD 为直角

? AC ? CD 。 …………………………………………………………………
………5 分 又 PA ? AC ? A 。所以 CD ? 平面 PAC, PC ? 平面 PAC. ? PC ? CD .………………………………………………6 分 ( Ⅱ ) PA 上 存 在 一 点 F , 当

AF 1 ? 时 , EF // 平 面 FP 3

PCD 。…………………7 分
取 AM 的 中 点 G , 则 GE 为 ?ABD 的 中 位 线 , 所 以 EG // BM ,………………8 分 又因为四边形 ABCM 为矩形,所以 BM // CD ,? EG // CD . 因为

AG 1 AF 1 ? , 在 PA 上取一点 F,使 ? , 则 GF // PD 。………………………………10 分 GD 3 FP 3

? EG ? GF ? G, 所以平面 EGF//平面 PCD。因为 EF ? 平面 EGF。所以 EF //平面 PCD 。
即,当

AF 1 ? 时, EF //平面 PCD 。……………………………………………………12 分 FP 3

(19)解: (Ⅰ)? a1 ? a3 ? a5 ? 12,? 3a3 ? 12 ,? a3 ? 4 .…………………………2 分

? a1 , a5 , a17 成等比数列,? a5 ? a1a17 ,

2

? (4 ? 2d ) 2 ? (4 ? 2d )(4 ? 14d ),? d ? 0 ,解得 d ? 1 ,…………………………4 分 ? an ? a3 ? (n ? 3)d ? 4 ? (n ? 3) ? n ? 1 ;
所以数列 {an } 的通项公式为:? an ? n ? 1, n ? N * .…………………………5 分 (Ⅱ) bn ?

an ? 1 an
2

2

(n ? 1) 2 ? 1 2 2 ,……………………7 分 ? ? 1? ? 1? 2 2 n(n ? 2) (n ? 1) ? 1 ? 1 (n ? 1) ? 1

所以 S n ? (1 ?

2 2 2 ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) 1? 3 2? 4 n(n ? 2)

=n ?

2 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 n ?1 n ? 2 1 1 1 3 1 1 ? ? ? n? ? ? ;…………………………11 分 2 n ?1 n ? 2 2 n ?1 n ? 2 3 1 1 3 ? ? ? .…………………………………………12 分 2 n ?1 n ? 2 2

= n ?1?

所以 S n ? n ?

(20)解: (Ⅰ) 由题意,椭圆 C1 的右顶点坐标为 B(0,1) ,所以 b ? 1 ,…………………2 分 点 P? ?

? ? ?

x2 y 2 1 1 6 1? ,? ? 代入椭圆 2 ? 2 ? 1 ,得 2 ? ,即 a ? 2 .…………………………4 分 ? 2 2 2? a a b
x2 ? y 2 ? 1. ………………………………………………………5 分 2

所以椭圆 C1 的方程为

(Ⅱ)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,……………………6 分

? x2 ? ? y2 ? 1 ,消去 y 并整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ,(*)………………7 分 ?2 ? ? y ? kx ? m
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , 由(*)式得 x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 2 , x ? x ? ……………8 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

kOM ? kON ?

y1 y2 kx1 ? m kx2 ? m m( x1 ? x2 ) .………………………………9 分 ? ? ? ? 2k ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

代入并整理得 kOM ? kON ? 2k ?

4km2 ? 4k ………………………10 分 2m 2 ? 2

1 2 经验证满足 ? ? 0 ,………………………………12 分 1 2 ∴m ? .………………………………………………………………………………13 分 2
2 可得 m ?

(21)


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