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3.2立体几何中的向量方法


东平明湖中学高二数学学案 课题:3.2 立体几何中的向量方法
【教学目标】
1.在学习了方向向量的基础上理解平面的法向量的概念,为进一步运用打好基础; 2.学会由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置 关系; 3.学会运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的夹角及距离 的问题(主要是关于角的问题) ; 4.能初步利用向量知识解决相关的实际问题及综合问题。 【教学重点】向量运算在立体几何证明与计算中的应用. 【教学难点】在运用向量知识解决立体几何问题时的向量问题的转化与恰当的运算方式.

2、直线的方向向量 空间中任意一条直线 l 的位置可以有直线 l 上一个定点 A 以及一个方向确定. 3、平面的法向量 1)空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两条相交直线来确定. 2)法向量: 如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α, 记作 a ⊥α,如果 a ⊥α ,那么向量 a 叫做
问题:如何求平面的法向量? (1)设出平面的法向量为 n ? ?x, y, z ? (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a ? ?a1 , b1 , c1 ?, b ? ?a2 , b2 , c2 ? . . (3)根据法向量的定义建立关于 x, y , z 的方程组 ? .

【教学过程】

一、双基回眸
1.直线 l 的方向向量的含义: 2.向量的特殊关系及夹角(最后的填空是用坐标表示) (1)a//b ? __________________ ? ; (2)a⊥b ? _________________ ? (3)a· a=_____________________= (4)cos<a,b>=______________=

? ?n ? a ? 0 ? ?n ? b ? 0

; ; 。

(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

二、创设情景
前面,我们主要是利用向量的运算解决了立体几何中关于直线的问题,如:两直线 垂直问题;两直线的夹角问题;特殊线段的长的问题等等…… 若再加入平面,会出现更多的的问题,如:线面、面面的位置关系问题;线面的夹 角问题;二面角的问题等等……而且都是立体几何中的重要问题,这些问题用向量的知 识怎样来解决呢?直线可由其方向向量确定并由其来解决相关的问题, 平面又由怎样的 向量来确定呢?
——这些问题就是我们将要探究或解决的主要问题??

例 1:已知 AB ? (2,2,1), AC ? ?4,5,3? ,求平面 ABC 的一个法向量.

三、合作探究(新知探究)
同学们都知道:垂直于同一条直线的两个平面 。 由此我们应该会想象出怎样的向量可确定平面的方向了……下面请同学们合作探 究一下这方面的知识和方法: 1、点的位置向量 在空间中,我们取一定点 O 作为基点,那么空间任意一点 P 的位置就可以用向量 OP 来表 示.我们把向量 OP 称为 . 变式:在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1和CD 的中点,求平面 ADE 的法向量.

4、法向量的运用 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置, 所以我们可以利用直线的方向向量 与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系。
第一问题: 用“方向向量”与“法向量”来解决平行、垂直问题. (一)平行关系: 设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ,平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v : 线线平行: l ∥ m ? _______________ ? 线面平行: l ∥ ? ? _______________ ? 面面平行: ? ∥ ? ? _______________ ? 注意:这里线线平行包括线线重合,线面平行包括线在面内,面面平行包括面面重合.

四.小 结:
1.直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量解决立体几何问题的两个重要工具, 是实现空间问题的向量方法的媒介. 2.要熟练掌握用直线的方向向量和平面的法向量来研究直线、平面之间关系的原理 与方法,特别是直线、平面的位置关系与方向向量、法向量之间的联系.

五.巩固提高:
1.设平面 ? 的法向量为(1,2,-2),平面 ? 的法向量为(-2,-4,k),若 ? ∥ ? , 则 k= ;若 ? ⊥ ? ,则 k= 。 2.若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 ? 的法向量为(1,
若 l ∥ ? ,则 m =

1 ,2),若 l ⊥ ? ,则 m= 2



.

3.已知平面经过三点 A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),试求平面的一个法向量. (二)垂直关系: 线线垂直: l ⊥ m ? _____________ ? 线面垂直: l ⊥ ? ? _______________ ? 面面垂直: ? ⊥ ? ? ______________ ? ; ; 。

例 2 (1)设 a, b 分别是直线 l1 , l2 的方向向量,根据下列条件判断 l1 与 l 2 的位置关系: ? a ? ?2,3,?1?, b ? ?? 6,?9,3? ? a ? ?5,0,2?, b ? ?0,4,0? ? a ? ?? 2,1,4?, b ? ?6,3,3? 4.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1和CD 的中点,求证: D1 F ? 平面 ADE.

(2)设 u , v 分别是平面 ? , ? 的法向量,根据下列条件判断 ? , ? 的位置关系:
1? ? u ? ?1,?1,2?, v ? ? ? 3,2,? ? ? u ? ?0,3,0?, v ? ?0,?5,0? 2? ?

?

u ? ?2,?3,4?, v ? ?4,?2,1?

(3)设 u 是平面 ? 的法向量, a 是直线 l 的方向向量,根据下列条件判断 ? 与 l 的位置关系: ? u ? ?2,2,?1?, a ? ?? 3,4,2? ? u ? ?0,2,?3?, a ? ?0,?8,12? ? u ? ?4,1,5?, a ? ?2,?1,0?


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