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高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质课件北师大必修4 (1)_图文

1.6 余弦函数的图像与性质

【课标要求】 1.会利用诱导公式,通过图像平移得到余弦函数的图像. 2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像. 3.掌握余弦函数的性质及应用.

自主学习 |新知预习|

基础认识

1.余弦函数图像的画法 π (1)变换法: y=sinx 图像向左平移2个单位即得 y=cosx 的图像. ?π ? ?3π ? (2)五点法:利用五个关键点(0,1),?2,0?,(π,-1),? 2 ,0?, ? ? ? ? (2π,1)画出[0,2π]上的图像,再左右扩展即可.

2.余弦函数的性质 函数 性质 图像 定义域 值域 最值

余弦函数 y=cosx

R [-1,1] 当 x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1 当 x=(2k+1)π(k∈Z)时,ymin=-1

周期性 奇偶性 单调性

是周期函数,最小正周期为 2π 是偶函数,图像关于 y 轴对称 在[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上是递增的 在[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上是递减的

|自我尝试| 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)余弦函数 y=cosx 是偶函数,图像关于 y 轴对称,对称轴有 无数多条.( √ ) (2)余弦函数 y=cosx 的图像既是轴对称图形,也是中心对称图 形.( √ ) (3)函数 y=acosx(a≠0)的最大值为 a,最小值为-a.( × ) π (4)函数 y=cosx(x∈R)的图像向左平移2个单位长度后,得到函 数 y=g(x)的图像,则 g(x)=-sinx.( √ )

2.下列对函数 y=cosx 的图象描述错误的是( ) A.在[0,2π]和[4π,6π]上的图象形状相同,只是位置不同 B.介于直线 y=1 与直线 y=-1 之间 C.关于 x 轴对称 D.与 y 轴只有一个交点

解析:观察余弦函数的图象知:y=cosx 关于 y 轴对称,故 C 错误. 答案:C

3.用“五点法”作出函数 y=3-cosx 的图像,下列点中不属 于五点作图中的五个关键点的是( ) A.(π,-1) B.(0,2) ?π ? ?3π ? C.?2,3? D.? 2 ,3? ? ? ? ?
?π ? ? ,3?, 解析: 由五点作图法知五个关键点分别为(0,2), (π, 4), ?2 ? ?3π ? ? ,3?,(2π,2). ?2 ?

答案:A

4.函数 y=-3cosx+2 的值域为( A.[-1,5] B.[-5,1] C.[-1,1] D.[-3,1]

)

解析:因为-1≤cosx≤1,所以-1≤-3cosx+2≤5. 答案:A

3 5. 已知函数 y=-4cosx, x∈[0,2π], 则其递增区间为________.

解析: 当 x∈[0,2π]时, 函数 y=cosx 在[0, π]上是减函数, 在[π, 3 2π]上是增函数,所以函数 y=-4cosx 在[0,π]上是增函数,在[π, 2π]上是减函数. 答案:[0,π]

课堂探究 互动讲练 类型一 用“五点法”作三角函数的图象 [例 1] 用“五点法”作出下列函数的简图: y=1-cosx,x∈[0,2π].

【解】

列表:

π 3π x 0 π 2π 2 2 cosx 1 0 -1 0 1 1 0 1-cosx 0 1 2 描点连线,其图象如图所示:

方法归纳

跟踪训练 1 画出函数 y=3+2cosx 的简图. 解:(1)列表,如下表所示 π 3π x 0 π 2π 2 2 1 0 -1 0 1 y=cosx 3 5 y=3+2cosx 5 3 1 (2)描点,连线,如图所示:

类型二 与余弦函数有关的定义域问题 [例 2] 求下列函数的定义域. (1)f(x)= 2cosx+1; (2)f(x)=log2(-1+2cosx)+ 9-x2.

(1)要使 y= 2cosx+1有意义,则必须满足 2cosx+ 1 1≥0,即 cosx≥-2. 结 合 余 弦 函 数 的 图 像 得 y = 2cosx+1 的 定 义 域 为 ? ? ? ? ? 2π 2π ?x?2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z ?. 3 3 ? ? ? ? ?

【解】

? ?-1+2cosx>0, (2)要使函数有意义,则? 2 ? ?9-x ≥0,

1 ? ?cosx> , 2 即? 2 ? ?x ≤9,

? ? ? ? π ? π 1 ? ? cosx>2的解集为 x -3+2kπ<x<3+2kπ,k∈Z ?, ? ? ? ? ? ? ? ? π ? π ? 2 ? ? x ≤9 的解集为{x|-3≤x≤3},取交集得 x -3<x<3 ?. ? ? ? ? ? ? π π? ∴原函数的定义域为?-3,3?. ? ?

方法归纳 1.求三角函数的定义域时,一般要解三角不等式,其主要方 法是借助于三角函数的图像, 关键有两点: (1)选取一个合适的周期; (2)确定边界值. 2.当函数由几部分构成时,应取使每一部分有意义的 x 取值 范围的公共范围,即取它们的交集. 3.当三角不等式与代数不等式在一起时,在取交集时,应注 意对三角不等式解集中的 k 进行讨论.

跟踪训练 2 求下列函数的定义域. 3 (1)y= 2 -cosx; 1 (2)y=log2(2cosx- 2).

3 解析:(1)要使函数有意义,则有 2 -cosx≥0, 3 π 11π ∴cosx≤ 2 ,可得 2kπ+6≤x≤2kπ+ 6 ,k∈Z. 故所求函数的定义域为 ? ? ? ? ? π 11π ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ ?. , k ∈ Z 6 6 ? ? ? ? ? (2)要使函数有意义,则有 2cosx- 2>0, 2 ∴cosx> 2 ,故所求定义域为 ? ? ? ? ? π π ?x?2kπ- <x<2kπ+ ,k∈Z ?. 4 4 ? ? ? ? ?

类型三 余弦函数的单调性及应用 kπ,2kπ+π] ; [例 3] (1)函数 y=1-2cosx 的单调增区间是[2 ______________ ? 13 ? 26 < (2)比较大小 cos 3 π________cos?- 3 π?. ? ? 【思路点拨】 (1)y=1-2cosx 的单调性与 y=-cosx 的单调性 相同,与 y=cosx 的单调性相反. (2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较.

【 解 析 】 (1) 由 于 y = cosx 的 单 调 减 区 间 为 [2kπ , 2kπ + π](k∈Z),所以函数 y=1-2cosx 的增区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z). ? 2π? 26 2π (2)由于 cos 3 π=cos?8π+ 3 ?=cos 3 , ? ? ? 13π? ?13π? ? π? π ? ? ? ? ? ? - 4π + cos 3 ?=cos? 3 ?=cos? 3?=cos3, ? y=cosx 在[0,π]上是减少的. π 2π π 2π 由3< 3 知 cos3>cos 3 , ? 13π? 26 即 cos 3 π<cos?- 3 ?. ? ?

方法归纳 (1)形如 y=acosx+b(a≠0)函数的单调区间 ①当 a>0 时,其单调性同 y=cosx 的单调性一致; ②当 a<0 时,其单调性同 y=cosx 的单调性恰好相反. (2)比较 cosα 与 cosβ 的大小时,可利用诱导公式化为[0,π]内 的余弦函数值来进行.

跟踪训练 3

? 23 ? (1)比较大小:cos?- 5 π?与 ? ?
1 2

? 17 ? cos?- 4 π?; ? ?

(2)求函数 y=log (cos2x)的增区间.

? 23 ? ? 3π? 23π 3π ? ? ? ? 解析:(1)cos - 5 π =cos 5 =cos 4π+ 5 =cos 5 , ? ? ? ? ? 17 ? ? π? 17π π cos?- 4 π?=cos 4 =cos?4π+4?=cos4. ? ? ? ?

π 3π ∵0<4< 5 <π,且 y=cosx 在[0,π]上递减, 3π π ∴cos 5 <cos4, 即
? 23 ? ? 17 ? cos?- 5 π?<cos?- 4 π?. ? ? ? ?

(2)由题意得 cos2x>0 且 y=cos2x 递减. π ∴x 只须满足:2kπ<2x<2kπ+2,k∈Z, π ∴kπ<x<kπ+4,k∈Z, ? π? ∴y=log (cos2x)的增区间为?kπ,kπ+4?,k∈Z. ? ?
1 2

类型四 余弦函数值域(最值) [例 4] 求下列函数的最值. (1)y=-cos2x+cosx; (2)y=3cos
2

?π 2π? x-4cosx+1,x∈?3, 3 ?. ? ?

【解】

? 1?2 1 (1)y=-?cosx-2? +4. ? ?

∵-1≤cosx≤1, 1 1 ∴当 cosx=2时,ymax=4. 当 cosx=-1 时,ymin=-2. 1 ∴函数 y=-cos x+cosx 的最大值为4,最小值为-2.
2

(2)y=3cos2x-4cosx+1 ? 2?2 1 ? =3 cosx-3? -3. ? ? ?π 2π? ? 1 1? ∵x∈?3, 3 ?,cosx∈?-2,2?, ? ? ? ? 1 2π 15 从而当 cosx=-2,即 x= 3 时,ymax= 4 ; 1 π 1 当 cosx=2,即 x=3时,ymin=-4. ?π 2π? 15 1 ? ? ∴函数在区间 3, 3 上的最大值为 4 ,最小值为-4. ? ?

方法归纳 求值域或最大值、最小值问题,一般依据为: (1)sinx,cosx 的有界性; (2)sinx,cosx 的单调性; (3)化为 sinx=f(x)或 cosx=f(x),利用|f(x)|≤1 来确定; (4)通过换元转化为二次函数.

跟踪训练 4 求下列函数的值域. (1)y=-2cosx-1; (2)y=cos2x-3cosx+2.

解析:(1)∵-1≤cosx≤1,∴-2≤-2cosx≤2, ∴-3≤-2cosx-1≤1. ∴函数 y=-2cosx-1 的值域为[-3,1]. (2)令 t=cosx,∵x∈R,∴t∈[-1,1]. ? 3?2 1 2 ∴原函数可化为 y=t -3t+2=?t-2? -4, ? ? 3 易知该二次函数的图像开口向上,且对称轴为直线 t=2, ∴t∈[-1,1]为二次函数的单调递减区间. ∴t=-1 时,ymax=6;t=1 时,ymin=0. ∴函数 y=cos2x-3cosx+2 的值域为[0,6].

|素养提升| 1.余弦函数性质与图像的关系 (1)余弦函数性质的研究可以类比正弦函数的研究方法. (2)余弦函数的性质可以由图像直接观察, 但要经过解析式或单 位圆推导才能下结论.即数形结合思想的运用. 2.余弦函数的对称性 (1) 余 弦 函 数 是 中 心 对 称 图 形 , 其 所 有 的 对 称 中 心 坐 标 为 ? ? π ?kπ+ ,0?(k∈Z),即余弦曲线与 x 轴的交点,此时的余弦值为 0. 2 ? ? (2) 余 弦 曲 线 是 轴 对 称 图 形 , 其 所 有 的 对 称 轴 方 程 为 x = kπ(k∈Z),即对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点,此时余弦 值取得最大值或最小值.

3.余弦函数的周期性 类比正弦函数的周期性,余弦函数的最小正周期为 2π,余弦函 数的周期不唯一,2kπ(k∈Z,且 k≠0,1)也是余弦函数的周期,根据 诱导公式 cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z),容易得出. 4.对余弦函数最值的两点说明 (1)明确余弦函数的有界性,即-1≤cosx≤1. (2)对有些函数,其最值不一定是 1 或-1,要依赖函数定义域 来决定.

|巩固提升| 1.函数 π A.x=4
? π? f(x)=cos?x-4?的图象的一条对称轴是( ? ?

)

π B.x=2

π C.x=-4

π D.x=-2

解析:作出函数 π 条对称轴是 x=4. 答案:A

? π? ? f(x)=cos x-4?的图像(图略),由图像知,其一 ? ?

2.函数

?2 15π? f(x)=3sin?3x+ 2 ?是( ? ?

)

A.周期为 3π 的偶函数 B.周期为 2π 的偶函数 C.周期为 3π 的奇函数 4π D.周期为 3 的偶函数 ?2 ?2 15π? 3π? 2 解析:f(x)=3sin?3x+ 2 ?=3sin?3x+ 2 ?=-3cos3x, ? ? ? ? 2π ∴f(x)为偶函数,且 T= 2 =3π. 3 答案:A

3.函数 y= 2cosx- 2的定义域是________.

2 解析:要使函数有意义,只需 2cosx- 2≥0,即 cosx≥ 2 .由 余弦函数图像知(如图),

? π ? π 所求定义域为?-4+2kπ,4+2kπ?,k∈Z. ? ? ? π ? π 答案:?-4+2kπ,4+2kπ?,k∈Z ? ?