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2014八年级数学暑假培优专题资料


2014 暑假数学

(八年级下)

2014.7

数学答题技巧
数学试卷答得好坏,主要依靠平日的基本功。只要“双基”扎实,临场不乱,重审题、重思考、轻定势, 那么成绩不会差。切忌慌乱,同时也不可盲目轻敌,觉得自己平时数学成绩不错,再看到头几道题简单,就欣喜若 狂,导致“大意失荆州”。不是审题有误就是数据计算错误,这也是考试发挥失常的一个重要原因,要认真对待考 试,认真对待每一道题主要把好4个关: 1、把好计算的准确关。 2、把好理解审题关“宁可多审三分,不抢答题一秒”。 3、把好表达规范关。 4、把好思维、书写同步关。 一、答题先易后难 原则上应从前往后答题,因为在考题的设计中一般都是按照先易后难的顺序设计的。先答简单、易做的题,有 助于缓解紧张情绪,同时也避免因会做的题目没有做完而造成的失分。如果在实际答卷中确有个别知识点遗忘可以 “跳”过去,先做后面的题。 二、 答卷仔细审题稳中求快 最简章的题目可以看一遍,一般的题目至少要看两遍。中考对于大多数学生来说,答题时间比较紧,尤其是最 后两道题占用的时间较多,很多考生检查的时间较少。所以得分的高低往往取决于第一次的答题上。另外,像解方 程、求函数解析式等题应先检查再向后做。 三、 答数学卷要注意陷阱 1、答题时需注意题中的要求。例如、科学计数法在题中是对哪一个数据进行科学计数要求保留几位有效数字等 等。 2、警惕考题中的“零”陷阱。这类题也是考生们常做错的题,常见的有分式的分母“不为零”;一元二次方程 的二项系数“不为零”(注意有没有强调是一元二次方程);函数中有关系数“不为零”;a =1 中“a 不为零”等比 性质中分母之和“不为零”(注意分类讨论)等等。 3、注意两种情况的问题,例如等腰三角形、直角三角形、高在形内、形外、两三角形相似、两圆相交、相离、 相切,点在射线上运动等。 四、对题目的书写要清晰 做到稳中有快,准中有快,且快而不乱。要提高答题速度,除了上述的审题能力、应答能力外,还要提高书写 能力,这个能力不仅是写字快,还要写得规范,写得符合要求。比如,填空题的内容写在给定的横线上,改正错误 时,要擦去错误重新再写,不要乱涂乱改;计算题要把解写上,证明题要把证明两字写上,内容从上到下、从左到 右整齐有序,过程清楚;尤其几何题要一个步骤一行,步骤要详细,切不可跳步。作图题用铅笔作答等。答题时不 注意书写的清晰,字迹潦草到看不清楚的地步,乱涂乱改的结果使卷面很不整洁,在教师阅卷时容易造成误解扣分。 五、对未见过的题目要充满信心 在每门课的中考中,遇到一至几道未见过的,不会做的难题,这是正常现象;反之,如果一门课的题目,大家 都会做,甚至都觉得很容易,这份考题就出糟了,它无法实现合理的区分度,。因此,考题中,若没有一些大家末 曾见过的"难题",反而是不正常了不慌不躁,冷静应对在考试时难免有些题目一时想不出,千万不要钻牛角尖,因 为所有试题包含的知识、能力要求都在考纲范围内,不妨先换一个题目做做,等一会儿往往就会豁然开朗了。综合 题的题目内容长,容易使人心烦,我们不要想一口气吃掉整个题目,先做一个小题,后面的思路就好找了。 六、图形添线,必有规律 这几年考试中,几何图形的辅助线集中在四方面:1、如果图形中有特殊点,如切点,斜边的中点,就要连结特 殊线段,如经过切点的半径、斜边上的中线,等等;2、作垂线,构成直角三角形,便于计算;3、分割四边形,或 延长一组对边,或平移线段,把四边形转化为三角形来研究。 七、步步为营,仔细复查 不少同学总怕考试时间来不及,却不知忙中出错最可惜。我们要尽力使每步运算都正确,不要跳步骤。做完题 目后,如果把题解重看一遍是难以发现错误的,应该换一条思路来复查,或把答数放到题目条件中检查。假如感觉 原来的题解不妥,先不要涂掉,可以另做题解作比较,弄清哪个解正确再涂改,以免一时冲动而丢分。 八、最后提示 遇到“面孔熟悉”的题千万莫欢喜,一定要抛开头脑中固有的想法,认真审题,仔细计算,以防空欢喜。更不 要去回忆原来这道题怎么做、得多少。尤其是在各类题进行了专项训练后,头脑中有很多定势的东西,要防止“面 孔熟悉”的题有新的要求,另外所有的已知条件都有其目的性,有没用上的条件要再推敲。 考试结束,“糊涂” “孤独”出考场 :每考完一科,和同学对答案是考试结束后的大忌,只会造成更加的慌 乱、怀疑、沮丧。因此,考生走出考场后应做到两点:一是越糊涂越好。不要去回想考试内容,不要回忆自己的答
0

案,更不要翻书去验证。只要出了考场,就要坚决“忘掉一切”。二是尽量避免与同学同行。因为同学在一起,总 免不了要议论考试内容,从而引起情绪波动。

分式复习训练题(A)
一、选择题(每题 3 分) 1、在式子: A. 2

1 2 xy 3a 2b3c 5 x y 10 , , , , ? ,9 x ? 中,分式的个数是( a ? 4 6? x 7 8 y
B. 3 C. 4 D. 5 )

)

xy 2、如果把分式 中的 x 和 y 都扩大 2 倍,则分式的值( x? y

A.扩大 4 倍; B.扩大 2 倍; C.不变; D.缩小 2 倍 3、一水池有甲乙两个进水管,若单独开甲、乙管各需要 a 小时、b 小时可注满空池;现两管同时打开,那么注满空池 的时间是( )

1 1 1 ? B. a b ab 0 2 4、计算 ? 1 ? (?3 ) 的值是
A. A. 10
2

C.

1 a?b
( )

D.

ab a?b

B. -8

C. -10 的取值为( )

D. 8

5、若分式

C. x ? ?1 D.无法确定 6、用科学记数法表示-0.000 0064 记为( ) -7 -4 -6 -8 A、-64?10 B、-0.64?10 C、-6.4?10 D、-640?10 7、某单位向一所希望小学赠送 1080 件文具,现用 A、B 两种不同的包装箱进行包装,已知每个 B 型包装箱比 A 型包 装箱多装 15 件文具,单独使用 B 型包装箱比单独使用 A 型包装箱可少用 12 个。设 B 型包装箱每个可以装 x 件 文具,根据题意列方程为( ) 1080 1080 1080 1080 1080 1080 1080 1080 A. = +12 B. = -12 C. = -12 D. = +12 x x-15 x x-15 x x+15 x x+15 8、下列关于分式的判断,正确的是( )

x ?1 的值为 0,则 x x ?1 A. x ? 1 B. x ? ?1

x ?1 3 的值为零 B.无论 x 为何值, 2 的值总为正数 x?2 x ?1 x?3 3 C.无论 x 为何值, 不可能得整数值 D.当 x ? 3 时, 有意义 x ?1 x
A.当 x=2 时, 9.要使式子 A.a≠0 D.a≥-2 且 a≠0 10.甲志愿者计划用若干天完成社区的某项工作,从第三天起,乙志愿者加入此项工作,且甲乙的工作效率相同,结 果提前 3 天完成了任务,则甲志愿者计划完成此项工作的天数是( ) A.5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题(每题 3 分)

a +2 有意义,a 的取值范围是( ) a B.a>-2 且 a≠0 C.a>-2 或 a≠0

2x ? 1 ? ( x ? 3) ? 2 中,自变量 x 的取值范围是___________。 1 ? 2x 12、不改变分式的值,使分子、分母各项的系数都化为整数,则 0.5 x ? 0.7 y ? ________ . 2 x ? 0.6 y
11、函数 y ? 13、我国是一个水资源贫乏的国家,每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯。为提高水资源的利用效率, 某住宅小区安装了循环用水的装置,经计算,原来 a 天需用水 m 吨,现在这些水可多用 5 天。现在每天比原来 少用水 吨。 14、若 x ? 5 ? a ? 5 无解,则 a 为___________。 x?4 4? x

15、已知 1 ? 1 ? 5 ,则 2a ? 3ab ? 2b 的值是_______。 a b a ? 2ab ? b 16、已知 x ? y ? z ,则 2 x ? y ? z ? 2 3 4 3x ? 2 y ? z 17、已知 a+ 。

1 a

=6,则(a-

1 a



2

=



18.若分式方程

a x 的解是负数,则 a 范围是__________ ?1 ? x?3 x?3

三、算一算(每小题 5 分) 19.

2a 1 ? 2 a ?4 2?a

20.

x2 ?1? x x ?1
a2 a ? a ? b ? 2a ? 2b ? 2 ? ? ? ? 2 b ? a ? b ? 3a ? 3b a ? b
2

21.

( x?2 y ?3 )?1 ? ( x2 y ?3 )2 .

22.

23. 先化简,再求值: ( x ? 2 ? 四、解下列方程(每题 5 分)

12 4? x ,其中 x ? ? 4 ? 3 )? x?2 x?2
25.

x x?2 8 . ? ? 2 x?2 x?2 x ?4 3 a ? 2 b ? 5c 的值. 26.已知 a+b-c=0,2a-b+2c=0(c≠0),求 5a ? 3b ? 2c
24.   五.解答题 27.(10 分) 在 5 月举行的“爱心捐款”活动中,某校八(1)班共捐款 300 元,八(2)班共捐款 225 元,已知八(1) 班的人均捐款额是八(2)班的 1.2 倍,且八(1)班人数比八(2)班多 5 人.问两班各有多少人? 28. (11 分)为加快西部大开发,西部某省决定新修一条高速公路。甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单 独施工,则刚好如期完成;如果乙工程队单独施工,就要超过 6 个月才能完成。现在由甲、乙两队先共同施工 4 个 月,剩下的由乙队单独施工,则刚好如期完成。问原来规定修好这条公路需要多长时

3 +  1 =3. 2x ? 2 1 ? x

分式提高训练题(B)
1. 甲、乙两人从两地同时出发,若相向而行,则 a 小时相遇;若同向而行,则 b 小时甲追上乙,那么甲的速度是乙的速 度的( )A. a ? b 倍 B.

b
2. 已知 y1=2x,y2=

b a?b

C. b ? a 倍

b?a

D. b ? a 倍

b?a

y2009 ab 1 bc 1 ca 1 abc 3.已知 a、b、c 为实数, = , = , = .求分式 的值. a ? b 6 b ? c 8 c ? a 10 ab ? bc ? ca 1 1 1 1 4.计算: + + +?+ 。 a(a ? 1) (a ? 1)(a ? 2) (a ? 2)(a ? 3) (a ? 2009)(a ? 2010)
x y y2 + - 2 的值. x ? y x ? y x ? y2 1 1 1 1 1 1 6.已知 a+b+c=0.求 a( + )+b( + )+c( + b c a c a b 1 1 ab ? 1 8.若 b+ =1,c+ =1,求 。 c a b
5.已知

2 y1

,y3=

2 y2

,?,y2010=

2

,求 y1?y2010 的值.

y 3 = x 4

,求

)的值.

9.已知 abc=1,求

c a b + + 的值. ab ? a ? 1 bc ? b ? 1 ac ? c ? 1

10.阅读下列材料:

1 1 1 =c+ 的解是 x =c,x = ; x c c 1 1 ?1 ?1 1 x- = c- ,即 x+ =c+ 的解是 x =c,x =- ; x c x c c 2 2 2 x+ =c+ 的解是 x =c,x = ; x c c 3 3 3 x+ =c+ 的解是 x =c,x = . x c c m m (1) 请观察上述方程与解的特征,比较关于 x 的方程 x+ =c+ x c
关于 x 的分式方程 x+
1 2 1 2 1 2 1 2

(m≠0)与它的关系,猜想它的解是什么,并利用方

程解的概念进行验证. (2) 由上述的观察,比较,猜想,验证可以的出结论; 如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和,方程右边形式与左边的完全相同,只是把其中未知数换成某个常 数. 那请你利用这个结论解关于 x 的方程:x+ 11.阅读下列材料

2 2 =a+ x ?1 a ?1

1 1 1 1 - = - 的解为 x=1, x ?1 x x ? 2 x ? 3 1 1 1 1 方程 - = - 的解为 x=2, x x ?1 x ? 3 x ? 4 1 1 1 1 方程 - = - 的解为 x=3,? x ?1 x ? 2 x ? 4 x ? 5
方程 (1) 请你观察上述方程与解的特征,写出能反映上述方程一般规律的方程,并求出这个方程的解. (2) 根据(1)中所求得的结论,写出一个解为-5 的分式方程.

一、函数的取值范围:1.

一次函数和反比例函数的综合复习(A) 1 函数 y ? 中自变量 x 的取值范围是 . x ?1
2 ? x 中自变量 x 的取值范围是
x?2 x?2
的自变量 x 的取值范围是 .

y 2 O
P(1,2) ?

2.函数 y ? 3.函数 y=

1

x

二、求函数的解析式 1.反比例函数图象如右上图 1 所示,则这个反比例函数的解析式是

y?

.

图1

2.一次函数的图象过点(0,2 ) ,且函数 y 的值随自变量 x 的增大而增大,请写出一个符合条件的函数解析式: ______________ 3.已知点 (?

3, 3) 是反比例函数图象上的一点,则此函数图象的解析式是____________.

4.两位同学在描述同一反比例函数的图象时,甲同学说: “从函数图象上任意一点向 x 轴、y 轴作垂线,与两坐标轴 所围成的矩形的面积为 6. ”乙同学说: “这个函数图象与直线 y=-x 有两个交点. ”这两位同学所描述的反比例函数 的表达式为 . 5.若 A.

b) 点 (a, 在函数 y ? a ?1 ? b ? 2 ? 0 ,
2 x
B.

2 x 6.如图,正方形 ABCD 的边长为 10,点 E 在 CB 的延长线上, EB ? 10 ,点 P 在边 E y? y??
D.

1 x

k x 1 C. y ? x

图象上, 则函数解析式为(

)

A F B

y?

D P C

CD 上运动(C.D 两点除外) ,EP 与 AB 相交于点 F,若 CP
系式是 _____ . 三、求函数与 x 轴和 y 轴的交点坐标 与 x 轴交点 y=0,与 y 轴交点 x=0 四、求函数的值和点的坐标,判定点是否在图像上 1.已知点 M (-2,3 )在双曲线 A.(3,-2 ) 2.反比例函数

? x ,四边形 FBCP 的面积为 y ,则 y 关于 x 的函数关

y?

k x

上,则下列各点一定在该双曲线上的是( C.(2,3 ) .

) D.(3,2)

B.(-2,-3 )

m ?1 y? 的图象经过点(2,1) ,则 m 的值是 x

五、求函数和函数的交点坐标:把解析式联袂成方程组求解 六、函数的图像和应用 1.已知反比例函数 ( )象限 A.二 B.一、三

y?

k x

的图象经过点 P(一 l,2),则这个函数的图象位于第 D.二、四

C.三

k 的图像上,当 1﹤x﹤4 时,y 的取值范围是 x 3 3.若反比例函数的表达式为 y ? ,则当 x ? ?1 时, y 的取值范围是 . x 4.已知一次函数 y ? kx ? b 的图象如图 5,当 x ? 0 时, y 的取值范围是 . 5.如图 6,小明从学校到家的路程 S (米)与时间 t (分)的函数图象.观察图象,从中得到如下信息: ① 学校离 小明家 1000 米; ② 小明用了 20 分钟到家; ③ 小明前 10 分钟走了路程的一半;④小明后 10 分钟比前 10 分钟快,
2.点 A(2,1)在反比例函数 y

?

其中正确的有___________(填序号) . 6 如图 7,在矩形 MNPQ 中,动点 R 从点 N 出发,沿 N → P → Q → M 方向运动至点 M 处停止.设点 R 运动 的路程为 x ,△MNR 的面积为 A. N 处 B. P 处

y ,如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示,则当 x ? 9 时,点 R 应运动到( C. Q 处 D. M 处



7.星期天,小明从家里到图书馆看书,再回到家.他离家的距离 y(千米)与时间 t(分钟)的关系如图 8.根据图 象回答问题: (1)小明家离图书馆距离是________千米(2)小明在图书馆看书时间为_______小时(3)小明去图书 馆的速度是______千米/小时.

y O -2 图5
七、函数的性质和

1

x

s 100 ( 0 米) t 2( 0 分)
)

Q

P R

y 3 O 4 9 (图 2)

y(千米)

M 0 1 图6 0 (图 1) 图7

N

x O 1 7 2图 8 2

t( 分)

应用 1.一次函数 y=kx+b 与反比例函数 A.函数值 y 随着 x 的增大而增大 D.它们的自变量 x 的取值为全体实数

y?

k x

图象如图所示,则下列说法的是( 随着 x 的增大而减小 C.k<0 2.反比例函数

B.函数值 y

y?

(?2,1) ,那么 B 点的坐标为 . 1? k 3.在反比例函数 y ? 的图象的每一条曲线上, y都随x 的增大而增大,则 k 的值可以是( ) x A. ? 1 B.0 C.1 D.2 k 4.已知点 A( x1,y1 ) 、B( x2,y2 )是反比例函数 y ? ( k ? 0 )图象上的两点,若 x1 ? 0 ? x2 ,则有( x A. y1 ? 0 ? y2 B. y2 ? 0 ? y1 C. y1 ? y2 ? 0 D. y2 ? y1 ? 0

k (k ? 0) 的图象与经过原点的直线 l x

相交于 A、B 两点,已知 A 点坐标为



5.若 A(x1,y1),B(x2,y2)是 y ? 6.已知关于 x 、 值范围是 7.如图所示,反比例函数 点坐标是

y 的一次函数 y ? ? m ?1? x ? 2 的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限,那么 m 的取

3 上的两点,且 x1>x2>0,则 y1 y2(填“>” “= ” “<” ) . x

y1 与正比例函数 y2 的图象的一个交 A. 0
C. 0

1 1

2 2

B. 0 D. 0

1 1

2 2

A(2, 1) ,若 y2 ? y1 ? 0 ,则 x 的取值
范围在数轴上表示为( ) 八、 求函数的面积 1.如图 1, A、 B 是函数

y?

2 图象上关于原点对称的两点, BC∥ x 轴, x
D. S

AC∥
A.

y 轴,△ABC 的面积记为 S ,则( ) S ? 2 B. S ? 4 C. 2 ? S ? 4

?4

2.如图 2 直线 y=mx 与双曲线 y=

k 交 A、B 两点,过 A 作 AM⊥x 轴,垂足为 M,,若 x
B、m-2 C、m D、4

y
A O B y B O A 图4 x C

S ?ABM =2,则 k 值是(

)A.2

4 3. 如图 3,函数 y ? x 与 y ? 的图象交于 A、B 两点,过点 A 作 AC 垂直于 y 轴, x 垂足为 C,则 △ ABC 的面积为 3 4.如图 4,在直角坐标系中,点 A 是 x 轴正半轴上的一个定点,点 B 是双曲线 y ? x ( x ? 0 )上的一个动点,当点 B 的横坐标逐渐增大时,△OAB 的面积将会( )
A.逐渐增大 B.不变 C.逐渐减小 D.先增大后减小

x

九、函数的平移 (左加右减、上加下减)把函数 y=3x-2 图像向左平移一个单位长度, 得到的函数图像的解析式为 .再向下平移 2 个单位长度,得到的函数图像的解析式为 十 、 综 合 应 用 .1. 如 图 , 一 次 函 数

y ? kx ? b (k ? 0) 的 图 象 与 反 比 例 函 数

m y ? ( m ? 0) 的图象相交于 A.B 两点. (1)根据图象,分别写出点 A.B 的坐标; x
(2)求出这两个函数的解析式.

y B 1 A O 1 x

2.如图,反比例函数

y?

2 x

的图像与一次函数

y ? kx ? b 的图像交点 A(m,2),

点 B(-2, n ),一次函数图像与 y 轴的交点为 C。 (1)求一次函数解析式; (2)求 C 点坐标; (3)求△AOC 的面积。 6 如图 6,已知一次函数

y1 ? x ? m (m 为常数)的图象与反比例函数 y2 ?

k ? 0 )的图象相交于点
坐标;

k (k 为常数, x
y 3 2 1 B A(1,3)

A(1,3) . (1)求这两个函数的解析式及其图象的另一交点 B 的

(2)观察图象,写出使函数值

y1 ≥ y2 的自变量 x 的取值范围.

?1 1 2 3 ?1

x

图6

一次函数和反比例函数提高训练(B)
1、已知点 A(0,2)和点 B(0,-2) ,点 P 在函数 y= ?

1 的图像上,如果△PAB 的面积为 6,求 P 点的坐标 x 4 x
(x

2、如例 1 图,已知△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3?△PnAn-1An 都是等腰直角三角形,点 P1、P2、P3?Pn 都在函数 y= >0)的图象上,斜边 OA1、A1A2、A2A3?An-1An 都在 x 轴上.则点 A10 的坐标为 3、如图,在平面直角坐标系中,直线 y=-x+1 分别交 x 轴、y 轴于 A,B 两点,点 P(a,b)是反比例函数 y= 第一象限内的任意一点,过点 P 分别作 PM⊥x 轴于点 M,PN⊥y 轴于点 N,PM,PN 分别交直线 AB 于 E,F,有下列结论:①AF=BE;②图中的等腰直角三角形有 4 个; ③S△OEF=

1 在 2x

1 2

(a+b-1);④∠EOF=45°.其中结论正确的序号是

4、已知反比例函数 y=

k 和一次函数 y=2x-1,其中一次函数的图象经过(a,b), 2x
(1)

(a+k,b+k+2)两点. 求反比例函数的解析式; (2)求反比例函数与一次函数两个交点 A、B 的坐标: (3)根据函数图象,求不等式

k >2x-1 的解集; 2x
符合

(4)在(2)的条件下,x 轴上是否存在点 P,使△AOP 为等腰三角形?若存在,把 条件的 P 点坐标都求出来;若不存在,请说明理由。

5、已知反比例函数 y=

k 和一次函数 y=2x-1,其中一次函数的图象经过(a,b)、(a+1,b+k)两点. 2x
(2) 点 B, (3) >0) 线 CD

(1)求反比例函数的解析式; 若两个函数图象在第一象限内的交点为 A(1,m),请问:在 x 轴上是否存在 使△AOB 为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点 B 的坐标; 如图。若直线 y=-x+

1 2

交 x 轴于 C,交 y 轴于 D,点 P 为反比例函数 y=

k (x 2x

的图象上一点,过 P 作 y 轴的平行线交直线 CD 于 E,过 P 作 x 轴的平行线交直 于 F,求证:DE?CF 为定值.

6、如图 1,矩形 ABCD 的边 BC 在 x 轴的正半轴上,点 E(m,1)是 BD 的中点,点 A、E 在反比例函数 y=

对角线

k x

的图象上.

(1)求 AB 的长; (2)在 y 轴上找一点 H,使 HA+HE 最短,求最短长度与 H 坐标 (3)当矩形 ABCD 是正方形时,将反比例函数 y= 求 k1 的值;

k x

的图象沿 y 轴翻折,得到反比例函数 y=

k1 x

的图象(如图 2),

4t

6t

8t

(4)直线 y=-x 上有一长为

2 动线段 MN,作 MH、NP 都平行 y 轴交在条件(2)下,第一象限内的双曲线 y=

k x



点 H、P,问四边形 MHPN 能否为平行四边形(如图 3)?若能,请求出点 M 的坐标;若不能,请说明理由.

特殊四边形的判定与性质 平行四边形性质①对边平行、对边相等 ②对角相等、邻角互补③对角线互相平分④ 中心对称 平行四边形判定①两组对边分别平行的四边形②两组对边分别相等的四边形③一组对边平行且相等的四边形④两组 对角分别相等的四边形⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形 矩形性质①对边平行、对边相等② 四个角都是直角 ③对角线互相平分、相等 ④中心对称,轴对称 矩形判定①有一个角是直角的平行四边形是矩形②有三个角是直角的四边形 ③对角线相等的平行四边形是矩形 菱形性质①对边平行、四边相等 ②对角相等、邻角互补 ③对角线互相垂直平分、对角线平分每一组对角 ④中心对称,轴对称 菱形判定①有一组邻边相等的平行四边形是菱形②四条边都相等的四边形是菱形 ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形 正方形性质①对边平行、四边相等 ②四个角都是直角 ③对角线互相垂直平分、对角线平分每一组对角 ④中心对称,轴对称 正方形判定①一组邻边相等的矩形是正方形② 有一个角是直角的菱形是正方形 ③对角线互相垂直且相等的平行四 边形是正方形(先判定矩形、再判定菱形) 等腰梯形性质 ①两底平行、两腰相等 ②同一底上的两个角相等 ③对角线相等 ④轴对称 等腰梯形判定①两腰相等的梯形是等腰梯形 ②同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 ③对角线相等的梯形是等腰梯形 补充:①三角形中位线:三角形两边中点连接的线段叫三角形中位线 ②三角形中位线定理:三角形中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。 ③梯形的中位线:梯形两腰中点连接的线段叫梯形的中位线 ④梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底,且等于两底和的一半 19.2 特殊的平行四边形

1.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是 。 2.如果边长分别为 4cm 和 5cm 的矩形与一个正方形的面积相等,那么这个正方形的边长为______cm. 2 3.已知菱形两条对角线的长分别为 5cm 和 8cm,则这个菱形的面积是 cm . 4.如图,DE∥BC,DF∥AC,EF∥AB,图中共有_______个平行四边形. 5 若四边形 ABCD 是平行四边形,请补充条件 (写一个即可),使四边形 ABCD 是菱形.

6. 如图, 在平行四边形 ABCD 中,已知对角线 AC 和 BD 相交于点 O,△ABO 的周长为 17,AB=6, 那么对角线 AC+BD= ⒎ 以 正 方 形 ABCD 的 边 BC 为 边 做 等 边 △BCE , 则 ∠AED 的 度 数 为 。 8.如图,延长正方形 ABCD 的边 AB 到 E,使 BE=AC,则∠E= ° 9.已知菱形 ABCD 的边长为 6,∠A=60°,如果点 P 是菱形内一点,且 PB=PD =2 那么 AP 的长为 . 10.在平面直角坐标系中,点 A、B、C 的坐标分别是 A(-2,5),B(-3,-1), C(1,-1),在第一象限内找一点 D,使四边形 ABCD 是平行四边形,那么点 D 的 坐标是 . 11.如图,在平行四边形 ABCD 中,∠B=110°,延长 AD 至 F,延长 CD 至 E,连结 EF,则∠E+∠F=( A.110° B.30° C.50° D.70° 12.菱形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A.对角相等 B.四边相等 C.对角线互相平分 D.四角相等 13.如图,平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O, 11t 点 E 是 BC 的中点.若 OE=3 cm,则 AB 的长为 ( ) H 13t A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm D A 14.如图,在矩形 ABCD 中,E、F、G、H 分别为边 AB、BC、CD、DA 的中点. E 若 AB=2,AD=4,则图中阴影部分的面积为( )A.8 B.6 C.4 D.3 G 15.将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形: B ①平行四边形(不包括菱形、矩形、正方形)②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三 C F 14t 16t ( ) A.①③⑤ B.②③⑤ C.①②③ D.①③④⑤ 16. 如图是一块电脑主板的示意图, 每一转角处都是直角, 数据如图所示(单位: mm), 则该主板的周长是 ( A.88 mm B.96 mm C.80 mm D.84 mm 17、下列汽车标志中,是中心对称图形但不是轴对称图形的有( )个。 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 18、小明将下列 4 张牌中的 3 张旋转 180°后得到,没有动的牌是( ) 。 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 19、四边形 ABCD,下列条件中任取两个加以组合,使得 ABCD 是平行四边形,一共有多少种不同的组合?( AB∥CD BC∥AD AB=CD BC=AD (A)2 组 (B)3 组 (C)4 组 (D)6 组 20、下列说法错误的是( ) (A)一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。 (B)每组邻边都相等的四边形是菱形。 (C)对角线互相垂直的平行四边形是正方形。 (D)四个角都相等的四边形是矩形。 21、如图 8,在四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 边上的中点,阅读 下列材料,回答问题: ⑴连结 AC、BD,由三角形中位线的性质定理可证四边形 EFGH 是 。 ⑵对角线 AC、BD 满足条件 时,四边形 EFGH 是矩形。 21t ⑶对角线 AC、BD 满足条件 时,四边形 EFGH 是菱形。 ⑷对角线 AC、BD 满足条件 时,四边形 EFGH 是正方形。 22、如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC=8 cm , BD=6 cm, DH⊥AB 于 H, 求:DH 的长

)

角形

)



23、已知:如图,菱形 ABCD 的周长为 16 cm,∠ABC=60°,对角线 AC 和 BD 相交于点 O, 求 AC 和 BD 的长。

22t

24、如图,在正方形 ABCD 中,P 为对角线 BD 上一点,PE⊥BC,垂足为 E, PF⊥CD,垂足为 F,求证:EF=AP

A

t P

D F

25、在△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是 E,F. ⑴试说明:DE=DF

B
E B A

E
F D

C

C

⑵只添加一个条件,使四边形 EDFA 是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外 添加辅助线,无需证明 26、如图, ABCD 中,AE 平分∠BAD 交 BC 于 E,EF∥AB 交 AD 于 F, 试问:四边形 ABEF 是什么图形吗? 请说明理由。
B A F D

E

C

27、如图,以△ABC 的三边为边在 BC 的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF,请回答下列问题: (1)四边形 ADEF 是什么四边形?并 说明理由 . .... (2)当△ABC 满足什么条件时,四边形 ADEF 是菱形? (3)当△ABC 满足什么条件时,以 A、D、E、F 为顶点的四边形不存在.

27t

四边形训练题(B)动点问题 题型方法归纳
动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中, 特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。 )动点问题一直是中考热点,近几年考查探究 运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积 的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。 1、如图 1―4―2l,在边长为 a 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,E 是异于 A、D 两点的动点,F 是 CD 上的动点,满足 A E+CF=a,说明:不论 E、F 怎样移动,三角形 BEF 总是正三角形.

2、如图 l-4-80,已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,E 是 AC 上一点,过点 A 作 AG ⊥EB,垂足为 G,AG 交 BD 于 F,则 OE=OF. (1)请证明 0E=OF (2)解答(1)题后,某同学产生了如下猜测:对上述命题,若点 E 在 AC 的延长线上,AG ⊥EB,AG 交 EB 的延长线于 G,AG 的延长线交 DB 的延长线于点 F,其他条件不变,则仍有 OE=OF.问:猜测所得结论是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. 3、如图,已知 AD 与 BC 相交于 E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB 于 H, CH 交 AD 于 F. (1)求证:CD∥AB; (2)求证:△BDE≌△ACE; (3)若 O 为 AB 中点,求证:OF=

1 2

BE.

3 y x ? 6 与坐标轴分别交于 A、B 两点,动点 P、Q 同时从 O 点出发, B 4 同时到达 A 点,运动停止.点 Q 沿线段 OA 运动,速度为每秒 1 个单 位长度,点 P 沿路线 O → B → A 运动. P (1)直接写出 A、B 两点的坐标; (2)设点 Q 的运动时间为 t 秒, △OPQ 的面积为 S ,求出 S 与 t 之间 O Q
4、直线

y??

的函数关系式; (3)当 S

A x
的坐标.

?

48 时,求出点 P 的坐标,并直接写出以点 O、P、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 5

ABCD 的边长为 6 厘米, ?B ? 60° .从初始时刻开始,点 P 、 Q 同时从 A 点出发,点 P 以 1 厘米/秒的速度沿 A ? C ? B 的方向运动,点 Q 以 2 厘米/秒的速度沿 A ? B ? C ? D 的方向运动,当点 Q 运动到 D 点时, P 、Q 两点同时停止运动,设 P 、 Q 运动的时间为 x 秒时, △APQ 与 △ ABC 重叠部分 ....
5、如图所示,菱形

y A H B M O A y(1) 图 H B M O C x C x

y 平方厘米(这里规定:点和线段是面积为 O 的三角形) ,解答下列问题: (1)点 P 、 Q 从出发到相遇所用时间是 秒; ( 2 )点 P 、 Q 从开始运动到停止的过程中,当 △APQ 是等边三角形时 x 的值是
的面积为 秒; (3)求

y 与 x 之间的函数关系式.

6、如图 1,在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,四边形 ABCO 是菱形,点 A 的坐标 为(-3,4) ,点 C 在 x 轴的正半轴上,直线 AC 交 y 轴于点 M,AB 边交 y 轴于点 H. (1)求直线 AC 的解析式; (2)连接 BM,如图 2,动点 P 从点 A 出发,沿折线 ABC 方向以 2 个单位/秒的速度向终点 D

图(2) C

C 匀速运动,设△PMB 的面积为 S( S ? 0 ) ,点 P 的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 之间的函 数关系式(要求写出自变量 t 的取值范围) ; (3)在(2)的条件下,当 t 为何值时,∠MPB 与∠BCO 互为余角,

P A Q B

7、如图,在平面直角坐标系中,点 A( 3 ,0),B(3 3 ,2),C(0,2).动 点 D 以每秒 1 个单位的速度从点 0 出发沿 OC 向终点 C 运动,同时动点 E 以每 秒 2 个单位的速度从点 A 出发沿 AB 向终点 B 运动.过点 E 作 EF 上 AB,交 BC 于点 F,连结 DA、DF.设运动时间为 t 秒. (1)求∠ABC 的度数; (2)当 t 为何值时,AB∥DF; (3)设四边形 AEFD 的面积为 S.求 S 关于 t 的函数关系式;

8、已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCO 是菱形,且 ∠AOC=60°,点 B 的坐标是 (0,8 设 t (0 ? t

3) ,点 P 从点 C 开始以每秒 1 个单位长度的速度在线段 CB 上向点 B 移动,同时,
y P C D Q O x A B

点 Q 从点 O 开始以每秒 a(1≤a≤3)个单位长度的速度沿射线 OA 方向移动,

? 8) 秒后,直线 PQ 交 OB 于点 D.

(1)求∠AOB 的度数及线段 OA 的长; (2)求经过 A,B,C 三点的抛物线的解析式;

4 3 时,求 t 的值及此时直线 PQ 的解析式; 3 (4)当 a 为何值时,以 O,P,Q,D 为顶点的三角形与 ?OAB 相似?当 a 为 何值时,以 O,P,Q,D 为顶点的三角形与 ?OAB 不相似?请给出你的结论,
(3)当 a

? 3, OD ?

并加以证明.

9、已知:如图,在直角梯形 COAB 中, OC ∥ AB ,以 O 为原点建立平面直角坐标系, A,B,C 三点的坐标

A(8,, 0) B(810) , ,C (0, 4) ,点 D 为线段 BC 的中点,动点 P 从点 O 出发,以每秒 沿折线 OABD 的路线移动,移动的时间为 t 秒. (1)求直线 BC 的解析式; (2)若动点 P 在线段 OA 上移动,当 t 为何值时,四边形 OPDC 的面积是梯形 COAB 2 B 面积的 ? y 7 y (3)动点 P 从点 O 出发,沿折线 OABD 的路线移动过程中, D 设 △OPD 的面积为 S ,请直接写出 S 与 t 的函数关系式,并 C
分别为 指出自变量 t 的取值范围; (4)当动点 P 在线段 若不能,请说明理由.

1 个单位的速度,

B D

C

AB 上移动时,能否在线段 OA 上找到一
O P A x O A (此题备用) x

点 Q ,使四边形 CQPD 为矩形?请求出此时动点 P 的坐标;

10、如图①,正方形 ABCD 中,点 A、B 的坐标分别为(0,10) , (8,4) , 点 C 在第一象限.动点 P 在正方形 ABCD 的边上,从点 A 出发沿 A→B→C→D 匀速运动,同时动点 Q 以相同速度在 x 轴正半轴上运动,当 P 点到达 D 点时,两 点同时停止运动,设运动的时间为 t 秒. (1)当 P 点在边 AB 上运动时,点 Q 的横坐标 x (长度单位)关于运动时间 t (秒)的函数图象如图②所示,请写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速 度; (2)求正方形边长及顶点 C 的坐标; (3)在(1)中当 t 为何值时,△OPQ 的面积最大,并求此时 P 点的坐标;

(4)如果点 P、Q 保持原速度不变,当点 P 沿 A→B→C→D 匀速运 动时,OP 与 PQ 能否相等,若能,写出所有符合条件的 t 的值; 若不能,请

二次根式(新课)
1.二次根式:式子 a ( a ≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质: (1) (

a ( a >0)
(2) a 2 ? a ?

a )=a
2

( a ≥0) ;

0 ( a =0) ;

5.分母有理化 6.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移 到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之 也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除) ,将被开方数相乘(除) ,所得的积(商)仍作积(商)的 被开方数并将运算结果化为最简二次根式. ; ab = a ? b (a≥0,b≥0)

? a ( a <0)

b b ? a a

(b≥0,a>0) .

(4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公 式,都适用于二次根式的运算.

【典型例题】
1、概念与性质 例 1 下列各式 1)

1 1 , 2) ?5,3) ? x 2 ? 2, 4) 4,5) (? ) 2 ,6) 1 ? a ,7) a 2 ? 2a ? 1 , 5 3

其中是二次根式的是_________(填序号) . 例 2、求下列二次根式中字母的取值范围 1 x?5 ? (x - 2) 2 3? x ; (1) (2) 例 3、 在根式 1) A.1) 2)

a 2 ? b2 ; 2)
B.3) 4)

x ;3) x 2 ? xy ; 4) 27abc ,最简二次根式是( 5
C.1) 3) D.1) 4)



1 x y y ? 1 ? 8x ? 8x ? 1 ? , 求代数式 ? ?2? 2 y x 例 4、已知:
例 5、已知数 a,b,若 (a ? b) 2 =b-a,则 ( A. a>b B. a<b 2、二次根式的化简与计算 1.化简: (1) 72 ? __ ; (2) C. a≥b ) D. a≤b

x y ? ? 2的值。 y x

252 ? 242 ? ___
_; (5) 2 ) ;
0

(3) 6 ?12 ?18 ? ___ (6) ? 4 ? _______。

_;

(4) 75 x 3 y 2 ( x ? 0, y ? 0) ? ___ 例 1. 将 A. ;

? ?4?

2

=_________。

根号外的 a 移到根号内,得 ( B. - ; C. -

D.

例 2. 把(a-b)

1 -a-b 化成最简二次根式

例 3、计算: 例 4、先化简,再求值:

1 1 b ,其中 a= ? ? a ? b b a (a ? b)
4、比较数值

5 ? 1 ,b= 5 ? 1 . 2 2

例 5、如图,实数 a 、 b 在数轴上的位置,化简 : (1) 、根式变形法当 a ? 0, b ? 0 时,①如果 a 例 1、比较 3

a 2 ? b 2 ? ( a ? b) 2

? b ,则 a ? b ;②如果 a ? b ,则 a ? b 。

5 与 5 3 的大小。
2

(2) 、平方法当 a ? 0, b ? 0 时,①如果 a

? b 2 ,则 a ? b ;②如果 a 2 ? b 2 ,则 a ? b 。

例 2、比较 3 2 与 2 3 的大小。 (3) 、分母有理化法通过分母有理化,利用分子的大小来比较。 例 3、比较

2 1 与 的大小。 3 ?1 2 ?1

(4) 、分子有理化法通过分子有理化,利用分母的大小来比较。

15 ? 14 与 14 ? 13 的大小。 (5) 、倒数法 例 5、比较 7 ? 6 与 6 ? 5 的大小。
例 4、比较 (6) 、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。 例 6、比较 7 ? 3 与 87 ? 3 的大小。 (7) 、作差比较法在对两数比较大小时,经常运用如下性质: ① a ? b ? 0 ? a ? b ;② a ? b ? 0 ? 例 7、比较

a?b

2 ?1 2 与 3 ?1 3
a b

的大小。

(8) 、求商比较法它运用如下性质:当 a>0,b>0 时,则: ①

a b

?1? a ? b; ②

?1? a ? b

例 8、比较 5 ?

3 与 2 ? 3 的大小。

5、规律性问题 例 1. 观察下列各式及其验证过程: , 验证: ;

验证:

.

(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想 4 4 的变形结果,并进行验证; 15 (2)针对上述各式反映的规律,写出用 n(n≥2,且 n 是整数)表示的等式,并给出验证过程. 例 2. 已知 ,则 a _________

发展:已知 例 4、已知 a>b>0,a+b=6

,则 a

______。 C.

ab ,则

a ? b 的值为( a? b

)A.

2 2

B.2

2

D.

1 2

例 5、甲、乙两个同学化简 甲: 乙: A. 甲、乙都正确 = =

时,分别作了如下变形: = 。 其中, ( B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 ; ) 。 D. 只有乙正确

二次根式训练题
一、二次根式的概念 1、下列式子中二次根式的个数有( ⑴ ) ;⑹

1 2 1 2 3 ;⑵ ? 3 ;⑶ ? x ? 1 ;⑷ 8 ;⑸ (? ) 3 3
C.4 个 ) C.

1 ? x ( x ? 1) ;⑺ x 2 ? 2x ? 3 .

A.2 个 B.3 个 2、下列式子一定是二次根式的是( A. ? x ? 2 B. x 二、二次根式有意义的条件 1、写出下列各式有意义的条件 (1)

D.5 个 D.

x2 ? 2

x2 ? 2
1 x


3x ? 4

(2)

1 ? 8a 3

(3)

m2 ? 4
3、

(4)

?

2、 若

3 ? m 为二次根式,则 m 的取值为

2? x 有意义, 则 x ?1


1 ? 2 x ? 2 x ? 1 ? 4 ,则 x、y 的值分别是 2 5、若 m ? 3 ? (n ? 1) ? 0 ,则 m+n= 。 3 6、已知 y ? x ? 2 ? 2 ? x ? ,则, xy ? . 4 x?2 x?2 7、若 成立,则 x 满足_______________. ? 3? x 3? x
4、已知 y= 8、等式

(a ?1)(1? a) ? a ?1 ? 1? a 成立的条件是
a ? 5 +2 10 ? 2a
=b+4,则 a

9、若已知 a、b 为实数,且 三、公式应用 1、 (

?
; (?

;b

?



3)2 ? __________. (?3) 2 ? (?5) 2
= 。

= =

2)2 =




(?5) 2 ? 12 2

( 2 ? 3) 2


2、若 0≤ a ≤1,则

a 2 ? (a ? 1) 2
2

。3、化简:

8a 2 b (a ? 0) ?




x2 ? 2x ?1 ? x2 ?10x ? 25 = 2x 2 ? 3 ? 5、在实数范围内,因式分解 a – 3 =
4、当 1<x<5 时,化简:

6、

(a ? 2) 2 ? 2 ? a 成立的条件是

。 ) D.

7、把 a A.

?

1 a

中根号外面的因式移到根号内的结果是( B. ?

?a

a

C. ?

?a

a

8、若 a + b 与 a - b 互为倒数,则( ) A、a=b-1 B、a=b+1 C、a+b=1 D、a+b=-1 9、已知:实数 a,b 在数轴上的位置如图所示, 化简:

a -1 0 1

b

(a ? 1) ? 2 (b ? 1) ? a ? b
2 2

10、在Δ ABC 中,a,b,c 为三角形的三边,则 四、二次根式非负性应用 1、已知 2、如果

(a ? b ? c) 2 ? 2 c ? a ? b =


a ? 2 ? b ? 1 ? 0 ,那么 ( a ? b )2007 的值为
a ?5 + b?2 =

0,那么以 a,b 为边长的等腰三角形的周长是

3、已知实数 a, b, c 满足

a ?1?|b ?1| ? c2 ? 4c ? 4 ? 0 ,求 a100 ? b100 ? c3 的值。
) D: 4 5 ? 3

4、若三角形的三边分别是 a,b,c,且 (a ? 2 5) 2 ? a ? b ?1 ? c ? 4 ? 0 ,则这个三角形的周长是( A: 2 5 +5 B: 4 5 ? 3 C: 4 5 ? 5 五、计算辨析 1、下列计算正确的是( )

A. (?2) A.


0

?0

B. 3

?2

? ?9


C.

9 ?3
C.

D.

2? 3? 5
D.

2、下列计算正确的是(

2? 3 ? 6

B.

2? 3? 5


8?4 2

4? 2? 2

3、下列计算正确的是(

(?4)(?9) ? ? 4 ? ? 9 ? 6 ;② (?4)(?9) ? 4 ? 9 ? 6 ;
2 2

③ 5 ?4 ? 5? 4 ? 5?4 A.1 个 B.2 个 4、下列计算中,正确的是( A. 2

? 1;④ 52 ? 42 ? 52 ? 42 ? 1;
C.3 个 ) C. 3 D.4 个

3?4 2 ?6 5
25 1 4
等于(

B.

27 ? 3 ? 3
1 2
B、 ?

3 ?3 2 ? 3 6
C、

D.

(?3) 2 ? ?3

5、化简 六、估算

)A、 5

101 2

5 2

D、

1 101 2
A B

1、如图,在数轴上, 2、在数轴上与表示

A, B 两点之间表示整数的点有


个.

3 的点的距离最近的整数点所表示的数___________. 7
C. ?3.2 D. ?

3、如图,数轴上点 P 表示的数可能是(

? 3
P

5
1

A.

7

B. ?

10
) (C)

七、最简二次根式的概念 1、下列各式中,属于最简二次根式的是( (A)

?3 ?2?1 O

第1题

2 3

第3题

5a 2 b
5a , 8a ,

(B) 3 x

y x

15


(D)

27

2、

c , a 2 ? b2 , a3 9
(B)2 个

中,最简二次根式有( (C)3 个

(A)1 个

(D)4 个

3、下列各式属于最简二次根式的是(
2

)A、

x2 ?1

B、

x2 y3

C、

12

D、

0.5

4、对于二次根式 x ? 9 ,以下说法不正确的是( ) A.它是一个正数 B.是一个无理数 C.是最简二次根式 5、下列二次根式中,最简二次根式是( ) A.

D.它的最小值是 3

3a 2

B.

1 3
, (2 ?

C.

2.5

D.

a 2 ? b2

八、分母有理化 1、 (

2)

-1

=

3) ?1 =

。 2、

a? b a? b
B. 2

分母有理化的结果为



3、把

3a

12ab 1 1 1 1 4、计算: ? ? ? ......? 1? 2 2? 3 3?2 3 ? 10
九、同类二次根式 1、下列各组二次根式中,是同类二次根式的是( A、 2、 B、 3与 18 2与 12 3 的同类二次根式是 C、 ) D、

化去分母中的根号后得(

)A. 4b

b

C.

1 b 2

D.

b 2b

2与 18

3与 9
3 2 2 3

(写出一个即可) ) .

3、下列二次根式中与

2 是同类二次根式的是(

A.

12

B. B.

C. C.


D. D.

18

4、在下列二次根式中,与 5、如果最简二次根式 ⑴. 求 x、 y 的值。

)A. 2a a 是同类二次根式的是( 1 ? a 与 4a ? 2 是同类根式,那么 a =

3a2

a3

a4

6、若最简二次根式 3x?10

2x ? y ? 5和 x ? 3y ?11 是同类二次根式。
1 3 x ? 5与3 5 x ? 7 是同类二次根式,则 x= 2 二次根式,则正整数 a 的最小值为 2ax 的和是一个 ..

⑵. 求 x、 y 平方和的算术平方根。

7、如果化简后的二次根式 — 8、二次根式 ? 3 十、拓展

3x 与

;其和为



B.3 20n 是整数,则满足条件的最小正整数 n 为( )A.2 2、 24n 是整数,则正整数 n 的最小值是( )A.4 B.5 C.6 3、 10 的整数部分是 x,小数部分是 y,则 y(x+ 10 )的值是( )A、1 4、若 3 的整数部分是 a,小数部分是 b,则 3a ? b ? 。 5、比较大小: ? 3 2 ? 2 3 ; 2 3 ? 11 3 2 ? 17
1、 十一、找规律 1、观察思考下列计算过程:∵11 =121,∴ ∴
2

C .4
D.7 B、2

D.5

C、3

D、4

12321=111。
1?

猜想:

121 =11,∵111 =12321, 1234565432 1=
2

2、观察下列各式:

1 1 1 1 1 1 ? 2 ; 2? ? 3 ; 3? ? 4 3 3 4 4 5 5


??,请你将猜想到的规律用含有

自然数 a(a≥1)的代数式表达出来

3、观察下列各式: 2 ? 则依次第四个式子是

2 2 3 3 4 4 ? 2 ? ; 3? ? 3? ; 4? ? 4 ? ;?? 3 3 8 8 15 15 ;用 n(n ? 2) 的等式表达你所观察得到的规律应是



4、观察并分析下列数据,寻找规律: 0, 那么第 10 个数据应是 . 十二、计算 1、

3 , 6 ,3,2 3 , 15 ,3 2 ,??

27 ? 12 ? 45
? 1? ? ? 2 12 ? 3 3 ? ?? 6 ? ?

2、

8 ?3
0

1 1 3 ? ? 3 2 2
? 12 ? ? 3

3、

4、 ( π ? 1) 6、 (

5、 (3

6 ? 4 2 )(3 6 ? 4 2 )

5 ? 2) 2 ? ( 5 ? 1)( 5 ? 3)

2 x 1 9x ? 6 ? 2x 3 4 x 1 1 ? ) 9、 2 3 ? ( 6 2 7 0 0 2 7 0 0 2 11、 ( 15 ? 4) ? (4 ? 15)
7、 十三、简答题
2

8、

10、 12、
2

3a b 1 ?( ?2 ) 2b a b 2 1 2 1 ? 2 ? 1 3 3 5

(2 ? 5)1001 ? (2 ? 5)1000

1、已知 x=2+ 3 ,y=2- 3 ,求 x -xy+y 的值。 1 1 2、已知 x+ =4,求 x- 的值。 x x 3、已知 x= 4、已知 x ? 2 +1 2 -1 ,y= 3 -1 3 +1 ,求 x -y 的值。
2 2

y ? 5 , x ? y ? 3 ,计算

y x ? x y

的值。

2 ? 1, ab ? 2 ,求代数式 (a ? 1)(b ? 1) 的值。 1 1 2 6、已知 a ? ? ?1 ? 10 ,求 a ? 2 的值 a a 2 x ? 2x 2 ? (x ? ) ,其中 x ? 2 。 7、先化简再求值: 1? x x ?1 1 1 2 2 ,b ? 8、已知 a ? ,求 a ? b ? 7 的值。 5 ?2 5?2 1 |1? y | 9、若 x,y 是实数,且 y ? x ? 1 ? 1 ? x ? ,求 的 2 y ?1
5、若 a ? b ? 5 值 10、如图, ?ABC 中, ?ACB 求斜边

? Rt ? , AB ? 8, BC ? 2 ,

AB

上的高 CD .

一元二次方程(新课)

一、中考要求: 1.经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学 模型. 2.能够利用一元二次方程解决有关实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学 生分析问题、解决问题的意识和能力. 3.了解一元二次方程及其相关概念,会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程(数字系数人 并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想. 4.经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程,发展估算意识和能力. 二、中考卷研究 本章多考查一元二次方程的解法及应用,另外本章还多考查方程思想和转化思想以及学生收集和处理信 息的能力、获取新知识的能力、分析问题和解决问题的能力以及创新实践能力.根据已知方程编写实际问题 的应用题也是中考热点. 三、中考命题趋势及学习对策 本章中方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型,题型有填空、选择、解答.中考对数学思想方法的 考查一方程的应用将进一步提高,对方程的应用将会加大力度,一大批具有较强的时代气息、格调清新、设 计自然,紧密联系日常实际生活的应用题将会不断涌现. 针对中考命题趋势,在复习时应掌握解方程的方法,还应在方程的实际应用上多下功夫,加大力度,多 观察日常生活中的实际问题

考点 1:一元二次方程的解法
一、新课讲解: 1. 一元二次方程: 只含有一个未知数, 未知数的最高次数是 2, 且系数不为 0, 这样的方程叫一元二次方 程. 一 般形式:ax2+bx+c=0(a≠0) 。注意:判断某方程是否为一元二次方程时,应首先将方程化为一般形式。 2.一元二次方程的解法: ⑴直接开平方法:对形如(x+m)2=n(n≥0)的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。 ⑵配方法:用配方法解一元二次方程:ax2+bx+c=0(k≠0)的一般步骤是:①化为一般形式;②移项,将常 数项移到方程的右边;③化二次项系数为 1,即方程两边同除以二次项系数;④配方,即方程两边都加上 一次项系数的一半的平方;化原方程为(x+m)2=n 的形式;⑤如果 n≥0 就可以用两边开平方来求出方程 的解;如果 n≤0,则原方程无解. ⑶公式法:公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的.一元二次方程的 ? b ? b 2 ? 4ac 2 求根公式是 x ? (b -4ac≥0)。步骤:①把方程转化为一般形式;②确定 a,b,c 的值;③ 2a 求出 b2-4ac 的值,当 b2-4ac≥0 时代入求根公式。 ⑷因式分解法:用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法.理论根据:若 ab=0,则 a=0 或 b=0。步骤是:①将方程右边化为 0;②将方程左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式等于 0, 得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解. 因式分解的方法:提公因式、公式法、十字相乘法。 3.一元二次方程的注意事项: ⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意,强调 a≠0.因当 a=0 时,不含有二次项,即不是一元二次方程.如 关于 x 的方程(m2-4)x2+2mx+1=0 中,当 m=±2 时就是一元一次方程了. ⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意:①先化方程为一般形式再确定 a,b,c 的值;②若 b2-4a<0, 则方程无解. ⑶ 利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如-2(x+4)2=3(x+4)中, 不能随便约去 x+4。 ⑷ 注意:解一元二次方程时一般不使用配方法(除特别要求外)但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般 顺序是:开平方法→因式分解法→公式法. 4.一元二次方程解的情况⑴ b2-4ac≥0 ? 方程有两个不相等的实数根; ⑵ b2-4ac=0 ? 方程有两个相等的实数根; ⑶ b2-4ac≤0 ? 方程没有实数根。 解题小诀窍:当题目中含有“两不等实数根” “两相等实数根” “没有实数根”时,往往首先考虑用 b2-4ac 解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。 5. (补充)根与系数的关系:韦达定理 对于方程 ax2+bx+c=0(a≠0)来说,x1 +x2 =—

b a

,x1 ●x2=

c a

。利用韦达定理可以求一些代数式的值,如

2 x12 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2

1 1 x1 ? x2 。 ? ? x1 x2 x1 x2

解题小诀窍:当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时,可以用韦达定理。 二、考题剖析: 1、下列方程是关于 x 的一元二次方程的是( ) A.ax2+bx+c=0 B. k2 x+5k+6=0 C.3x2+2x+

1 x

=0

D.( k2+3) x2+2x+1=0

2、解方程:x2+2x-3=0 3、已知方程 5x2+kx-10=0 一个根是-5,求它的另一个根及 k 的值. 三、针对性训练: 1、下列方程中,关于 x 的一元二次方程是( )

A.3( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1) C.ax 2 ? bx ? c ? 0

B.

1 1 ? ?2?0 x2 y
1 2 B、2 C、±2 1 D、± 2

D.x 2 ? 2 x ? x 2 ? 1

2、若 2 x2 ? 3与2 x ? 4互为相反数,则x的值为( ) A.

3、用配方法解下列方程时,配方有错误的是( ) A.x2-2x-99=0 化为(x-1)2=100 B.x2+8x+9=0 化为(x+4)2=25
2 C.2t -7t-4=0 化 为(t ? 7 ) 2 ? 81

4

16

D.3y -4y-2=0 化为 ( y ?
2

2 2 10 ) ? 3 9


4、关于 x 的一元二次方程 (m ? 1) x2 ? x ? m2 ? 2m ?3 ? 0 的一个根为 x=0,则 m 的值为( A.m=3 或 m=-1 B.m=-3 或 m= 1C.m=-1 D.m=-3 5、若 x1 ,x2 是方程 x2 -5x+6=0 的两个根,则 x1 +x2 的值是( ) A .1 B.5 C. -5 D.6 6、 若 x1 ,x2 是方程 x2 -3x-1=0 的两个根,则 1 ? 1 的值为( )

x1

x2

A.3

B.-3

C.

1 3

D-

1 3

2 2 7、若 x1 ,x2 是方程 x2 -6x+k-1=0 的两个根,且 x1 ? x2 ? 24 ,则 k 的值为() A.8 B. -7 C.6 D.5 8、若关于 x 的方程 kx2 -2x-1=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是() A.k>-1 B. k>-1 且 k≠0 C. k<1 D. k<1 且 k≠0 9、已知一元二次方程 x2 +2x-8=0 的一根是 2,则另一个根是______________. 10、若关于 x 的方程-x2 +(2k+1)x+2-k2 =0 有实数根,则 k 的取值范围是_______ 11、解方程:(1) 2(2 x ? 3) 2 ? 32;(2)3 y ( y ? 1) ? 2( y ? 1) ; (3) 3(4x2 -9)-(2x-3)=0;(4) x2 -6x+8=0

12、关于 x 的方程 kx2 +(k+2)x+

k =0 有两个不相等的实数根, 4

(1)求 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k 使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在求出 k 的值;不存在说明理由。

考点 2:一元二次方程的应用
一、考点讲解: 1.构建一元二次方程数学模型,常见的模型如下: ⑴ 与几何图形有关的应用:如几何图形面积模型、勾股定理等; ⑵ 有关增长率的应用:此类问题是在某个数据的基础上连续增长(降低)两次得到新数据,常见的等量关系 是 a(1±x)2=b,其中 a 表示增长(降低)前的数据,x 表示增长率(降低率) ,b 表示后来的数据。注意: 所得解中,增长率不为负,降低率不超过 1。 ⑶ 经济利润问题:总利润=(单件销售额-单件成本)?销售数量;或者,总利润=总销售额-总成本。 ⑷ 动点问题:此类问题是一般几何问题的延伸,根据条件设出未知数后,要想办法把图中变化的线段用未知 数表示出来,再根据题目中的等量关系列出方程。

2.注重解法的选择与验根:在具体问题中要注意恰当的选择解法,以保证解题过程简洁流畅,特别要对方程 的解注意检验,根据实际做出正确取舍,以保证结论的准确性. 二、经典考题剖析: C 1、课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地,开辟一个面积为 130 平方米的花圃(如图 1-2-1) ,打 算一面利用长为 15 米的仓库墙面,三面利用长为 33 米的旧围栏,求花圃的长和宽. 2、为了改善居民住房条件,我市计划用未来两年的时间,将城镇居民的住房面积由现在的 人均约为 10 平方米提高到 12.1 平方米,若每年的增长率相同,则年增长率为()A.9﹪ B.10﹪ C. 11﹪ D.12 ﹪ 3、某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利 10 元,每天可售出 500 千克,经市 场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价 1 元,日销售量将减少 20 千克,现 该商场要保证每天盈利 6000 元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少 元? C 4、 如图, 在△ABC 中, ∠B=90°, AB=5, BC=7, 点 P 从 A 点开始沿 AB 边向点 B 点以 1cm/s 的速度移动,点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动. (1)如果点 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发,经过几秒钟,△PBQ 的面积等于 4? Q (2)如果点 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发,经过几秒钟,PQ 的长度等于 5? 三、针对性训练:( 分钟) (答案: ) 1.小明的妈妈上周三在自选商场花 10 元钱买了几瓶酸奶,周六再去买时,正好遇上商 场搞酬宾活动,同样的酸奶,每瓶比周三便宜 0.5 元,结果小明的妈妈只比上次多 B P A 花了 2 元钱,却比上次多买了 2 瓶酸奶,问她上周三买了几瓶? 2. 合肥百货大搂服装柜在销售中发现: “宝乐” 牌童装平均每天可售出 20 件, 每件盈利 40 元。 为了迎接 “十? 一” 国庆节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存。经市场调查发现:如果 每件童装降价 4 元,那么平均每天就可多售出 8 件。要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200 元,那么 每件童装应降价多少? 3.在宽为 20 米、长为 32 米的矩形地面上,修筑同样宽的两 条互相垂直的道路,余下部分作为耕地,要使耕地面积为 540 米 2,道路的宽应为多少? 20m 4. 小红的妈妈前年存了 5000 元一年期的定期储蓄, 到期后自 动转存.今年到期扣除利息税(利息税为利息的 20%) ,共 取得 5145 元.求这种储蓄的年利率.(精确到 0.1%) 5.如图 12-3,△ABC 中,∠B=90°,点 P 从 A 点开始沿 AB 32m 向点 B 以 1cm/s 的速度移动,点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向 C 点以 2cm/s 的速度移动。 2 (1)如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发,经几秒钟,使△ABQ 的面积等于 8cm ? (2)如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发,并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进,Q 以 2 C 后又继续在 AC 边上前进,经几秒钟,使△PCQ 的面积等于 12.6 cm 。

中考题
1、 钟老师出示了小黑板上的题目(如图 1-2-2) 后, 小敏回答: “方程有一根为 1” , 小聪回答: “方程有一根为 2” .则你认为( ) A.只有小敏回答正确 B.只有小聪回答正确 C.两人回答都正确 D.两人回答都不正确 2、解一元二次方程 x2-x-12=0,结果正确的是( ) A.x1=-4,x2=3 B.x1=4,x2=-3 C.x1=-4,x2=-3 D.x1=4,x2=3 3、方程 x( x ? 3) ? ( x ? 3) 解是( ) A.x1=1 B.x1=0, x2=-3 C.x1=1,x2=3 D.x1=1, x2=-3 4、 若 t 是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根, 则判别式Δ =b2-4ac 和完全平方式 M=(2a+b)2 的关系是 ( ) A.Δ =M B.Δ >M C.Δ <M D.大小关系不能确定 2 5、方程 x ( x ? 1) ? 0 的根是( ) A.0 B.1 C.0,-1 D.0,1 6、已知一元二次方程 x2 -2x-7=0 的两个根为 x1,x2,则 x1 + x12 的值为() A.-2 B.2 C.-7 D.7

1 1 7、已知 x1、x2 是方程 x2-3x+1 =0 的两个实数根,则 + 的值是( ) x1 x2 1 A、3 B、-3 C、 D、1 3 2 2 2 8、用换元法解方程(x +x) +(x +x)=6 时,如果设 x2+x=y,那么原方程可变形为( ) A、y2+y-6=0 B、y2-y-6=0C、y2-y+6=0 D、y2+y+6=0 2 9、方程 x -5x=0 的根是() A.0 B.0,5 C.5,5 D.5 10、若关于 x 的方程 x2+2x+k=0 有实数根,则( ) A.k<1,B.k≤1 C.k≤-1 D.k ≥-1 11、如果一元二次方程 x2-4x+2=0 的两个根是 x1,x2,那么 x1+x2 等于( ) A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 12、用换元法解方程(x2-x)- x2-x=6 时,设 x2-x=y,那么原方程可化为( A. y2+y-6=0 B. y2+y+6=0 2 C. y -y-6=0 D. y2-y+6=0 2 13、设 x1,x2 是方程 2x +3x-2=0 的两个根,则 x1+x2 的值是 ( ) 2 2 A.-3 B.3 C.- D. 3 3 3 14、方程 x -x=0 的解是( ) A.0,1 B.1,-1 C.0,-1 D.0,1,-1 x 2 5x x ) ? ? 4 ? 0时,若设 =y,则原方程 __ 15、用换元法解方程 ( x ?1 x ?1 x+1 )

16、两个数的和为 6,差(注意不是积)为 8,以这两个数为根的一元二次方程是__________ 2 17、方程 x -x=0 的解是_____________ 2 18、等腰△ABC 中,BC=8,AB、BC 的长是关于 x 的方程 x -10x+m= 0 的两根,则 m 的值是________. 2 19、关于 x 的一元二次方程 ax +2x+1=0 的两个根同号,则 a 的取值范围是 ________. 20、解方程 2x -9x+5=x-3 21、解方程:x3-2x2-3x=0. y=x+1 22、解方程组: ? ? 2 2 x ? +y =5 23、解方程:2(x-1)2+5(x-l)+2=0. 24、解方程:x2 -2x-2=0 25、解方程:x2 +5x+3=0
2 26、已知关于 x 的一元二次方程 x ? (k ? 1) x ? 6 ? 0 的一个根是 2,求方程的另一根和 k 的值.

2

27、已知关于 x 的一元 二次方程 (k ? 4) x 2 ? 3x ? k 2 ? 3k ? 4 ? 0 的一个根为 0,求 k 的值. 28、要到玻璃店配一块面积为 1 . 21m2 的正方形玻璃,那么该玻璃边长为______ 29、如图 1-2-3 为长方形时钟钟面示意图,时钟的中心在长方形对角线的交点上,长方形的宽为 20 厘米, 钟面数字 2 在长方形的顶点处,则长方形的长为_________厘米.

(III)中考题型
一、基础经典题( 44 分) (一)选择题(每题 4 分,共 28 分 ) 【备考 1】如果在-1 是方程 x2+mx-1=0 的一个根,那么 m 的值为( A.-2 B.-3 C.1 D.2 【备考 2】方程 2 x( x ? 3) ? 5( x ? 3) 的解是( ) A. x ? 3 )

B.x ?

5 2

C.x1 ? 3, x2 ?

5 D.x ? ?3 2


2 【备考 3】若 n 是方程 x ? mx ? n ? 0 的根,n≠0,则 m+n 等于( A.-7 B.6 C.1 D.-1
2

【备考 4】关于 x 的方程 x ? mx ? n ? 0 的两根中只有一个等于 0,则下列条件中正确的是( ) A.m=0,n=0 B.m=0,n ≠0 C.m≠0,n = 0 D.m≠0,n≠0 【备考 5】以 5-2 6 和 5+2 6 为根的一元二次方程 是( )
2 A. x ? 10 x ? 1 ? 0 2 B. x ? 10 x ? 1 ? 0 2 C. x ? 10 x ? 1 ? 0 2 D. x ? 10 x ? 1 ? 0

【备考 6】已知 x1,x2 是方程 x -x-3=0 的两根,那么 x12+x22 的值是( 49 A.1 B.5 C .7 D、 4
2



【备考 7】关于 x 的方程

1 2 x ? (m ? 3) x ? m2 ? 0 有两个不相等的实根,那么 m 的最大整数是( ) 4

A.2 B.-1 C.0 D.l (二)填空题(每题 4 分,共 16 分) 2 【备考 8】已知一元二次方程 x +3x+1=0 的两个根为 x1,x2,那么(1+ x1) (1+ x2)的值等于_______. 2 【备考 9】已知一个一元二次方程 x +px+l=0 的一个实数根的倒数恰是它本身,则 P 的值是_______. 【备考 10】 (2009、襄樊)如图,在□ABCD 中,AE⊥BC 于 E,AE=EB=EC=a, D 且 a 是一元二次方程 x2+2x-3=0 的根,则□ABCD 的周长是_______ A
2 【备考 11】关于 x 的方程 (k ? 1) x 2 ? 3(k ? 2) x ? k ? 42 ? 0 的一次项系数是

-3,则 k=_______ 【备考 12 】关于 x 的方程 (a ? 1) xa a=__________.
2

?2 a?1

? x ?5 ? 0

是一元二次方程,则

B

E

C

三、实际应用题(9 分) 【备考 13】2003 年 2 月 27 日《广州日报》报道:2002 年底广州自然保护区覆盖率(即自然保护区面积占全市 面积的百分比)为 4.65%,尚未达到国家 A 级标准,因此,市政府决定加快绿化建设,力争到 2009 年底 自然保护区覆盖率达到 8%以上,若要达到最低目标 8%,则广州市自然保护区面积的年平均增长率应是多 少?(结果保留三位有效数字) .

四、渗透新课标理念题(每题 10 分,共 20 分) 【备考 14】 (阅读理解题)阅读下题的解答过程,请你判断其是否有错误,若有错误,请你写出正确答案.已 知:m 是关于 x 的方程 mx2 -2x+m=0 的一个根,求 m 的值. 解:把 x=m 代人原方程,化简得 m3=m,两边同时除以 m,得 m2 =1,所以 m=l,把=l 代入原方程检验可知: m=1 符合题意,答:m 的值是 1. 【备考 15】 (阅读理解题)阅读材料,解答问题:
2 2 2 为解方程 ( x ? 1) ? 5( x ? 1) ? 4 ? 0 ,我们可以将 x -l 看作一个整体,然后设 x -l=y,那么原方程可化
2 2

为 y -5y+4=0①,解得 y1 =1,y2=4.当 y1=l 时, x -l=1.所以 x2 =2.所以 x=± 2 ;当 y=4 时,x - 1=4.所以 x2 =5.所以 x=± 5 ,故原方程的解为 x1= 2 ,x2=- 2 ,x3= 5 ,x4= 5 ;上述解题 过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到了降次的目的,体现了转化的数学思想.请利用 以上知识解方程:x4-x2-6 =0.
2 2 2


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2014-2015学年八年级下学期数学暑假培优专题
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八年级数学暑假培优专题资料
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初二数学暑假培优讲义《试卷大题集锦》
初二数学暑假培优讲义《试卷大题集锦》_数学_初中教育_教育专区。试卷大题集锦 ...___学号___ 1、阅读下列材料: 一般地,n 个相同的因数 a 相乘记为 a n ...
八年级数学暑假专题辅导 培优专题
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八年级数学暑假培优-北师大版
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2014年暑期新人教版八年级数学函数培优练习(一)
2014 八年级数学培优练习(一)一、选择题 1. (2011 山东日照,7,3 分) 以平行四边形 ABCD 的顶点 A 为原点,直线 AD 为 x 轴建立直角坐标系,已知 B、D ...
八年级数学暑假培优提高作业
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2014 暑假数学培优8(一次函数)
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2018年暑假初一升初二数学培优全套精编教材
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