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广东省汕头市金山中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含答案.doc


金山中学 2016-2017 年度第一学期期中考试 高一数学试题卷
一 选择题(以下题目从 4 项答案中选出一项,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U ? {1,2,3,4,5,6} ,集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ,

B ? {x | 2 ? x ? 4, x ? Z } ,则集合 CU ( A ? B) 中元素的个数为(
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4



2. 函数 f ( x) ? lg( 4 ? x) ?

1 x ?1

的定义域为(

) D. (??,1] ? (4,??) )

(1, 4) A.

, 4) B. [1
2

C. (??,1) ? [4,??)

3.若函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 ( a 为常数)在 ?1,?? ? 上单调递增,则 a ? ( A. ?1,?? ? B. ?? ?,1? C. ?? ?,2? D. ?2,?? ?
24

4.下列函数中,是偶函数且在区间 ? 0,1? 上为增函数的是( A. f ( x) ? log2 x B. y ? 3 ? x C. y ?

)R D. y ? ? x 2 ? 4 )A
U

1 x

2 ? x ≤1, ?1 ? x , 5.设函数 f ( x) ? ? 2 则 ? ? x ? x ? 2,x ? 1,

? 1 ? f? ? 的值为( ? f (2) ?
C.

A. ?

27 16
2 ? 1 3

B.

8 9
)N C.1

15 16

D. 18

5

6. ?lg 2? ? 0.064 A. 0 . 4

? lg 5 lg 20 ? (
B. 2 .5

D. 3.5 3 )m
o

7.使得函数 f ( x) ? ln x ? A. (2,3)

1 x ? 2 有零点的一个区间是( 2
C. (0,1)

B. (1,2)

D. (3,4)

8.设 a ? 2 0.3 , b ? 0.32 , c ? log2 0.3 ,则 a, b, c 的大小关系是( A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b



w

D. b ? c ? a c

9.已知函数 f ( x) ? ( x ? a)(x ? b) (其中 a ? b )的 f 图象如右图所示,则函数 g ( x) ? a ? b 的图象是(
x



5

第 9 题图

A

B

C

DF

10.函数 y ? log 1 (?3 ? 4 x ? x 2 ) 的单调递增区间是( A. ?? ?, 2?
3

)S D. ?2, 3? 6 )+

B. ?2, ? ??

C. ?1 , 2?

11. 若函数 y ? x 2 ? (m ? 2) x ? 5 ? m 有两个大于 2 的零点,则 m 的取值范围是( A. (?5,?4) B. (??,?4] C. (??,?2) D. (??,?5) ? (?5,?4)

12. 若关于 x 的不等式 a ? ( )Q B. 4

3 2 x ? 3 x ? 4 ? b 的解集恰好是 [a, b] (a ? b) ,则 a ? b 的值为 4 8 3 16 3

A. 5

C.

D.

R

二 填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13 .函数 f ( x) ? 4 ? loga ( x ? 1) 的图象恒过定点 P ,则 P 的坐标 是 ;

14.函数 f ( x) ?

3x ? 1 的值域是 x ?1

;L 如

15. f ( x) 为定义在区间 (?2,2) 的奇函数,它在区间 (0,2) 上的图象 右图所示,则不等式 f ( x) ? f (? x) ? x 的解集为 ;p .v

16.若方程 2 x ? 1 ? kx ? 0 有且只有一个正根,则实数 k 的取值范围是 三 解答题(共 5 题,共 70 分)Q 17.(14 分)已知集合 A ? {x ( x ? 3)(x ? 6) ? 0}, B ? {x (1)求 A ? CR B ;= (2)已知 E ? {x 2a ? x ? a ? 1 } (a ? R) ,若 E ? B ,求实数 a 的取值范围.

x?2 ? 0} .= x ? 14

18.(14 分)已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? ? ? (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)画出函数 f ( x) 的图像; (3)写出函数 f ( x) 的单调区间及值域.

?1? ?2?

x

2 1 ? x? , (x ? ) ? ? x 2 19. (14 分)已知函数 f ( x) ? ? (其中 a ? 0, a 为常数) , 1 2 ? x ? 2 x ? a ? 1, ( x ? ) ? ? 2
求函数 f ( x ) 的零点.

20. (14 分)甲、 乙两地相距 200 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地, 速度不得超过 50 千米/ 时。 已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(千 米/时)的平方成正比,比例系数为 0.02;固定部分为 50(元/时). (1) 把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出定义域; (2)用单调性定义证明(1)中函数的单调性,并指出汽车应以多大速度行驶可使全程运输成 本最小?

21. (14 分)已知 f ( x) ? x ? bx ? c(b, c ? R, b ? 0)
2

(1)若 f ( x) 的定义域为 [0,1] 时,值域也是 [0,1] ,求 b, c 的值; (2)若 b ? ?2 时,若函数 g ( x) ? 取值范围.

f ( x) 对任意 x ? [3,5], g ( x) ? c 恒成立,试求实数 c 的 x

高一数学期中考试题参考答案
一 选择题 二 填空题 13~16 BACAC,DABAD,AB

2016.10

(2,4) ; (??,3) ? (3 ? ?) ;

(?2,?1) ? (0,1) ; {0} ? [2,??) .

三、解答题 17.解: (1)因为集合 A ? {x ( x ? 3)(x ? 6) ? 0} ? {x x ? ?3或x ? 6} 2分

B ? {x

x?2 ? 0} ? {x ? 2 ? x ? 14} x ? 14

4分

CR B ? {x x ? ?2或x ? 14} ;
所以 A ? CR B ? {x x ? ?3或x ? 14 }

6分

8分

(2)因为 E ? {x 2a ? x ? a ? 1 } (a ? R) ,且 E ? B ,所以分两种情况:

当 E ? ? 时, 2a ? a ? 1 解得 a ? 1

10 分

当 E ? ? 时,则 2a ? a ? 1 且满足 ?

?2a ? ?2 解得 ? 1 ? a ? 1 ?a ? 1 ? 14

13 分

综上所述: 实数错误! 未找到引用源。 的取值范围 a ? ?1 . 分

14

18 解: (1)因为 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0 ,

1分

?1? 因为 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? ? ? , ?2?
? ? 1 ??x ? x 所以 x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? 2 , 2 ? ? ? ? ? ?
4分

x

?? 1 ? 2 x , x ? 0 ? 所以 f ( x) ? ?0, x?0 ? x ?1 ? ?1 2? , x ? 0
(2)函数 f ( x) 的图像为:9 分 (3)根据 f ( x) 的图像知:

6分

单调减区间为 (??,0), (0,??) ; 值域为 {y ? 2 ? y ? ?1或y ? 0或 1 ? y ? 2} .

11 分 14 分

19 解:○ 1 x? ②当 x ?

1 时, f ( x) ? 0 ? x ? 2 2

2分

1 时, f ( x) ? x 2 ? 2ax ? a ? 1, ? ? 4 ? 4(a ? 1) ? 8 ? 4a 4 分 2
6分

当 a ? 2 时, ? ? 0 , f ( x) ? 0 无实根; 当 a ? 2 时, ? ? 0, f ( x) ? 0 ? x ? ?1

1 ? ?1 ? (?? , ],? f ( x) 有一个零点 ? 1 2
当 0 ? a ? 2 时, ? ? 0 x ? 2x ? a ? 1 ? 0 ? x ? ?1 ? 2 ? a
2

9分

? ?1 ? 2 ? a ? 0 ?

1 1 ,?1 ? 2 ? a ? ?1 ? 2 ? 2 2
13 分

? ?1 ? 2 ? a 都是 f ( x) 的零点
综上所述,当 a ? 2 时, f ( x ) 的零点为: 2 ; 当 a ? 2 时, f ( x ) 的零点为: 2 和 ? 1 当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 的零点为: 2 和 ? 1 ? 2 ? a ,?1 ? 2 ? a 20.解: (1)依题意,汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为 全程运输成本 y(元)与速度 v(千米/时)的函数关系是:

14 分 2分

200 小时 v

y ? (50 ? 0.02v 2 ) ?

200 10000 ? ? 4v , v ? (0,50] v v 10000 ? 4v (2)令 f (v) ? 设 0 ? v1 ? v2 ? 50 v

6分 7分

f (v1 ) ? f (v2 ) ?

v v ? 2500 10000 10000 10 分 ? 4v1 ? ( ? 4v 2 ) ? 4(v1 ? v2 ) 1 2 v1 v2 v1v2

由 v1 ? v2 得 v1 ?v2 ? 0 ,又 v1 ? v2 ? 50 得 v1v2 ? 2500 且 v1v2 ? 0 ∴ f (v1 ) ? f (v2 ) ? 0 , ∴ f (v) min ? f (50) 答:为了使全程运输成本最小,汽车应以 50 千米/ 时的速度行驶。 则 f (v) 在 (0,50] 上单调递减 12 分 13 分 14 分

2 21.解: (1)二次函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的对称轴是 x ? ?

b ,开口向上 2

1分

①当 0 ? ?

b 1 ? ,即 ? 1 ? b ? 0 2 2
2分

b ? ? f (? ) ? 0 解得 b ? ?4, c ? 4 ,不合题意 2 ? ? ? f (1) ? 1
②当

1 b ? ? ? 1 ,即 ? 2 ? b ? ?1 2 2
3分

b ? ? f (? ) ? 0 解得 b ? ?2, c ? 1 ,不符合,舍去。 2 ? ? ? f (0) ? 1
③当 ?

b ? 1 ,即 b ? ?2 2

? f (0) ? 1 解得 b ? ?2, c ? 1 ,符合。 4 分 ? ? f (1) ? 0
5分

? b ? ?2, c ? 1
(2)若 b ? ?2 时,若函数 g ( x) ?

f ( x) 对任意 x ? [3,5], g ( x) ? c 恒成立, x



x 2 ? 2x ? c ? c 对 x ? [3,5] 恒成立, x
2

即 x ? (2 ? c) x ? c ? 0 对 x ? [3,5] 恒成立。
2

7分

方法一: 令 h( x) ? x ? (2 ? c) x ? c , 要使 h( x) ? 0 恒成立, 即求在 x ? [3,5] ,h( x) min ? 0 8分 二次函数 h( x) 的对称轴为 x ?

2?c ,开口方向向上 2

①当

2?c ? 3 时,即 c ? 4 2
3 3 ?c ? 2 2
9分

h( x) min ? h(3) ? 9 ? (2 ? c) ? 3 ? c ? 0 ,得到 c ?
②当 3 ?

2?c ? 5 时,即 4 ? c ? 8 2

h( x) min ? h(
③当

2?c 4c ? (2 ? c) 2 )? ? 0 , ? c 无解 2 4

11 分

2?c ? 5 时,即 c ? 8 2

h( x) min ? h(5) ? 25 ? (2 ? c) ? 5 ? c ? 0 ,得到 c ?
综上, c ?

15 4

? 无解

13 分 14 分

3 2

方法二: x 2 ? (2 ? c) x ? c ? 0 对 x ? [3,5] 恒成立。 即c ?

x 2 ? 2x x 2 ? 2x ? 1 ? 1 1 ? ( x ? 1) ? 对 x ? [3,5] 恒成立, c ? x ?1 x ?1 x ?1
1 , h( x) 在 x ? [3,5] 为单调递增函数 x ?1 3 3 ? h(3) ? ?c ? 2 2

令 h( x) ? ( x ? 1) ?

? h( x) min


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