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陕西省宝鸡市。2019年高三教学质量检测数学试题(理科)(一)


陕西省宝鸡市。2019 年高三教学质量检测数学试题(理科)(一) 。


本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。考试时间 120 分钟。。 。
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)。 注意事项:。
1.答卷前,考生务必将答题卡及第 II 卷密封线内的项目填写清楚。。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔涂在答题卡上。。 3.考试结束后,考生只须交回答题卡及第 II 卷。。 以下公式供解题时参考:。 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B)。 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B)。 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的




Pn(k)=

C

k n

P

k

(1 ?

P)n?k



球的体积公式:V ? 4 ?R3,其中 R 表示球的半径。。 3
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的。) 。

1.若复数 (a2 ? 3a ? 2) ? (a ?1)i是纯虚数,则实数a 的值为

()

A.1

B.2

C.1 或 2

D.—1 。

2.集合 A ? {y ? R | y ? lg x, x ? 1}, B={—2,—1,1,2}则下列结论正确的是 ( )

A. A ? B ? {?2,?1}

B. (CR A) ? B ? (??,0) 。

C. A ? B ? (0,??) D. (CR A) ? B ? {?2,?1} 。

3.已知向量 a ? (cos75? ,sin 75? ),b ? (cos15? ,sin15? ),则a ? b与b 夹角是

()

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°。

4.若 0 ? x ? y ? 1,则

()

A. e y ? e x

B. log 1 x ? log 1 y 。

2

e

C. log 3 x ? log 3 y

D. (1) x ? (1) y 。 33

5.设随机变量? ? N (0,1), 则P(?1 ? ? ? 1) 等于

()

A. 2?(1) ?1

B. 2?(?1) ?1

C. ?(1) ? ?(?1) D. ?(1) ? ?(?1) 。 2

6.“a=1”是“函数 f (x) ? (x ? a)2 在区间?1,???上是增加的”的

()

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件。 D.既不充分也不必要条件。

7.已知正六棱锥的底面边长为 3,侧棱长为 3 2 ,则该正六棱锥的外接球的表面积为( )

。 A.108π

B.72π

C.36π

D.12π 。

8.已知三条直线 l、m、n,三个平面α 、β 、γ ,有以下四个命题:。

①α ⊥β 、 ? ? ? ? ? ? ? 。

② l ? m、 l ? n ? m// n 。



m m

// ? , n // ? ??,n ??

? ? ?

?

?

// ?



④? ? ? ? l, ? ? ? ? m,? ?? ? n ? l // m // n或l 、m、n 交于一点。

其中正确命题的序号为



A.①②

B.①②③

C.③④

D.④。

()

9.双曲线

x a

2 2

y2 ?
b2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=3|PF2|,

则该双曲线离心率的取值范围为

()

A.(1,2)

B. ?1,2?

C. (2,??)

D.?2,??? 。

。10.已知函数 f (x) ? Asin(?x ? ?)(A ? 0,? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的导函数 f ?(x) 的图象如

图所示,则 f (x) 的表达式为

A. 4sin(2x ? 4? ) 。 3
B. 4sin(2x ? ? ) 。 3
C. 2sin(2x ? 4? ) 。 3
D. 2sin(2x ? ? ) 。 3

()

11.设 f (x)是连续的偶函数,且当x ? 0时, f (x)是单调函数
所有 x 之积为 。

,则满足 f (x) ? f ( 2 ) 的 x?4
()

A.—4

B.—2

C.0

D.2 。

12.某同学设计的机器人每秒钟前进或后退一步,他设计的程序是让机器人总是以前进 3

步,然后再后退 2 步的规律移动。假设将此机器人放在数轴的原点,面向正方向,以 1

步的距离为 1 单位长移动。令 p(n)表示第 n 秒时机器人所在位置的坐标,且 p(0)=0,则

下列结论中错误的是( )

A.p(3)=3

B.p(5)=1

C.p(101)=21

D.p(101)>p(104) 。



第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)。

。二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上)。

?x ?1

13.设

x,

y

满足约束条件:

?? ?

y

?

?

1 2

x

则 z ? 2x ? y 的最小值为

。。

??2x ? y ? 10

14.圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 被直线 y ? kx截得的弦所对的劣弧长为 ? ,则 k 的值为 3
5.某同学在一次考试中必须解答 4 道选择题,已知该同学解题正确率为 0.6,如果答对一题

得 2 分,答错或不答得 0 分,则该同学这次考试得分ξ 的期望 Eξ =

。。

16.有五名男同志去外地出差,住宿安排在三个房间内,要求甲乙两人不住同一房间,且每

个房间最多住二人,则不同的住宿安排有

种(用数字作答)。



三、解答题(本大题 6 个小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)。

17.(2 分)。

在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,tanC= 3 7. 。
(1)求 cosC;。
(2)若 CB ? CA ? 5 ,且a ? b ? 9,求c. 。 2


18.(12 分)已知函数 f (x) ? x | x ? a | ?a, (a ? R). 。
(1)若 a ? 0时,求函数f (x) 单调增加的区间;。
2 0 0 9 0 2

(2)若当 x ?[0,1]时,不等式f (x) ? 0恒成立,试求实数a 的取值范围。。















19.(12 分)已知在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=1,

AB=2,E、F 分别是 AB、PD 的中点。。

(1)求证:AF//平面 PEC。。

(2)求:面角 P—EC—D 的大小。。

P







F



D

C







A

E

B









20.(12 分)2019 年 5 月 12 日 14 时 28 分发生的“汶川”强烈地震,使四川、甘肃、陕西 上千万群众受灾,温家宝总理当天下午乘飞机赶赴四川灾区,指挥抗震救灾工作。党中 央、国务院紧急部署,5 月 13 日起从铁路、公路、空中、水路全力为受灾地区运送食 品。现假设连续运送 15 天,总共运送 21300t;第一天运送 1000t,第二天运送 1100t, 以后每天都比前一天多运送 100t,直到达到运送食品的最大量,然后再每天递减 100t, 求在第几天达到运送食品的最大量。

21.(12

分)已知椭圆

E

的两个焦点分别为

F1(—1,0)、F2(1,0),点

C(1,

3 2

)在椭

圆 E 上。

(1)求椭圆 E 的方程;

(2)若点 P 在椭圆 E 上,且满足 PF1 ? PF2 ? t,求实数t 的取值范围。

22.(14 分)
已知函数 f (x) ? x3 ? bx2 ? c(b, c ? R)为R 上的奇函数。

(1)求函数 f (x) 的表达式;

(2)设数列 {an}的各项都是正数 , Sn为数列{an}的前n项和,且对于任意 n ? N * ,

都有“{

f

(a

n

)}的前n项和等于

S

2 n

”,求数列

{a

n

}

的通项式;

(3)令 bn ? 4n ? a ? 2an?1(n ? 1,2,3,?, a ? R),求满足bn0 ? bn的正整数n0 的值。

参考答案

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1—5 BDCCA 6—10 ACDBC 11—12 AD 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

13.—6 【文】20 14. ? 3 【文】—6 15.4.8【文】1 16.72【文】7

三、解答题:
17.解:(1)? tan C ? 3 7,即 sin C ? 3 7. cosC

(2 分)

又? sin 2 C ? cos2 C ? 1,解得cosC ? ? 1 . 8
? tan C ? 0,?C是锐角.? cosC ? 1 . (6分) 8

(4分)

(2)?CB ? CA ? 5 ,? abcosC ? 5 ,? ab ? 20. (8 分)

2

2

又? a ? b ? 9,? a2 ? 2ab ? b2 ? 81.? a2 ? b2 ? 41. (10分)

?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cosC ? 36,?c ? 6. (12分)

18.解:【理】(1)?

f

(x)

?

x

|

x

?

a

|

?a

?

??x2 ? ???? x2

ax ? ? ax

a ?

a

(x ? (x

a) ? a)

(3 分)

?当a ? 0时,函数f (x)单调增加的区间为(??, a ),(a,??). (6 分) 2
(2)在 x ?[0,1]时,由x | x ? a | ?a ? 0恒成立知道 a ? 0 , (8 分)

当x ? 0时,显然f (x) ? 0;

当x ? ?0,1?时,由f (x) ? 0得x | x ? a | ?a ? 0.整理变形得,

x? a ? a ? x? a ?a ? 1.

x

x

2

(12分)

【文】(1)当 x ? 1时, f (x) ? x2 ? x ?1. (2 分)

(10分)

抛物线开口向上, f (x)单调增加的区间为 ?1,???;

当x ? 1时, f (x) ? ?x2 ? x ?1. 抛物线f (x)开口向下,所以f (x)单调增加的区间为 (??, 1 ).
2

(6分)

(2)当 x ? 1时,原不等式 x2 ? x ?1 ? 0.

其解集为{x | 1 ? x ? 1 ? 5} (8分) 2
当x ? 1时,原不等式为? x2 ? x ?1 ? 0,即x2 ? x ? 1 ? 0.

该不等式解集为{x | ?? ? x ? 1 ? 5}. (10分) 2

综上所述,不等式的解集为{x | 1 ? x ? 1 ? 5}或{x | ?? ? x ? 1 ? 5}.

2

2

(12分)

19.【理】解法 1:[【文】20(2)](1)取 PC 的中点 O,连结 OF、OE。

? FO // DC,且FO ? 1 DC,? FO // AE. 2

(8分)

又E是AB的中点.且AB ? DC.? FO ? AE.?四边形AEOF是平行四边形.

? AF // OE. (12分)

又OE ? 平面PEC, AF ? 平面PEC,? AF // 平面PEC. (6分)

(2)作 AM⊥CE,交 CE 的延长线于 M,连结 PM,由三垂线定理,得 PM⊥CE,(8 分) ∴∠PMA 是二面角 P—EC—D 的平面角。 (10 分)

由△AME∽△CBE,可得 AM ? 2 ,? tan ?PMA ? PA ? 2.

2

AM

∴二面角 P—EC—D 的大小为 arctan 2. (12 分)

解法 2:以 A 为原点,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0), B(2,0,0),C(2,1,0), D(0,10, ),

F(0, 1 , 1), E(1,0,0), P(0,0,1). (2 分) 22

[【文】20(2)](1)取 PC 的中点 O,连结 OE,则 O(1, 1 , 1), AF ? (0, 1 , 1),

22

22

EO ? (0, 1 , 1),? AF // EO. 22

(4分)

又OE ? 平面PEC, AF ? 平面PEC,? AF // 平面PEC.

(6分)

(2)设平面 PEC 的法向量为 m ? (x, y, z), PE ? (1, 0, ?1), EC ? (1,1, 0)



??m ? ??m

? ?

PE EC

? ?

0 0

,可得

? ? ?

x x

? ?

z y

? ?

0 0

,(8

分)令

z

?

?1,则

m

?

(?1,1,

? 1)

(10 分)

易得平面 ABCD 的法向量是 PA ? (0, 0, ?1)

cos ? m, PA ?? m ? PA ? 1 ? 3 | m || PA | 3 3

∴二面角 P 一 EC 一 D 的大小为 arccos 3 (12 分) 3

【文】(Ⅰ)甲、乙两人都被安排(记为事件 A)的情况包括:“甲乙”,“乙甲”两种,
?甲、乙两人都被安排(记为事件 A )的概率: P( A) ? 2 ? 1 (6 分) 12 6
(2)解:“甲、乙两人中至少有一人被安排”与“甲、乙两人都不被安排”这两个事件
是互斥事件,? 甲、乙两人都不被安排的情况包括:“丙丁”,“丁丙”两种,
则“甲、乙两人都不被安排”的概率为 2 ? 1 12 6
?甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件 B )的概率: P(B) ? 1 ? 1 ? 5 . (12 分)
66

(注:如果有学生会排列概念,如下求解,(1) P( A) ?

A22 A42

?2 12

?

1; 6

(2) P(B) ? 1 ? 1 ? 5 ,给满分). 66
20.解:【理】设在第 n 天达到运送食品的最大量,则前 n 天每天运送的食品量是首项为 1000, 公差为 100 的等差数列。 (2 分)

an ? 1000 ? (n ?1) ?100 ? 100n ? 900. (3分) 其余每天运送的食品量是首项为100n ? 800,公差为?100的等差数.

(6分)

依题意,得1000n ? n(n ?1) ?100 ? (100n ? 800)(15 ? n) ? (15 ? n)(140n) ? (?100)

2

2

? 21300(1 ? n ? 15). (8分)

整理化简得 n2 ? 31n ?198 ? 0.解得n ? 9或22 (不合题意,舍去) (10 分)
答:在第 9 天达到运算食品的最大量。 (12 分) 【文】(1)连结 AC。∵PA⊥平面 ABCD, ∴∠PCA 是直线 PC 与平面 ABCD 所成的角 (2 分)
PC ? PA2 ? AC2 ? 1? 5 ? 6.?cos?PCA ? 5 ? 30 . (6 分) 66

21.解:(1)依题意,设椭圆

E

的方程为

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0),

由已知半焦距 c ? 1,? a 2 ? b2 ? 1. ① (2 分)

?点C(1, 3)在椭圆E上,则 1 ? 9 ? 1.

2

a 2 4b2

② (4 分)

由①、②解得, a 2 ? 4,b2 ? 3.? 椭圆E的方程为 x2 ? y 2 ? 1. 43

(6 分)

(2)设 P(x0 , y0 ),由PF1 ? PF2 ? t,得(?1,?0 ,?y0 ) ? (1? x0 ,?y0 ) ? t ,



x

2 0

?

y 02

?t

? 1.

③ (8 分)

∵点 P 在曲线 C 上,? x02 ? y02 ? 1.



43

由③得

y

2 0

?

t

?1?

x02 , 代入④,并整理得 x02

?

4(t

? 2).

⑤ (10 分)

由④知, 0 ? x02 ? 4 , ⑥

结合⑤、⑥,解得: 2 ? t ? 3.?实数t的取值范围为[2,3]. (12 分)

22.解:【理】(1)? f (x)为R上奇函数,? f (0) ? 0 ? c ? 0. (2 分)

此时 f (x) ? x3 ? bx2 ,而f (?x) ? ? f (x).

? ?x3 ? bx2 ? ?x3 ? bx2 (x ? R),?b ? 0. ? f (x) ? x3 (x ? 0). (4分)

(2)由已知, a13 ? a12 ,且a1 ? 0,则a1 ? 1. (6 分)

因为数列{an }的各项都是正数, 又a13

?

a23

?? ?

a

3 n

?

(a1

?

a2

???

an )2,

a13

?

a23

???

a

3 n?1

?

(a1

?

a2

???

an?1 ) 2 .

? an3 ? an (2a1 ? 2a2 ? ? ? 2an?1 ? an ).

? an2 ? an ? 2a1 ? 2a2 ? ? ? 2an?1 (n ? 2). (8分)

? an2?1

?

an?1

?

2a1

?

2a2

???

2an?2

?

a

2 n

?

a

2 n?1

?

an

?

an?1

?

2an?1 ,

an2

?

a

2 n?1

?

an

? an?1 ,? an

? an?1

? 1, (n

?

2).于是可得an

?

n.

(10分)

(3) bn ? 4n ? a ? 2n?1 , 若bn?1 ? bn ? 4n?1 ? a ? 2n?1 ? 4n ? a ? 2n?1 ? 3 ? 4n ? a ? 2n?1

? 2n (3? 2n ? 2a). (12分)

当a ? 3时, bn?1 ? bn ,即b1最小,? n0 ? 1.

当a

?

3时,3? 2n

?

2a

?

0

?

2n

?

2 3

a,? n

?

log 2

2 3

a,

若a ? 3 ? 2k (k ? N * ),则n0 ? k ? 1.

若a

?

3 ? 2k (k ? N * ),则n0

?

k0

? 1,其中k0为log 2

2 a的整数部分. 3

(14分)

【文】(1)当 n ? 1时, S1 ? 2a1 ?1,得a1 ? 1. (1 分)

? Sn ? 2an ? n,?当n ? 2时, Sn?1 ? 2an?1 ? (n ?1), 两式相减得: an ? 2an ? 2an?1 ?1,? an ? 2an?1 ? 1. ? an ? 1 ? 2an?1 ? 2 ? 2(an?1 ? 1), (3分)

(2分)

??an ? 1?是以a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比例数列。(4 分)

(2)由(1)得 an ? 1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n ,? an ? 2n ? 1, n ? N * (5 分)

?bn ? log 2 (an ? 1) ? log 2 2n ? n, n ? N * (8分)

(3) cn

?

2n an an?1

, cn?1

?

2 n ?1 an?1an?2

,

cn?1

? cn

?

(2n?1

2 n ?1 ? 1)(2 n?2

?1)

?

(2n

2n ? 1)(2 n?1

?1)

?

(2n?1

? 2? 4n ? 1)(2 n?2

? 2n ? 1)(2 n

?1)

?0

?数列?cn ?单调递减 。(10 分)

?n

? 1时数列?cn ?的最大项为c1

?

2 3



cn

?

(2n

2n ? 1)(2 n?1

?1)

?

1? 2n ?1

1 ,(12 分) 2n?1 ?1

所以

c1

? c2

??? cn

?

(1 ? 21 ?1

1 )?( 1 ? 22 ?1 22 ?1

1 )??? 23 ?1

1 (2n ?1

?

1 2 n?1

) ?1

?

1

?

1 2 n?1

?1

(14分)