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蔡甸二中2013~2014学年第一学期高二期中考试数学试卷(理科)答案解析


蔡甸二中 2013~2014 学年第一学期高二期中考试 数学试卷(理科)答案解析
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 D 5 C 6 C 7 B 8 A 9 B 10 C

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.2 12.8 13. ? ?

?
2

14.3

15.(-4,2)

16.(1) 由两点式写方程得

y ?5 x ?1 ,即 6x-y+11=0 ? ?1 ? 5 ? 2 ? 1

(2) 设 M 的坐标为(x0,y0),则由中点坐标公式得 x0=1,y0=1 故 M(1,1),AM= (1 ? 1) 2 ? (1 ? 5) 2 ? 2 5 17.(1)∵AO⊥l,∴kl=-1 又∵切点为 A(1,1),∴直线 l 的方程是 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0 (2) 设圆心 C2 (a,2a)(a≥0) ,则 r= 5 a ∵C2 到直线 l 的距离 d ?
3a ? 2 2

,∴

(3a ? 2) 2 ? 12 ? 5a 2 ,化简得 a2+12a-28=0,解得 a=2 或 2

a=-14(舍去) .∴C2 的方程是(x-2)2+(y-4)2=20 18.解:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所花的费用为 z 元,则

y ? x ? 0 ,y ? 0 ?x ? 0 , ? 0 ?12x ? 8 y ? 64 ?3 x ? 2 y ? 16 ? ? 依题意得:z=2.5x+4y,且 x,y 满足 ? ,即 ? ?6 x ? 6 y ? 42 ?x ? y ? 7 ?6 x ? 10 y ? 54 ?3 x ? 5 y ? 27 ? ?
让目标函数表示的直线 2.5x+4y=z 在可行域上平移,由此可知 z=2.5x +4y 在(4,3)处取得最小值.因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐 和 3 个单位的晚餐,就可满足要求. 19.解:方法一 (1) ∵2 设直线的方程为
x y 2 1 ? ? 1 (a>2,b>1),由已知可得 ? ? 1 a b a b

1 2 1 2 1 ? ≤ ? =1,∴ab≥8.∴S△ AOB= ab≥4. a b a b 2
2 1 1 = = ,即 a=4,b=2 时,S△ AOB 取最小值 4 a b 2
x y ? =1,即 x+2y-4=0 4 2

当且仅当

此时直线 l 的方程为 (2) 由

2 1 + =1,得 ab-a-2b=0,变形得(a-2)(b-1)=2 a b

PA PB =

(2 ? a) 2 ? (1 ? 0) 2 · (2 ? 0) 2 ? (1 ? b) 2 = [( 2 ? a) 2 ? 1] ?[(1 ? b) 2 ? 4] ≥ 2(a ? 2) ? 4(b ? 1)

当且仅当 a-2=1,b-1=2,即 a=3,b=3 时,|PA|· |PB|取最小值 4 此时直线 l 的方程为 x+y-3=0 方法二:设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2) (k<0) 则 l 与 x 轴、y 轴正半轴分别交于 A ? 2 ? ,0 ? 、B(0,1-2k) ? ?
? 1 k ?

(1) S△ AOB=

1 2

1 ? 1? 1 ? 1 ? ? 2 ? ? (1-2k)= ×?4 ? (?4k ) ? (? )? ≥ (4+4)=4. k? k ? 2 2 ? ? 1 1 ,即 k=- 时取最小值 k 2 1 2

当且仅当-4k=-

此时直线 l 的方程为 y-1=- (x-2),即 x+2y-4=0 (2)

PA PB =
4 k
2

1 ( )2 ? 1 k

4 ? 4k 2 =

4 ? 4k 2 ? 8 ≥4 k2

当且仅当

=4k2,即 k=-1 时取得最小值

此时直线 l 的方程为 y-1=-(x-2),即 x+y-3=0

?x ? 0 ? 20.解:作出线性约束条件 ? y ? 0 对应的可行域如图所示,在此条件下,要使 ax+by≤1 恒 ?x ? y ? 1 ?
成立,只要 ax+by 的最大值不超过 1 即可. a z 令 z=ax+by,则 y=- x+ b b a a 因为 a≥0,b≥0,则-1<- ≤0 时,b≤1,或- ≤-1 时,a≤1 b b 此时对应的可行域如图, 所以以 a,b 为坐标的点 P(a,b)所形成的面积为 1 21.解:(1) 由程序框图可知:{xn } 是等差数列,且首项 x1 ? 1 ,公差 d ? 2 ∴ xn ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1 (2) y1 ? 2 ? 3 ? 1 , y2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 8 ? 32 ? 1 , y3 ? 3 ? 8 ? 2 ? 26 ? 33 ? 1 , y4 ? 3 ? 26 ? 2 ? 80 ? 34 ? 1 故 yn ? 3n ? 1 (3) Sn=(n-1)·3n 1+3



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