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2015年长宁区一模理科数学试卷


2014 学年第一学期高三数学教学质量检测试卷(理)
考生注意:本试卷共有 23 道试卷,满分 150 分,考试时间 120 分钟,解答必须写在答题纸 上规定的区域,写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸的相应编号的空格内 填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分) 1.函数 y ? sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是______. 2.若集合 M ? x x ? 2 , N ? x x2 ? 3x ? 0 ,则 M 3.复数
2 ? 2i ? ______( i 是虚数单位) 1? i

?

?

?

?

N ? ______.

4.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 5 ? 4 ? 2?n ,则其通项公式为________.
a ?1 ? 4 ? 7 ? ? ? 3n ? 2 ? ? ? ? 6 ,则 5.已知 lim ? a ? ________. n ?? 7n2 ? 5n ? 2

6.已知 a, b ???3, ?2, ?1,1,2,3? 且 a ? b , 则复数 z ? a ? bi 对应点在第二象限的概率为________ (用最简分数表示). 7.已知函数 f ? x ? ? 1 ? loga x, y ? f ?1 ? x ? 是函数 y ? f ? x ? 的反函数, 若 y ? f ?1 ? x ? 的图像过点 ? 2, 4 ? ,则 a 的值为_____________. 8.如图,圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆,则该圆锥的母线与底面所成的 角的大小是_____________. 9.根据右面的框图,打印的最后一个数据是_____________. 10.已知数列 ?an ? 是以 ?2 为公差的等差数列, Sn 是其前 n 项和,若 S7 是 数列 ?Sn ? 中的唯一最大项,则数列 ?an ? 的首项 a1 的取值范围是_____________. 11.五位同学自制作一张贺卡,分别装入 5 个空白信封内,这五位同学每人随机 地抽取一封,则恰有两人取到的贺卡是其本人制作的概率是_____________.
6ac 12.已知 ?ABC 中,角 A、 B、 C 的对边分别为 a , b, c ,且 5tan B ? 2 , a ? c 2 ? b2

开始
A?1 A ? 2A ?1

打印
A ? 3S ?



结束

则 sin B 的值是_____________. 13.如图,在 ?ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于 不同的两点 M , N ,若 AB ? mAM , AC ? nAN ,则 m ? n 的值为___________.
1 ? ? 14.已知 ? x 2 ? ? 得展开式中的常数项为 T , f ? x ? 是以 T 为周期的偶函数, 5 x3 ? ?
5

A
N

B

O

C

M

且当 x ??0,1? , f ? x ? ? x ,若在区间 ? ?1,3? 内,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? kx ? k 有 4 个零点,则实数 k

的取值范围是_____________. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案. 15.设 z1 、 z2 ? C ,则“ z12 ? z22 ? 0 ”是“ z1 ? z2 ? 0 ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ) D.既不充分也不必要条件

C.充要条件 )

,11 ? ? 0b ? )的图像为( 16. 函数 y ? a x?b , (0 ? a ?

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x
C

O

x

A

B

D

17. O 是 ?ABC 所在平面内的一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ? 0 ,则 ?ABC 的形 状一定是( ) A.正三角形 18. 下面有五个命题:

?

??

?

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.斜三角形

① 函数 y ? sin 4 x ? cos4 x 的最小正周期是 2? ;
? k? ? ,k ?Z? ; ② 终边在 y 轴上的角的集合是 ?? ? ? 2 ? ?

③ 在同一坐标系中,函数 y ? sin x 的图像和函数 y ? x 的图像有一个公共点;

?? ? ? ④ 把函数 y ? 3sin ? 2 x ? ? 的图像向右平移 得到的 y ? 3sin 2 x 图像; 3? 6 ?
⑤ 在 ?ABC 中,若 a cos B ? b cos A ,则 ?ABC 是等腰三角形. 其中真命题的序号是( ) A.① ② ③ B. ② ③ ④ C. ③ ④ ⑤

D. ① ④ ⑤

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的相应编号 规定区域内写出必须的步骤. 19.(本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 如图:三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC ,若底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,且 PB 与

? ,若 M 是 BC 的中点,求: 3 (1)三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)异面直线 PM 与 AC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)
底面 ABC 所成的角为

P

A B

C

M

20.(本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 已知

?
2

? ? ? ? , tan ? ? cot ? ? ?

8 3

(1)求 tan ? 的值;

?? ? (2)求 sin ? 2? ? ? 的值. 2? ?

21.(本题满分 14 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ? 2 ? n ? x ? 2n 的图像与 x 轴正半轴的交点为 A ? an ,0? , n ? 1,2,3, (1)求数列 ?an ? 的通项公式 (2)令 bn ? 3an ? ? ?1?
n ?1

,问是否存在非零整数 ? ,使得对任意正整数 ? ? ?2 an ( n 为正整数)

n ,都有 bn ?1 ? bn ?若存在,求出 ? 的值,若不存在,请说明理由

22.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分)
1 已知函数 f ( x) ? ax2 ? x ? c ? a, c ? R ? ,满足 f (1) ? 0 ,且 f ( x) ? 0 在 x ? R 时恒成立. 2 (1)求 a, c 的值;

(2)若 h( x) ?

3 2 b 1 x ? bx ? ? ,解不等式 f ( x) ? h( x) ? 0 ; 4 2 4

(3)是否存在实数 m ,使函数 g ( x) ? f ( x) ? mx 在区间 ? m, m ? 2? 上有最小值 ?5 ?若存在, 请求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

23.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分) 已知数列 ?an ? ,?bn ? ,?cn ? 满足 ? an?1 ? an ??bn?1 ? bn ? ? cn n ? N ? . (1)设 an ? 3n ? 6 , ?cn ? 是公差为 3 等差数列,当 b1 ? 1 时,求 b2 , b3 的值; (2)设 cn ? n3 , an ? n2 ? 8n ,求正整数 k ,使得对一切 n ? N ? ,均有 bn ? bk ; (3)设 cn ? 2 ? n, an ?
n

?

?

1 ? ? ?1? 2

n

,当 b1 ? 1 时,求数列 ?bn ? 的通项公式.


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