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福建省安溪蓝溪中学高中数学 3.3.1点到直线的距离课件1 新人教A版必修2


点到直线的距离
复习提问 1、平面上点与 直线的位置关 系怎样? 2、何谓点到直 线的距离?
答案:1.有两 种,一种是点 在直线上,另 一种是点在 直线外. 2.从点作直线 的垂线, 点到 垂足的线段 长.

已知:点P(x0,y0)和直L:Ax+By+C=0,怎样 求点P到直线L的距离呢? 解题思路: 过点P作直线L1⊥L于Q, 根据定义,点到直线的距离是点到直线的 则线段 PQ的长就是点P到直线L的距离. 垂线段的长。 怎么能够得到线段PQ的长? 利用两点间的距离公式求出|PQ|.

L1

P(x0,y0)
L

步 骤 (1)求直线L1的斜率;
(2)用点斜式写出L1

Q( x1 , y1 )

( k1 ?

[ y ? y0 ? 的方程;

B ) A

B ( x ? x0 )] A

L:Ax+By+C=0

(3)求出Q点的坐标; [ L1 ? L ? Q设点Q( x1 , y1 )] (4)由两点间距离公式 d=|PQ|.

(d ? ( x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 ) )
2 2

一般情况 A≠0,B≠0时

解:设A≠0,B≠0,过点P作L的垂 线L1,垂足为Q,

L1P(x ,y ) 0 0
L

设Q点的坐标为(x1,y1).又 Q(x1,y1)是L1与L的交点,则

B 由点斜式得L1的方程 y - y 0 ? (x - x 0 ) A

Q ( x1 , y1 )

L:Ax+By+C=0 ? (1) ? ? Ax1 ? By1 ? C? 0 ? ? y ? y ? B (x ? x ) (2) 由?1?得y ? ? Ax1 ? C (3) 1 1 0 1 0 ? A ? B ? A( Ax0 ? By 0 ? C ) (4) 把(3)代入(2)得 x1 ? x0 ? 2 2 A ?B

? B ( Ax ? By ? C ) 0 0 把(4)代入(2)得 y1 ? y0 ? 2 2 A ?B ?| PQ |? (x1 ? x0 )2 ? (y1 ? y 0 )2
? A( Ax0 ? BY0 ? C ) 2 ? B( Ax0 ? By0 ? C ) 2 ? ( ) ?( ) 2 2 2 2 A ?B A ?B
?

| Ax 0 ? By 0 ? C | ( A 2 ? B 2 )( AX 0 ? By 0 ? C)2 ? 2 2 2 2 2 (A ? B ) A ?B

即d ?

| Ax 0 ? By 0 ? C | A ?B
2 2

当AB=0(A,B不全为0)
Y

(1)Ax+C=0

P( x0 , y0 )
X

C d ?| x0 ? | A
用公式验证结果相同

O

(2)By+C=0

Y

C d ?| y0 ? | B
O

P( x0 , y0 )
X

用公式验证结果相同

y P(x0,y0)

x
O l:Ax+By+C=0

d?

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

1.此公式的作用是求点到直线的距离; 2.此公式是在A ≠0 、B≠0的前提下推导的;

3.如果A=0或B=0,此公式也成立; 5.用此公式时直线方程要先化成一般式。

例1、求下列各点到相应直线的距离

①P (0,3),3 x ? 4 y ? 0; ③P (0,0),4 x ? 7 y ? 37; ④P ( ?1,?2), x ? y ? 0; ⑤P ( 2,3), x ? 1 ? 0; 1 ⑥p (1,?1), y ? 2 ? 0. 1

12 5

②P ( ?2,0),4 x ? 3 y ? 1 ? 0 :

9 5

37 65 65 3 2 2

2 例2.求过点A(?1,2)且与原点的距离等于 的直线的方程 . 2

解:设所求直线的方程为y-2=k(x+1) A(?1,2) 即 kx-y+2+k=0 由题意得
|0?0?2?k | k 2 ?1 2 ? 2
-1
? 2 2

2

∴k2+8k+7=0
解得k1 ? ?1

2 2

k2 ? ?7

∴所求直线的方程为x+y-1=0 或7x+y+5=0.

例2的变式练习
求过点A(-1,2)且与原点的距离等于 (1).距离改为1; (2).距离改为 5 ; (3).距离改为3(大于 5 ). 想一想?在练习本上画图形做.

例2的变式练习
(1).距离改为1, 则用上述方法得4(y-2)=3(x+1)
或x=-1(易漏掉)
A(?1,2)

2

-1

4(y-2)=-3(x+1)
x=-1

例2的变式练习
(2).距离改为
A(?1,2)

5,

则得2(y-2)=x+1; 2(y-2)=x+1

2

? 5

-1

5

例2的变式练习
(3).距离改为3(大于 5 ),则 无解。

A(?1,2)

2 -3 3

-1

例3 求平行线 2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y l1:2x-7y+8=0 两平行线间的 l2: 2x-7y-6=0 距离处处相等 x O P(3,0) 在l2上任取一点,例如P(3,0)

P到l1的距离等于l1与l2的距离

? d?

2?3 ? 7?0 ? 8 2 ? ( ?7 )
2 2

14 14 53 ? ? 53 53

直线到直线的距离转化为点到直线的距离

练习
3.求下列两条平行线的距离: (1) L1:2x+3y-8=0 , L2:2x+3y+18=0
解 :点P(4,0)在L1上

则d ?

| 2 ? 4 ? 3 ? 0 ? 18 | 22 ? 32

26 ? ? 2 13 d ? | 18 ? (?8) | ? 26 ? 2 13 13 13 22 ? 32

(2) L1: 3x+4y=10 , L2: 3x+4y-5=0
5 解 : 点P(0, )在L1 , 2 5
| 3? 0 ? 4 ? 则d ? 2 32 ? 4 2 ?5| ?1

d?

| ?5 ? (?10) | 32 ? 42

?1

y

l1

P O

l2

任意两条平行直线都可以写成如 下形式:

l1 :Ax+By+C1=0

x

设P( x0 , y0 )在直线L1上

l2 :Ax+By+C2=0

则点P到直线L2的距离 | Ax0 ? By0 ? C2 | d? 又 C ? ? ( Ax ? By ) 1 0 0 A2 ? B 2

?d ?

C2 ? C1 A ?B
2 2

直线的方程 应化为一般 式!

进一步,利用中点公式可以得到点P(x0,y0) 关于直线l:Ax+By+C=0的对称点P1(x1,y1)的坐 标公式为: 2 A( Ax 0 ? By 0 ? C) ? 1 x ? x0 ? , 2 2 ? ? A ?B ? ? y 1 ? y ? 2B( Ax 0 ? By 0 ? C) . 0 2 2 ? A ?B ? 利用公式: 1,求点 P(x0,y0)关于直线y=x的对称点P1( y0 ,x0 ); -y0 ,-x0 2,求点 P(x0,y0)关于直线y=-x的对称点P1( );

小结
1.今天我们学习了点到直线的距离公式,要 熟记公式的结构.应用时要注意将直线的方 程化为一般式. 2.当A=0或B=0(直线与坐标轴垂直)时,仍 然可用公式,这说明了特殊与一般的关系 . 3.例2的变式练习,用图形解释运算结果, 又一次让我们体会了数学与形式结合的思 想.

作业
? 1.阅读P40~P44,有关内容. ? 2.书面作业: P44 第12题,第 13题.


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