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解三角形、数列2018年全国数学高考分类真题(含答案)


解三角形、数列 2018 年全国高考分类真题(含答案)
一.选择题(共 4 小题) 1. △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 若△ABC 的面积为 则 C=( A. B. ) C. D. ,BC=1,AC=5,则 AB=( D.2 ) ,

2.在△ABC 中,cos = A.4 B. C.

3.已知 a1,a2,a3,a4 成等比数列,且 a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3) ,若 a1>1,则 ( )

A.a1<a3,a2<a4 B.a1>a3,a2<a4 C.a1<a3,a2>a4 D.a1>a3,a2>a4 4.记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若 3S3=S2+S4,a1=2,则 a5=( A.﹣12 B.﹣10 C.10 D.12 )

二.填空题(共 4 小题) 5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC 的 平分线交 AC 于点 D,且 BD=1,则 4a+c 的最小值为 . ,b=2,A=60°,

6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 则 sinB= ,c= .

7.设{an}是等差数列,且 a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为 8.记 Sn 为数列{an}的前 n 项和.若 Sn=2an+1,则 S6= .



三.解答题(共 9 小题) 9.在△ABC 中,a=7,b=8,cosB=﹣ . (Ⅰ)求∠A; (Ⅱ)求 AC 边上的高. 10.已知角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,它的终边过

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点 P(﹣ ,﹣ ) . (Ⅰ)求 sin(α+π)的值; (Ⅱ)若角 β 满足 sin(α+β)= ,求 cosβ 的值.

11.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 bsinA=acos(B ﹣ ) .

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 a=2,c=3,求 b 和 sin(2A﹣B)的值. 12.在平面四边形 ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求 cos∠ADB; (2)若 DC=2 ,求 BC.

13.设{an}是首项为 a1,公差为 d 的等差数列,{bn}是首项为 b1,公比为 q 的等 比数列. (1)设 a1=0,b1=1,q=2,若|an﹣bn|≤b1 对 n=1,2,3,4 均成立,求 d 的取 值范围; (2)若 a1=b1>0,m∈N*,q∈(1, ],证明:存在 d∈R,使得|an﹣bn|≤

b1 对 n=2,3,…,m+1 均成立,并求 d 的取值范围(用 b1,m,q 表示) . 14. 已知等比数列{an}的公比 q>1, 且 a3+a4+a5=28, a4+2 是 a3, a5 的等差中项. 数 列{bn}满足 b1=1,数列{(bn+1﹣bn)an}的前 n 项和为 2n2+n. (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)求数列{bn}的通项公式. 15.设{an}是等比数列,公比大于 0,其前 n 项和为 Sn(n∈N*) ,{bn}是等差数 列.已知 a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6. (Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)设数列{Sn}的前 n 项和为 Tn(n∈N*) , (i)求 Tn; (ii)证明 = ﹣2(n∈N*) .

16.等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
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(1)求{an}的通项公式; (2)记 Sn 为{an}的前 n 项和.若 Sm=63,求 m. 17.记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,已知 a1=﹣7,S3=﹣15. (1)求{an}的通项公式; (2)求 Sn,并求 Sn 的最小值.

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解三角形、数列 2018 年全国高考分类真题(含答案)
参考答案与试题解析

一.选择题(共 4 小题) 1. △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 若△ABC 的面积为 则 C=( A. B. ) C. D. ,

【解答】解:∵△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. △ABC 的面积为 ∴S△ABC= ∴sinC= ∵0<C<π,∴C= 故选:C. = =cosC, . , ,

2.在△ABC 中,cos = A.4 B. C.

,BC=1,AC=5,则 AB=( D.2 ,cosC=2× =



【解答】解:在△ABC 中,cos = BC=1,AC=5,则 AB= 故选:A.

=﹣ , = =4 .

3.已知 a1,a2,a3,a4 成等比数列,且 a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3) ,若 a1>1,则 ( )

A.a1<a3,a2<a4 B.a1>a3,a2<a4 C.a1<a3,a2>a4 D.a1>a3,a2>a4 【解答】解:a1,a2,a3,a4 成等比数列,由等比数列的性质可知,奇数项符号 相同,偶数项符号相同, a1>1,设公比为 q,
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当 q>0 时,a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3,a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3) ,不成立, 即:a1>a3,a2>a4,a1<a3,a2<a4,不成立,排除 A、D. 当 q=﹣1 时,a1+a2+a3+a4=0,ln(a1+a2+a3)>0,等式不成立,所以 q≠﹣1; 当 q<﹣1 时,a1+a2+a3+a4<0,ln(a1+a2+a3)>0,a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不 成立, 当 q∈(﹣1,0)时,a1>a3>0,a2<a4<0,并且 a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3) , 能够成立, 故选:B.

4.记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若 3S3=S2+S4,a1=2,则 a5=( A.﹣12 B.﹣10 C.10 D.12



【解答】解:∵Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,3S3=S2+S4,a1=2, ∴ =a1+a1+d+4a1+ d,

把 a1=2,代入得 d=﹣3 ∴a5=2+4×(﹣3)=﹣10. 故选:B.

二.填空题(共 4 小题) 5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC 的 平分线交 AC 于点 D,且 BD=1,则 4a+c 的最小值为 9 .

【解答】解:由题意得 acsin120°= asin60°+ csin60°, 即 ac=a+c, 得 + =1, 得 4a+c=(4a+c) ( + )= + 当且仅当 = 故答案为:9. +5≥2 +5=4+5=9,

,即 c=2a 时,取等号,

6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a=
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,b=2,A=60°,

则 sinB=

,c=

3



【解答】解:∵在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. a= ,b=2,A=60°, ,即 = ,

∴由正弦定理得:

解得 sinB= 由余弦定理得: cos60°=

=





解得 c=3 或 c=﹣1(舍) , ∴sinB= 故答案为: ,c=3. ,3.

7.设{an}是等差数列,且 a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为 【解答】解:∵{an}是等差数列,且 a1=3,a2+a5=36, ∴ 解得 a1=3,d=6, ∴an=a1+(n﹣1)d=3+(n﹣1)×6=6n﹣3. ∴{an}的通项公式为 an=6n﹣3. 故答案为:an=6n﹣3. ,

an=6n﹣3



8.记 Sn 为数列{an}的前 n 项和.若 Sn=2an+1,则 S6= 【解答】解:Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=2an+1,① 当 n=1 时,a1=2a1+1,解得 a1=﹣1, 当 n≥2 时,Sn﹣1=2an﹣1+1,②, 由①﹣②可得 an=2an﹣2an﹣1, ∴an=2an﹣1, ∴{an}是以﹣1 为首项,以 2 为公比的等比数列,
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﹣63



∴S6= 故答案为:﹣63

=﹣63,

三.解答题(共 9 小题) 9.在△ABC 中,a=7,b=8,cosB=﹣ . (Ⅰ)求∠A; (Ⅱ)求 AC 边上的高. 【解答】解: (Ⅰ)∵a<b,∴A<B,即 A 是锐角, ∵cosB=﹣ ,∴sinB= = = ,

由正弦定理得 则 A= .

=

得 sinA=

=

=



(Ⅱ)由余弦定理得 b2=a2+c2﹣2accosB, 即 64=49+c2+2×7×c× , 即 c2+2c﹣15=0, 得(c﹣3) (c+5)=0, 得 c=3 或 c=﹣5(舍) , 则 AC 边上的高 h=csinA=3× = .

10.已知角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,它的终边过 点 P(﹣ ,﹣ ) . (Ⅰ)求 sin(α+π)的值; (Ⅱ)若角 β 满足 sin(α+β)= ,求 cosβ 的值.

【解答】解: (Ⅰ)∵角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终 边过点 P(﹣ ,﹣ ) . ∴x=﹣ ,y= ,r=|OP|= ,
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∴sin(α+π)=﹣sinα= (Ⅱ)由 x=﹣ ,y= 得 , ,

; ,r=|OP|=1, ,

又由 sin(α+β)= 得 则

=



cosβ=cos[ ( α+β ) ﹣ α]=cos ( α+β ) cosα+sin ( α+β ) sinα= ,



cosβ=cos[ ( α+β ) ﹣ α]=cos ( α+β ) cosα+sin ( α+β ) sinα= .

∴cosβ 的值为





11.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 bsinA=acos(B ﹣ ) .

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 a=2,c=3,求 b 和 sin(2A﹣B)的值. 【解答】解: (Ⅰ)在△ABC 中,由正弦定理得 又 bsinA=acos(B﹣ ∴asinB=acos(B﹣ , ∴tanB= , . , = ,
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,得 bsinA=asinB,

) . ) ,即 sinB=cos(B﹣ )=cosBcos +sinBsin = cosB+

又 B∈(0,π) ,∴B=

(Ⅱ)在△ABC 中,a=2,c=3,B= 由余弦定理得 b= ∵a<c,∴cosA=

,由 bsinA=acos(B﹣

) ,得 sinA=



∴sin2A=2sinAcosA= cos2A=2cos2A﹣1= ,



∴sin(2A﹣B)=sin2AcosB﹣cos2AsinB=

=



12.在平面四边形 ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求 cos∠ADB; (2)若 DC=2 ,求 BC.

【解答】解: (1)∵∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. ∴由正弦定理得: ∴sin∠ADB= = = , ,即 = ,

∵AB<BD,∴∠ADB<∠A, ∴cos∠ADB= = . ,

(2)∵∠ADC=90°,∴cos∠BDC=sin∠ADB= ∵DC=2 ∴BC= = =5. ,

13.设{an}是首项为 a1,公差为 d 的等差数列,{bn}是首项为 b1,公比为 q 的等 比数列. (1)设 a1=0,b1=1,q=2,若|an﹣bn|≤b1 对 n=1,2,3,4 均成立,求 d 的取
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值范围; (2)若 a1=b1>0,m∈N*,q∈(1, ],证明:存在 d∈R,使得|an﹣bn|≤

b1 对 n=2,3,…,m+1 均成立,并求 d 的取值范围(用 b1,m,q 表示) . 【解答】解: (1)由题意可知|an﹣bn|≤1 对任意 n=1,2,3,4 均成立, ∵a1=0,q=2,



,解得

.即 ≤d≤ .

证明: (2)∵an=a1+(n﹣1)d,bn=b1?qn﹣1, 若存在 d∈R,使得|an﹣bn|≤b1 对 n=2,3,…,m+1 均成立, 则|b1+(n﹣1)d﹣b1?qn﹣1|≤b1, (n=2,3,…,m+1) , 即 b1≤d≤ , (n=2,3,…,m+1) ,

∵q∈(1, ∴

],∴则 1<qn﹣1≤qm≤2, (n=2,3,…,m+1) , >0,

b1≤0,

因此取 d=0 时,|an﹣bn|≤b1 对 n=2,3,…,m+1 均成立, 下面讨论数列{ }的最大值和数列{ }的最小值,

①当 2≤n≤m 时, 当 1<q≤



=

=



时,有 qn≤qm≤2,

从而 n(qn﹣qn﹣1)﹣qn+2>0, 因此当 2≤n≤m+1 时,数列{ }单调递增,

故数列{

}的最大值为



②设 f(x)=2x(1﹣x) ,当 x>0 时,f′(x)=(ln2﹣1﹣xln2)2x<0,
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∴f(x)单调递减,从而 f(x)<f(0)=1,

当 2≤n≤m 时,

=



(1﹣ )=f( )<1,

因此当 2≤n≤m+1 时,数列{

}单调递递减,

故数列{

}的最小值为



∴d 的取值范围是 d∈[



].

14. 已知等比数列{an}的公比 q>1, 且 a3+a4+a5=28, a4+2 是 a3, a5 的等差中项. 数 列{bn}满足 b1=1,数列{(bn+1﹣bn)an}的前 n 项和为 2n2+n. (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)求数列{bn}的通项公式. 【解答】解: (Ⅰ)等比数列{an}的公比 q>1,且 a3+a4+a5=28,a4+2 是 a3,a5 的等差中项, 可得 2a4+4=a3+a5=28﹣a4, 解得 a4=8, 由 +8+8q=28,可得 q=2( 舍去) , 则 q 的值为 2; (Ⅱ)设 cn=(bn+1﹣bn)an=(bn+1﹣bn)2n﹣1, 可得 n=1 时,c1=2+1=3, n≥2 时,可得 cn=2n2+n﹣2(n﹣1)2﹣(n﹣1)=4n﹣1, 上式对 n=1 也成立, 则(bn+1﹣bn)an=4n﹣1, 即有 bn+1﹣bn=(4n﹣1)?( )n﹣1, 可得 bn=b1+(b2﹣b1)+(b3﹣b2)+…+(bn﹣bn﹣1)
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=1+3?( )0+7?( )1+…+(4n﹣5)?( )n 2,


bn= +3?( )+7?( )2+…+(4n﹣5)?( )n﹣1, 相减可得 bn= +4[( )+( )2+…+( )n﹣2]﹣(4n﹣5)?( )n﹣1

= +4?

﹣(4n﹣5)?( )n﹣1,

化简可得 bn=15﹣(4n+3)?( )n﹣2.

15.设{an}是等比数列,公比大于 0,其前 n 项和为 Sn(n∈N*) ,{bn}是等差数 列.已知 a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6. (Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)设数列{Sn}的前 n 项和为 Tn(n∈N*) , (i)求 Tn; (ii)证明 = ﹣2(n∈N*) .

【解答】 (Ⅰ)解:设等比数列{an}的公比为 q,由 a1=1,a3=a2+2,可得 q2﹣q ﹣2=0. ∵q>0,可得 q=2. 故 .

设等差数列{bn}的公差为 d,由 a4=b3+b5,得 b1+3d=4, 由 a5=b4+2b6,得 3b1+13d=16, ∴b1=d=1. 故 bn=n; (Ⅱ) (i)解:由(Ⅰ) ,可得 故 (ii)证明:∵ = =
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, ; = .



=

=

﹣2.

16.等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通项公式; (2)记 Sn 为{an}的前 n 项和.若 Sm=63,求 m. 【解答】解: (1)∵等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. ∴1×q4=4×(1×q2) , 解得 q=±2, 当 q=2 时,an=2n﹣1, 当 q=﹣2 时,an=(﹣2)n﹣1, ∴{an}的通项公式为,an=2n﹣1,或 an=(﹣2)n﹣1. (2)记 Sn 为{an}的前 n 项和. 当 a1=1,q=﹣2 时,Sn= 由 Sm=63,得 Sm= 当 a1=1,q=2 时,Sn= = = ,

=63,m∈N,无解; = =2n﹣1,

由 Sm=63,得 Sm=2m﹣1=63,m∈N, 解得 m=6.

17.记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,已知 a1=﹣7,S3=﹣15. (1)求{an}的通项公式; (2)求 Sn,并求 Sn 的最小值. 【解答】解: (1)∵等差数列{an}中,a1=﹣7,S3=﹣15, ∴a1=﹣7,3a1+3d=﹣15,解得 a1=﹣7,d=2, ∴an=﹣7+2(n﹣1)=2n﹣9; (2)∵a1=﹣7,d=2,an=2n﹣9, ∴Sn= = =n2﹣8n=(n﹣4)2﹣16,
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∴当 n=4 时,前 n 项的和 Sn 取得最小值为﹣16.

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