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【热点重点难点专题透析】(人教专用)高考数学(理)总复习 名师会诊课件专题四 立体几何 第3课时_图文

第3课时 高考中的立体几何解答题 高考立体几何试题在选择、填空题中侧重立体几何中的 概念型、空间想象型、简单计算型问题,而解答题侧重立体 几何中的逻辑推理型问题,主要考查线线关系、线面关系和 面面关系,及空间角、面积与体积的计算,其解题方法一般 都有两种或两种以上,并且一般都能用空间向量来求解.近 几年凡涉及空间向量应用于立体几何的高考试题,都着重考 查应用空间向量求异面直线所成的角、二面角,证明线线平 行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等问题. 空间中的位置关系与空间角 (2013· 全国卷Ⅱ ) 如图,直 三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 2 AB,BB1 的中点,AA1=AC=CB= AB. 2 (1)证明:BC1∥平面 A1CD. (2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值. 解析: (1)证明:连接AC1,交A1C于点F,则F为AC1的中 点. 又D是AB的中点,连接DF,则BC1∥DF. 因为DF?平面A1CD,BC1?平面A1CD, 所以BC1∥平面A1CD. 2 (2)由 AC=CB= 2 AB,得 AC⊥BC. → 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示 以 C 为坐标原点,CA 的空间直角坐标系 C-xyz.设 CA=2,则 D(1,1,0),E(0,2,1), → =(1,1,0),CE → =(0,2,1),CA → =(2,0,2). A1(2,0,2),CD 1 设 n=(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量, → ? ? ? n· CD=0, ?x1+y1=0, 则? 即? ? → ?2x1+2z1=0. ? CA1=0, ?n · 可取 n=(1,-1,-1). → ? ?m · CE=0, 同理,设 m 是平面 A1CE 的法向量,则? → =0, ? m · CA ? 1 可取 m=(2,1,-2). 3 6 n· m 从而 cos〈n,m〉=|n||m|= 3 ,故 sin〈n,m〉= 3 . 6 即二面角 D-A1C-E 的正弦值为 3 . 利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步 骤为:(1)建立空间坐标系,建系时,要尽可能的利用载体中的 垂直关系; (2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示 出问题中所涉及的点、直线、平面的要素; (3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系; (4)根据运算结果解释相关问题. 1.如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边 形,SA⊥平面 ABCD,AB=2,AD=1,SB= 7,∠BAD=120° , E 在棱 SD 上. (1) 当 SE = 3ED 时,求证: SD⊥平面 AEC; (2) 当二面角 S - AC - E 的大小为 30° 时,求直线 AE 与平面 CDE 所成角的正弦 值. 解析: 在?ABCD 中,∵AB=2,AD=1,∠BAD=120° , ∴CA⊥AD,又 SA⊥平面 ABCD, ∴以 A 为坐标原点,AC,AD,AS 所在的直线分别为 x 轴, y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0),C( 3,0,0),D(0,1,0), ∵SB= 7,∴SA= 3, ∴S 的坐标为(0,0, 3). (1)证明:∵SE=3ED, ∴E ? 3 ? 的坐标为?0, , 4 ? 3? ? . 4? ? 3 3? → → ? → ? ∵SD=(0,1,- 3),AE=?0, , ? , AC =( 3,0,0), ? 4 4 ? ? → → → → ∴SD· AE=0,SD· AC=0, ∴SD⊥AE,SD⊥AC,AE∩AC=A. ∴SD⊥平面 AEC. (2)∵AC⊥平面 SAD,SA⊥平面 ABCD, ∴AC⊥AE,AC⊥SA, ∴∠SAE 为二面角 S-AC-E 的平面角,即∠SAE=30° , 此时 E 为 SD 的中点且 E ? 1 ? 的坐标为?0, , 2 ? 3? ? , 2? ? 设平面 CDE 的一个法向量为 n=(x,y,z), ? 1 3? → → ? ∵CD=(- 3,1,0),CE=?- 3, , ? ?, 2 2 ? ? 1 3 → → ∴CD· n=- 3x+y=0,CE· n=- 3x+2y+ 2 z=0, 取 x=1,则 y= 3,z=1,n=(1, 3,1). 1 3? → ? ? 又AE=?0, , ? ?, 2 2 ? ? → n · AE 3 15 → ∴cos〈n,AE〉= = = 5 . → 5×1 |n||AE| 15 ∴直线 AE 与平面 CDE 所成角的正弦值为 5 . 立体几何中的探索性问题 (2013· 北京卷 ) 如图,在三棱柱 ABC - A1B1C1 中, AA1C1C 是边长为 4 的正方形.平面 ABC⊥平面 AA1C1C , AB = 3,BC=5. (1)求证:AA1⊥平面ABC; (2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值; BD (3)证明:在线段 BC1 上存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求 BC1 的值. 解析: (1)证明:因为AA1C1C为正方形,所以AA1⊥AC. 因为平面 ABC⊥ 平面 AA1C1C ,且 AA1 垂直于这两个平面的 交线AC,所以AA1⊥平面ABC. (2)由(1)知AA1⊥AC,AA1⊥AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4, 所以AB⊥AC. 如 图 , 以 A 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A - xyz , 则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4). 设平面 A1BC1 的法向量为 n=(x,y,z),则 → ? ? ?n· A1B=0, ?3y-4z=0, ? 即? ? → ?4x=0. ? A1C1=0, ?n· 令 z=3,则 x=0,y=4,所以 n=(0,4,3)