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[配套K12]2017-2018版高中数学 第一章 统计案例章末分层突破学案 新人教A版选修1-2

配套 K12 内容资料 第一章 统计案例 ①散点图 n ? i=1 ② xi- x yi- y n ? xi- x 2 i=1 ^- ③ y -b x ④残差分析 ⑤分类变量 ⑥等高条形图 ⑦K2= a+b n ad-bc 2 c+d a+c [自我校对] b+d 线性回归直线方程 ^^ ^ ^ 在回归直线方程y=bx+a中,b代表 x 每增加一个单位,y 平均增加的单位数.一般来 ^ 说,当回归系数b>0 时,说明两个变量呈正相关关系,它的意义是:当 x 每增加一个单位时, ^ ^ y 就平均增加b个单位;当回归系数b<0 时,说明两个变量呈负相关关系,它的意义是:当 x 配套 K12 内容资料 配套 K12 内容资料 ^ 每增加一个单位时,y 就平均减少|b|个单位. 某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据: 年份 2008 2010 2012 2014 2016 需求量(万吨) 236 246 257 276 286 ^^ ^ (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=bx+a; (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2018 年的粮食需求量. 【精彩点拨】 正确利用求回归直线方程的步骤求解,注意数据计算的准确性. 【规范解答】 (1)由所给数据看出,把年份看作点的横坐标,对应的需求量看作点的 纵坐标,画出散点图草图,通过观察知这些点大致分布在一条直线附近,下面求回归直线方 程,为此对数据预处理如下: 年份—2012 -4 -2 0 2 4 需求量—257 -21 -11 0 19 29 对预处理后的数据,容易算得 x =0, y =3.2, ^ b= - - +- - +2×19+4×29-5×0×32 260 - 2+ - 2+22+42-5×02 = 40 =6.5, ^ ^- a= y -b x =3.2, 由上述计算结果,知所求回归直线方程为 ^ ^ ^ y-257=b(x-2 012)+a=6.5(x-2 012)+3.2, ^ 即y=6.5(x-2 012)+260.2.(*) (2)利用直线方程(*),可预测 2018 年的粮食需求量为 6.5×(2 018-2 012)+260.2= 6.5×6+260.2=299.2(万吨). [再练一题] 1.某企业的某种产品产量与单位成本统计数据如下: 月份 1 2 3 4 5 6 产量(千件) 2 3 4 3 4 5 单位成本(元/件) 73 72 71 73 69 68 配套 K12 内容资料 配套 K12 内容资料 n ?xiyi-n x y i=1 n b= ,a= y -b x (用最小二乘法求线性回归方程系数公式注:?xiyi n i=1 ?x2i-n x 2 i=1 n ? =x1y1+x2y2+…+xiyi+…+xnyn, x2i=x21+x22+…+x2i+…+x2n). i=1 (1)试确定回归方程; (2)指出产量每增加 1 件时,单位成本下降多少? (3)假定产量为 6 件时,单位成本是多少?单位成本为 70 元/件时,产量应为多少件? 【解】 (1)设 x 表示每月产量(单位:千件),y 表示单位成本(单位:元/件),作散点 图.由图知 y 与 x 间呈线性相关关系,设线性回归方程为 y=bx+a. 由公式可求得 b≈-1.818,a=77.364,∴回归方程为 y=-1.818x+77.364. (2)由回归方程知,每增加 1 件产量,单位成本下降 1.818 元. (3)当 x=6 时,y=-1.818×6+77.364=66.456; 当 y=70 时,70=-1.818x+77.364,得 x≈4.051 千件. ∴产量为 6 件时,单位成本是 66.456 元/件,单位成本是 70 元/件时,产量约为 4 051 件. 线性回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法,其步骤是先画出 散点图,并对样本点进行相关性检验,在此基础上选择适合的函数模型去拟合样本数据,从 而建立较好的回归方程,并且用该方程对变量值进行分析;有时回归模型可能会有多种选择 (如非线性回归模型),此时可通过残差分析或利用相关指数 R2 来检查模型的拟合效果,从 而得到最佳模型. 一个车间为了规定工时定额,需确定加工零件所花费的时间,为此进行了 10 次试验,测得的数据如下表: 零件数 x/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间 y/min 62 72 75 81 85 95 103 108 112 127 ^ 经分析加工时间 y 与零件个数 x 线性相关,并求得回归直线方程为y=0.670x+55.133. 配套 K12 内容资料 配套 K12 内容资料 (1)求出相关指数; (2)作出残差图; (3)进行残差分析. 【精彩点拨】 作残差分析时,一般从以下几个方面予以说明:(1)散点图;(2)相关系 数;(3)相关指数;(4)残差图中异常点样本点的带状分布区域的宽窄. 【规范解答】 (1)利用所给回归直线方程求出下列数据. ^ yi ^ yi-yi 61.833 0.167 68.533 3.467 75.233 -0.233 81.933 88.633 -0.933 -3.633 yi- y -30 -20 -17 -11 -7 ^ yi ^ yi-yi yi- y 95.333 -0.333 3 102.033 0.967 11 108.733 -0.733 16 115.433 122.133 -3.433 4.867 20 35 10 ? i

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