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超几何分布与二项分布概率答案

1、(北京海淀一模)某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过检测,每一件二等品通过检

测的概率为 2 .现有 10 件产品,其中 6 件是一等品,4 件是二等品. 3
(Ⅰ) 随机选取 1 件产品,求能够通过检测的概率;

(Ⅱ) 随机选取 3 件产品,其中一等品的件数记为 X ,求 X 的分布列;
(Ⅲ) 随机选取 3 件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率.

【解析】(Ⅰ)设随机选取一件产品,能够通过检测的事件为 A …………………………1 分 事件 A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2 分

p(A) ? 6 ? 4 ? 2 ? 13 10 10 3 15
(Ⅱ) 由题可知 X 可能取值为 0,1,2,3.

…………………………4 分

P( X

? 0)

?

C43C60 C130

?

1 30

, P(X

?1) ?

C42C61 C130

?3 10

,

P( X

? 2) ?

C41C62 C130

?

1 2

, P(X

? 3) ?

C40C63 C130

?

1. 6

故 X 的分布列为

………………8 分

X

0

1

2

3

1

3

1

1

P

30

10

2

6



……………9 分

(Ⅲ)设随机选取 3 件产品都不能通过检测的事件为 B

……………10 分

事件 B 等于事件“随机选取 3 件产品都是二等品且都不能通过检测”

所以, P(B) ? 1 ? (1)3 ? 1 . 30 3 810

……………13 分

2、(深圳一模)第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日到 23 日在深圳举行,为了搞好接待工作,组委

会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者。将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图(单位:cm):

若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为

“高个子”,身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子”,

且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.

(Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取 5 人,

再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?

(Ⅱ)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用? 表示所选志愿者中能担

任“礼仪小姐”的人数,试写出? 的分布列,并求? 的数学期望.

【解析】(Ⅰ)根据茎叶图,有“高个子”12 人,“非高个子”18 人,…………1 分

用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 5 ? 1 , 30 6

………………2 分

所以选中的“高个子”有12 ? 1 ? 2 人,“非高个子”有18? 1 ? 3 人.…………3 分

6

6

用事件 A 表示“至少有一名“高个子”被选中”,则它的对立事件 A 表示“没有一名“高个子”被选中”,



P( A)

?

1?

C 32 C52

? 1 ? 3 ? 7 .……5 分 10 10

(Ⅱ)依题意,? 的取值为 0, 1, 2, 3 .

因此,至少有一人是“高个子”的概率是 7 .…6 分 10
………………7 分

P(?

? 0)

?

C83 C132

?

14 , 55

P(?

? 2) ?

C24C18 C132

? 12 , 55

P(? ? 1) ?

C14C82 C132

?

28 , 55

P(?

? 3)

?

C34 C132

?

1. 55

…………………9 分

因此,? 的分布列如下:

?

0

1

2

3

p

14

28

12

1

55

55

55

55

……10 分

? E? ? 0 ? 14 ?1? 28 ? 2 ? 12 ? 3? 1 ? 1 . 55 55 55 55

…………12 分

3、(广州二模)某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学

生共有 40 人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的

学生为 3 人.

视觉

视觉记忆能力

听觉

偏低 中等 偏高 超常

偏低

0

7

5

1

听觉 记忆 能力

中等 偏高

1 2

8 a

3 0

b 1

超常

0

2

1

1

由于部分数据丢失,只知道从这 40 位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中

等以上的概率为 2 . 5
(Ⅰ)试确定 a 、 b 的值; (Ⅱ)从 40 人中任意抽取 3 人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为? ,求随机变量 ?

的分布列.

【解析】(Ⅰ)由表格数据可知,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有 (10 ? a) 人.

记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件 A ,

则 P(A) ? 10 ? a ? 2 ,解得 a ? 6 ,从而 b ? 40 ? (32 ? a) ? 40 ? 38 ? 2 . 40 5

(Ⅱ)由于从 40 位学生中任意抽取 3 位的结果数为 C430 ,其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学 生共 24 人,从 40 位学生中任意抽取 3 位,其中恰有 k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数



C C k 3?k 24 16

,所以从

40

位学生中任意抽取

3

位,其中恰有

k

位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概

率为

P(?

?

k)

?

C C k 3?k 24 16

C430

(k ? 0,1,2,3) . ? 的可能取值为 0、1、2、3.

因为 P(?

?

0)

?

C204C136 C430

?

14 , P(? 247

?

1)

?

C214C126 C430

?

72 , P(? 247

? 2) ?

C224C116 C430

? 552 , P(? 1235

? 3) ?

C234C106 C430

? 253 ,所以? 1235



分布列为

?

0

1

2

3

14

72

552

253

P

247

247

1235

1235

4、(北京朝阳一模)在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投 6 个球,至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进

者获奖;否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是 2 . 3

(Ⅰ)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望;

(Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率;

(Ⅲ)已知教师乙在某场比赛中,6 个球中恰好投进了 4 个球,求教师乙在这场比赛中获奖的概率;教师乙在这场

比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗?

【解析】(Ⅰ)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6. 依条件可知 X~B(6, 2 ). 3

P( X

? k) ? C6k

?

? ??

2 3

k
? ??

?

? ??

1 3

6?k
? ??

(

k

? 0,

1,

2,

3,

4,

5,

6)

所以 X 的分布列为:

X

0

1

2

3

4

5

6

1

12

60 160 240 192 64

P

729 729 729 729 729 729 729

所以 EX ? 1 (0?1?1?12 ? 2? 60 ? 3?160 ? 4? 240 ? 5?192 ? 6?64) = 2916 ? 4 .

729

729

或因为 X~B(6, 2 ),所以 EX ? 6? 2 ? 4 . 即 X 的数学期望为 4.

3

3

(Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件

A,则

P( A)

?

C42

? (1)2 3

? (2)4 3

? C14

?

1 ? ( 2)5 33

? ( 2)6 3

?

32 . 81

答:教师甲在一场比赛中获奖的概率为 32 . 81

(Ⅲ)设教师乙在这场比赛中获奖为事件

B,则 P(B) ?

A42 A44 A66

?

2 .(此处为 C42

5

C64

?

2 会更好!因为样本空间基于: 5

已知 6 个球中恰好投进了 4 个球)即教师乙在这场比赛中获奖的概率为 2 . 5

显然 2 ? 32 ? 32 ,所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等. 5 80 81
5、(?北京石景山一模)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的 500 名志愿者

中随机抽样100 名志愿者的年龄情况如下表所示.
(Ⅰ)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如图),再根据频率分布
直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数;

(Ⅱ)在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加中心广场的宣传活动,从这 20 人中选取

2 名志愿者担任主要负责人,记这 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁”的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望.

分组 (单位:岁)

频数

频率

频率 组距

?20, 25?

5 0.050

? 25, 30 ?

① 0.200

?30, 35 ?

35



?35, 40?

30 0.300

?40, 45?
合计

10 0.100 100 1.00

20

25

30

35 40 45 年龄 岁

【解析】(Ⅰ)①处填 20 ,②处填 0.35;

频率

补全频率分布直方图如图所示.

组距

500 名志愿者中年龄在 ?30,35?

的人数为 0.35?500 ?175 人.…6 分

(Ⅱ)用分层抽样的方法,从中选取 20 人,

则其中“年龄低于 30 岁”的有 5 人,

“年龄不低于 30 岁”的有15 人.

…………7 分

故 X 的可能取值为 0 ,1, 2 ;

P( X

? 0)

?

C125 C220

?

21 , 38

P( X

? 1)

?

C115C51 C220

?

15 , 38

P( X

?

2)

?

C52 C220

?

20
2 ,……11 38



25

30

35 40

所以 X 的分布列为:

X

0

1

2

21

15

2

P

38

38

38

∴ EX ? 0 ? 21 ? 1? 15 ? 2 ? 2 ? 1 . 38 38 38 2

…………13 分

45 年龄 岁

6、(北京朝阳二模)为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,要求产品在进入市场前必须进行两轮核

辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为 1 ,第二轮检 6

测不合格的概率为 1 ,两轮检测是否合格相互没有影响. 10
(Ⅰ)求该产品不能销售的概率;

(Ⅱ)如果产品可以销售,则每件产品可获利 40 元;如果产品不能销售,则每件产品亏损 80 元(即获利-80 元). 已知一箱中有产品 4 件,记一箱产品获利 X 元,求 X 的分布列,并求出均值 E(X).

【解析】(Ⅰ)记“该产品不能销售”为事件 A,则 P( A) ? 1? (1? 1) ? (1? 1 ) ? 1 .

6

10 4

所以,该产品不能销售的概率为 1 . 4

……………………………………4 分

(Ⅱ)由已知,可知 X 的取值为 ?320, ?200, ?80, 40,160 . ………………………5 分

P( X ? ?320) ? (1)4 ? 1 , 4 256

P( X

?

?200)

?

C41

?(1)3 ? 4

3 4

?

3 64



P( X

?

?80)

?

C42

? ( 1 )2 4

? ( 3)2 4

?

27 128

, P(X

?

40)

? C43

? 1 ? (3)3 44

?

27 64



P( X ? 160) ? ( 3)4 ? 81 . 4 256

……………………………………10 分

所以 X 的分布列为

X -320 -200 -80

40

160

1

3

27 27

81

P

256 64 128 64 256

……………………………………11 分

E(X) ? ?320? 1 ? 200? 1 ? 80? 27 ? 40? 27 ?160? 81 ? 40 ,故均值 E(X)为 40.……12 分

256

64

128

64

256

7、(北京丰台二模)张先生家住 H 小区,他在 C 科技园区工作,从家开车到公司上班有 L1,L2 两条路线(如图),L1

路线上有

A1,A2,A3

三个路口,各路口遇到红灯的概率均为

1 2

;L2

路线上有

B1,B2

两个路口,各路口遇到红灯

的概率依次为 3 , 3 . 45

(Ⅰ)若走 L1 路线,求最.多.遇到 1 次红灯的概率;

H

(Ⅱ)若走 L2 路线,求遇到红灯次数 X 的数学期望;

(Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生

从上述两条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由.

A1

A2

L1

L2 B1

A3 C
B2

【解析】(Ⅰ)设走

L1

路线最多遇到

1

次红灯为

A

事件,则

P( A)=C30

? (1)3 2

?

C31

?

1 2

? ( 1 )2 2

?

1 2

.…4



所以走

L1

路线,最多遇到

1

次红灯的概率为

1 2



(Ⅱ)依题意, X 的可能取值为 0,1,2. …………5 分

P(X =0)=(1? 3)? (1? 3) ? 1 , P(X =1)= 3 ?(1? 3) ? (1? 3)? 3 ? 9 , P(X =2)= 3 ? 3 ? 9 .…8 分

4 5 10

45

4 5 20

4 5 20

故随机变量 X 的分布列为:

X

0

1

2

1

9

9

P

10

20

20

EX ? 1 ? 0 ? 9 ?1? 9 ? 2 ? 27 . 10 20 20 20

………………10 分

(Ⅲ)设选择 L1 路线遇到红灯次数为Y ,随机变量Y 服从二项分布,Y

B(3, 1) , 2

所以 EY ? 3? 1 ? 3 .……12 分 22

因为 EX ? EY ,所以选择 L2 路线上班最好.……14 分

8、(北京海淀二模)某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、3、4 层停靠.已知该电梯在 1 层载有 4 位乘客,假设每

位乘客在 2、3、4 层下电梯是等可能的.

(Ⅰ) 求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率;

(Ⅱ) 用 X 表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数,求 X 的分布列和数学期望.

【解析】(Ⅰ)设 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的事件为 A ,……………………1 分

由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是 1 , ……………………………3 分 3



P( A)

?1?

P( A)

?

1?

? ??

2 3

?4 ? ?

?

65 81

……………………………6 分 .

(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4, ………………………7 分

由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为 1 ,且每个人下电梯互不影响,所以 X B(4, 1) .…9 分

3

3

X

0

1

2

3

4

P

16

32

24

8

1

81

81

81

81

81

………………………………11 分

E( X ) ? 4? 1 ? 4 .………………………13 分 33
9、(福建福州 3 月质检)“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏,其规则是:用三种不同 的手势分别表示石头、剪刀、布;两个玩家同时出示各自手势 1 次记为 1 次游戏,“石头”胜“剪刀”, “剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”;双方出示的手势相同时,不分胜负.现假设玩家甲、乙双方在游 戏时出示三种手势是等可能的. (Ⅰ)求出在 1 次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率;
(Ⅱ)若玩家甲、乙双方共进行了 3 次游戏,其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量 X ,求 X 的分布列
及其期望. 【解析】(Ⅰ)玩家甲、乙双方在 1 次游戏中出示手势的所有可能结果是:(石头,石头);(石头,剪刀);(石
头,布);(剪刀,石头);(剪刀,剪刀);(剪刀,布);(布,石头);(布,剪刀);(布,布).共有 9 个 基本事件,--------------------3 分 玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是:(石头,剪刀);(剪刀,布);(布,石头),共有 3 个.所以,在 1
次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率 P ? 3 ? 1 .--------------------6 分 93
(Ⅱ) X 的可能取值分别为 0,1,2,3.

P?X

?

0?

? C30

? ???

2 ?3 3 ??

?

8 27



P?X

? 1?

?

C31

?

? ??

1 3

?1 ??

?

? ??

2 3

?2 ??

?

12 27



P?X

?

2?

? C32

?

? ??

1 3

?2 ??

?

? ??

2 ?1 3 ??

?

6, 27

P?X

? 3?

?

C33

?

? ??

1 3

?3 ??

?

1 27

.--------------------10



X 的分布列如下:-------------------11 分

X

0

1

2

3

8

12

6

1

P

27

27

27

27

EX ? 0? 8 ?1? 12 ? 2? 6 ? 3? 1 ? 1(或: X ~ B(3, 1) , EX ? np ? 3? 1 ? 1 ).-----13 分

27 27 27 27

3

3

10、(?湖北黄冈

3

月质检)某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为

p1

?

2 3

,乙的命中率为

p2

,在射击比武活

动中每人射击发两发子弹则完成一次检测,在一次检测中,若两人命中次数相等且都不少于一发,则称该射击

小组为“先进和谐组”;

(Ⅰ)若

p2

?

1 2

,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率;

(Ⅱ)计划在 2011 年每月进行 1 次检测,设这 12 次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数 ? ,如果 E? ? 5 ,求 p2
的取值范围.

【解析】(Ⅰ)

P

?

(C21

?

2 3

?

13)(C21

?

1 2

?

1 2

)

?

(

2 3

?

2 3

)(

1 2

?

1 2

)

?

1 3

---------6

分[来源:学科网

ZXXK]

(Ⅱ)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率

P

?

(C21

?

2 3

?

1 3

)[C21

?

p2 (1?

p2 )] ?

(2 3

?

2) 3

p22

?

8 9

p2

?

4 9

p22

而?

B(12, P) ,所以

E?

? 12P

,由

E?

?

5 知12(8 9

p2

?

4 9

p22 )

?

5 ,解得

3 4

?

p2

? 1.-------12



11、(湖北部分重点中学第二次联考)一射击测试每人射击三次 ,每击中目标一次记 10 分。没有击中记 0 分,某人

每次击中目标的概率为 2 . 3

(Ⅰ)求此人得 20 分的概率;

(Ⅱ)求此人得分的数学期望与方差。

【解析】(Ⅰ)此人得

20

分的概率为

p

?

C32

(

2 3

)

2

?

1 3

?

4 9

……4 分

(Ⅱ)记此人三次射击击中目标? 次得分为? 分,则? ~ B(3, 2) ,? =10? …6 分 3

∴ E(? ) ? 10E(?) ? 10? 3? 2 ? 20 3

……9 分

D(? ) ? 100D(?) ? 100? 3? 2 ? 1 ? 200 33 3

……12 分

12、(2011?江西八校 4 月联考)设不等式 x2 ? y2 ? 4 确定的平面区域为U , x ? y ? 1确定的平面区域为V .

(Ⅰ)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”,在区域U 内任取 3 个整点,求这些整点中恰有 2 个整点在区域V
的概率;
(Ⅱ)在区域U 内任取 3 个点,记这 3 个点在区域V 的个数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.
【解析】(Ⅰ)依题可知平面区域U 的整点为 ?0,0?,?0, ?1?,?0, ?2?,??1,0?,??2,0?,??1, ?1? 共有 13 个,

平面区域V 的整点为 ?0,0?,?0, ?1?,??1,0? 共有 5 个,

∴P

?

C52 .C81 C133

?

40 143

(Ⅱ)依题可得:平面区域U 的面积为? ? 22 ? 4? ,平面区域V 的面积为 : 1 ? 2? 2 ? 2 , 2

在区域U 内任取 1 个点,则该点在区域V 内的概率为 2 ? 1 , 4? 2?
易知: X 的可能取值为 0,1,2,3 ,且

P( X

?

0)

?

C30

?

? ??

1 2?

?0 ??

? ???1 ?

1 2?

?3 ??

?

?

2? ?1?3
8? 3

,P(

X

? 1)

?

C31

?

? ??

1 2?

?1 ??

?

???1

?

1 2?

?2 ??

?

3?2? ?1?2
8? 3



P( X

?

2)

? C32

?

? ??

1 2?

?2 ??

? ???1 ?

1 2?

?1 ??

?

3?

2? 8?

?
3

1?

,P(

X

?

3)

?

C33

?

? ??

1 2?

?3 ??

?

???1

?

1 2?

?3 ??

?

1 8? 3

∴ X 的分布列为:

X

0

1

2

3

P

?2? ?1?3 3?2? ?1?2 3?2? ?1?

1

8? 3

8? 3

8? 3

8? 3



X

的数学期望:

EX

?

0?

?2? ?1?3
8? 3

?1?

3?2? ?1?2
8? 3

?

3?2? ?1?
2? 8? 3

?

3

?

1 8?

3

=

3 2?

……12



(或者: X ~ B(3, 1 ) ,故 EX ? np=3? 1 ? 3 )

2?

2? 2?

13、(山东淄博二模) A 、B 是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验。每个试验组由 4 只小白鼠组

成,其 中 2 只服用 A ,另 2 只服用 B ,然后观察疗效。若在一个试验组中,服用 A 有效的小白鼠的只数比服用

B 有效的多,就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用 A 有效的概率为 2 ,服用 B 有效的概率为 1 .

3

2

(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率;

(Ⅱ)观察 3 个试验组,用 ? 表示这 3 个试验组中甲类组的个数,求? 的分布列和数学期望。

【解析】(Ⅰ)设 Ai 表示事件“一个试验组中,服用 A 有效的小白鼠有 i 只”,i=0,1,2; Bi 表示事件“一个试验组中,服用 B 有效的小白鼠有 i 只”,i=0,1,2

依题 意有

P( A1)

?

2?

1? 3

2 3

?

4 9

,

P( A2 )

?

2 3

?

2 3

?

4 9

,

P(B0 )

?

1 2

?

1 2

?

1 4

,

P(B1)

?

2?

1 2

?

1 2

?

1 2

,

所求的概率为

P

?

P(B0

A1)

?

P(B0

A2 )

?

P( B1 A2

)

?

1 4

?

4 9

?

1 4

?

4 9

?

1 2

?

4 9

?

4 9

(Ⅱ)?的可能取值为 0,1,2,3,且

4 ?~ B(3,9),

P(?

?

k)

?

C3k

(

4 9

)k

(

5 9

)3?k

,

k

?

0,1, 2,3

∴ ?的分布列为

?

`0

1

2

3

125

100

80

64

P

729

243

243

729

所以数学期望 E? ? 3? 4 ? 4 . 93
14、(?温州一模)盒子中装有大小相同的 10 只小球,其中 2 只红球,4 只黑 球,4 只白球.规 定:一次摸出 3 只球, 如果这 3 只球是同色的,就奖励 10 元,否则罚款 2 元. (Ⅰ)若某人摸一次球 ,求他获奖励的概率;
(Ⅱ)若有 10 人参加摸球游戏,每人摸一次,摸后放回 ,记随机变量? 为获奖励的人数,

(i)求 P(? ?1)

(ii)求这 10 人所得钱数的期望.

(结果用分数表示,参考数据:

? 14 ?? 15

?10 ??

?

1 2



【解析】(Ⅰ)

p

?

2C43 C120

=1 15

(Ⅱ)(i)由题意知 ?

B(10, 1 ) ,则 15

P(?

? 1)

?1?

P(?

?

0)

?

P(?

? 1)

? 1? (14)10 15

? C110

?1 15

? (14)9 15

?

1 7

(ii)设? 为在一局中的输赢,则 E? ? 1 ?10 ? 14 ? 2 ? ? 6 ,

15

15

5

所以 E(10?) ?10E? ?10 ?( ? 6) ? ?12 ,即这 10 人所得钱数的期望为 ?12 . 5

15、(2011?天津高考)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白

球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2

个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)

(Ⅰ)求在 1 次游戏中:

①摸出 3 个白球的概率; ②获奖的概率;

(Ⅱ)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列与数学期望.

【解析】(Ⅰ)①设“在

1

次游戏中摸出 i

个白球”为事件

Ai (i

? 0,1,2,3)

,则 P( A3 ) ?

C32 C52

? C21 C32

?

1. 5

②设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B ,则 B ? A2

A3 ,又 P( A2 ) ?

C32 C52

? C22 C32

?

C21C21 C52

? C21 C32

?

1 2





A2



A3

互斥,所以

P(B)

?

P(

A2

)

?

P(

A3

)

?

1 2

?

1 5

?

7 10

.

(Ⅱ)法 1:由题意可知 X 的所有可能取值为 0、1、2.

P( X

?

0)

? (1? 7 )2 10

?9 100



P( X

? 1)

?

C21

7 10

(1

?

7) 10

?

21 50

; P(X

?

2)

? ( 7 )2 10

? 49 100

.

所以 X 的分布列是:

X

0

1

2

9

21

49

P

100

50

100

X 的数学期望 EX ? 0? 9 ?1? 21 ? 2? 49 ? 7 . 100 50 100 5

法 2:因为 X B(2, 7 ) ,得 X 的分布列同上, X 的数学期望 EX ? 2 ? 7 ? 7 .

10

10 5

16、(全国高考)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率

为 0.3,设各车主购买保险相互独立.

(Ⅰ)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率;

(Ⅱ) X 表示该地的 l00 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求 X 的期望.

【解析】记 A表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险; B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种

保险;C 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种; D 表示事件:该地的 1 位车主甲、乙

两种保险都不购买.

(Ⅰ) P(A) ? 0.5 , P(B) ? 0.3 .因为 C ? A B ,且 A、 B 互斥,所以 P(C) ? P(A) ? P(B) ? 0.8 .

(Ⅱ)因为 D ? C ,所以 P(D) ?1? P(C) ?1? 0.8 ? 0.2 .而 X ~ B(100,0.2) ,即 X 服从二项分布,所以 X 的期望

为 EX ?100?0.2 ? 20.


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