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2018北师大版高中数学必修四学案:第二章 5 从力做的功到向量的数量积(二)


数学 学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式 .2.会利用向量数量积的有关运算 律进行计算或证明. 知识点一 平面向量数量积的运算律 类比实数的运算律,判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确. 运算律 交换律 结合律 分配律 消去律 实数乘法 ab=ba (ab)c=a(bc) (a+b)c=ac+bc ab=bc(b≠0)?a=c 向量数量积 a· b=b· a (a· b)c=a(b· c) (a+b)· c=a· c+b· c a· b= b· c(b≠0)?a=c 判断正误 知识点二 平面向量数量积的运算性质 类比多项式乘法的乘法公式,写出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca 向量数量积 梳理 与多次式乘法公式类似,平面向量数量积也有相似公式,应用公式时不要漏写数量积 中的点乘符号“·”. 类型一 向量数量积的运算性质 例 1 给出下列结论: ①若 a≠0,a· b=0, 则 b=0; ②若 a· b=b· c, 则 a=c; ③(a· b)c=a(b· c); ④a· [b(a· c)-c(a· b)]=0,其中正确结论的序号是________. 反思与感悟 向量的数量积 a· b 与实数 a、 b 的乘积 a· b 有联系, 同时有许多不同之处. 例如, 数学 由 a· b=0 并不能得出 a=0 或 b=0.特别是向量的数量积不满足结合律. 跟踪训练 1 设 a,b,c 是任意的非零向量,且互不平行,给出以下说法: ①(a· b)· c-(c· a)· b=0; ②(b· c)· a-(c· a)· b 不与 c 垂直; ③(3a+2b)· (3a-2b)=9|a|2-4|b|2. 其中正确的是________.(填序号) 类型二 平面向量数量积有关的参数问题 命题角度 1 已知向量垂直求参数值 例 2 已知两个单位向量 a, b 的夹角为 60° , c=ta+(1-t)· b, 且 b⊥c, 则 t=________________. 反思与感悟 由两向量垂直求参数一般是利用性质:a⊥b?a· b=0. 跟踪训练 2 已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数 k 等于( 9 A.- 2 15 B.0 C.3 D. 2 ) 命题角度 2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围 例 3 已知 e1 与 e2 是两个互相垂直的单位向量, 若向量 e1+ke2 与 ke1+e2 的夹角为锐角, 则 k 的取值范围为________. 反思与感悟 由两向量夹角 θ 的取值范围,求参数的取值范围,一般利用以下结论:对于非 π π 零向量 a,b,θ∈[0, )?a· b>0,θ∈( ,π]?a· b<0. 2 2 跟踪训练 3 设两个向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2 的夹角为 60° ,若向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 1.下面给出的关系式中正确的个数是( ) ①0· a=0;②a· b=b· a;③a2=|a|2;④|a· b|≤a· b;⑤(a· b)2=a2· b2. A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知|a|=1,|b|= 2,且(a+b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是( A.60°

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