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函数周期性分类解析以及习题练习


函数周期性分类解析

一.定义:若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x,使 f ( x ? T ) ?
则 f(x)叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期。

f ( x) 恒成立

二.重要结论 1、 f ? x ? ? f ? x ? a ? ,则 y ? f ? x ? 是以 T ? a 为周期的周期函数;
2、 若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=-f(x)(a>0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。 3、 若函数 f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数 4、 y=f(x)满足 f(x+a)=

1 (a>0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。 f ?x ?
1 (a>0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。 f ?x ?

5、若函数 y=f(x)满足 f(x+a)= ?

6、 f ( x ? a) ?

1 ? f ( x) ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x) 1 ? f ( x) ,则 f ?x ? 是以 T ? 4 a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x) 1 ? f ( x) (x∈R, a>0),则 f(x)为周期函数且 4a 是它的一个周期。 1 ? f ( x)

7、 f ( x ? a ) ? ?

8、 若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=

9、 若函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a,x=b(b>a)都对称,则 f(x)为周期函数且 2(b-a)是它的 一个周期。 10、函数 y ? f ( x) ? x ? R? 的图象关于两点 A ? a, y0 ? 、 B ? b, y0 ? ? a ? b ? 都对称,则函数

f ( x) 是以 2 ? b ? a ? 为周期的周期函数;
11、 函数 y ? f ( x) ? x ? R? 的图象关于 A ? a, y0 ? 和直线 x ? b ? a ? b ? 都对称, 则函数 f ( x ) 是以 4 ? b ? a ? 为周期的周期函数; 12、若偶函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称,则 f(x)为周期函数且 2 a 是它的一个周期。 13、若奇函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称,则 f(x)为周期函数且 4 a 是它的一个周期。 14、若函数 y=f(x)满足 f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则 f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。

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15、若奇函数 y=f(x)满足 f(x+T)=f(x)(x∈R,T≠0),则 f(

T )=0. 2

三、典例讲解 例 1(05.福建 12) f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f (2) ? 0 在区间(0,6) 内解的个数的最小值是 A.6 B.7 ( C.4 D.5 )

例 2. 设函数 f ( x ) 的定义域为 R, 且对任意的 x, y 有 f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x) ? f ( y ) , 并存在正实数 c,使 f ( ) ? 0 。试问 f ( x ) 是否为周期函数?若是,求出它的一个周期;若 不是,请说明理由。

c 2

例 3. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,且满足: f ( x ? 2)[1 ? f ( x)] ? 1 ? f ( x) ,

f (1) ? 1997 ,求 f (2001) 的值。
例 4. ( 2009 江西卷文)已知函数 f ( x ) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有

f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ? [0, 2) 时, f ( x) ? log2 (x ? 1 ,则 f (?2008)? f (2009)的值 )
为 A. ? 2 ( B. ? 1 C. 1 D. 2 )

例 5. (天津卷 05)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f (x)的图象关于直线 x ? 1 对称, 2 则 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= _____ 例 6(07 安徽)定义在 R 上的函数 f ( x) 既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期. 若将方程 f ( x) ? 0 在闭区间 ?? T , T ? 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为 A.0 四、巩固练习 B.1 C.3 D.5 ( )

1. 已知偶函数 f ( x) 是以 2 为周期的周期函数,且当 x ? ? 0,1? 时, f ( x) ? 2x ?1 ,则

5 3 1 ? f ( x) 2 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,对于任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 1) ? , 1 ? f ( x) 当 0 ? x ≤ 1 时, f ( x) ? 2 x ,则 f (11.5) ? 3 知 f ( x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 , 满 足 f ( x ? 2 ) ? ? f ( x ) , 且 x ?[ 0 , 2 ] 时,

f (log2 10) 的值为

A.

3 5

B.

8 5

C. ?

3 8

D.

2 . ?1? 求 x ? [?2, 0] 时, f ( x ) 的表达式; ? 2 ? 证明 f ( x ) 是 R 上的奇函数. f ( x) ? 2 x? x

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3 ? 3 ? 4. ( 05 朝阳模拟)已知函数 f ( x) 的图象关于点 ? ? , 0 ? 对称,且满足 f ( x) ? ? f ( x ? ) , 2 ? 4 ? 又 f (?1) ? 1 , f (0) ? ?2 ,求 f (1) ? f (2) ? f (3) ? … ? f (2006) 的值

高三数学恒成立问题的类型及求解策略
恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、 函数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,也为历年高考的一个热点。现将 高中数学中常见的恒成立问题进行归类和探讨。 一、 一次函数型: 给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a≠0),若 y=f(x)在[m,n]内恒有 f(x)>0, 则根据函数的图象 (直 线)可得上述结论等价于

?a ? 0 ?a ? 0 ? f ( m) ? 0 或ⅱ) ? 亦可合并定成 ? ? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? f ( m) ? 0 同理,若在[m,n]内恒有 f(x)<0,则有 ? ? f ( n) ? 0 例1、 对于满足|p| ? 2 的所有实数 p,求使不等式 x2+px+1>2p+x 恒成立的 x 的取值范围。
ⅰ) ?

二、 二次函数型 若二次函数 y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于 0 恒成立,则有 ?

?a ? 0 若是二次函数在指定区间 ?? ? 0

上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。 例 2 .定义在 R 上的减函数 f ?x ? ,如果不等式组 ?
2 ? ? f 1 ? kx ? x ? f ?k ? 2? 对任何 2 ? ? ? f 3 kx ? 1 ? f 1 ? kx ? x ?

?

?

?

?

x ? ?0,1? 都成立,求 k 的取值范围。

例 3.关于 x 的方程 9x+(4+a)3x+4=0 恒有解,求 a 的范围。

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三、 变量分离型 若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所 求, 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边, 则可将恒成立问题转化 成函数的最值问题求解。 例 4 已知当 x ? R 时,不等式 a+cos2x<5-4sinx+ 5a ? 4 恒成立,求实数 a 的取值范围。

例 5.若不等式

1 1 1 1 m ? ? ? ... ? > 对于大于 1 的一切自然数 n 都成立, 求 n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 24

自然数 m 的最大值, 并证明所得结论。

四、 直接根据图象判断 若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图 象, 则可以通过画图直接判断得出结果。 尤其对于选择题、 填空题这种方法更显方便、 快捷。 例 6、当 x ? (1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,求 a 的取值范围。

五.根据函数的奇偶性、周期性、对称性等性质 例 7 若 f(x)=sin(x+ ? )+cos(x- ? )为偶函数,求 ? 的值。

六.利用导数求最值解决恒成立问题 例 8 已知函数 f(x)= ax ?
3

3 2 x ? 1( x ? R ) ,其中 a>0. 2

(Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程;

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(Ⅱ)若在区间 ? ?

? 1 1? , 上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2? ?

函数的对称性与周期性
一 函数的对称性 (一)函数图象的自对称 所谓函数图象的自对称是指一个函数图象的对称(中心对称或轴对称)图象是其本身. 关于函数图象的自对称,有下列性质: 1、奇函数的图象关于 2、二次函数 y 3、三角函数 y 对称,偶函数的图象关于 对称,反之亦然。 对称。 ;

? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的图象关于直线
? sin x
的图象关于直线

对称,它也有对称中心是 ,对称中心是 都有 f 。

y ? c o sx
4 、函数 对称。 5、函数 y 对称。 6、曲线 y

的图象的对称轴是

y ? f ?x ? 若对于定义域内任意一个 x ? f ?x ? 若对于定义域内任意一个 x

?a ? x ? ? f ?b ? x ? ,则其图象关于直线

都有 f

?a ? x ? ? f ?a ? x ? ? b ,则其图象关于点
)对称,则 y

? f ?x ? 关于直线 x ? a 与 x ? b ( a < b

? f ?x ? 是周期函数且周期为

2?b ? a ?
(二)函数图象的互对称 所谓函数图象的互对称是指两个函数图象的上的点一一对应,且对应点相互对称(中心对称或轴对称) 。 关于函数图象的互对称,有下列性质: 1、互为反函数的两个函数的图象关于直线 2、函数 y 3、函数 y 4、函数 y 对称;反之, 对称。 对称。 对称。 。

? f ?x ? 与函数 y ? 2b ? f ?x ? 的图象关于直线 ? f ?a ? x ? 与函数 y ? f ?b ? x ? 的图象关于直线 ? f ?x ? 与函数 y ? 2k ? f ?2h ? x ? 的图象关于点

二 函数的周期性 如果函数 y=f(x)对于定义域内任意的 x,存在一个不等于 0 的常数 T,使得 f(x+T)=f(x)恒成立,则称函 数 f(x)是周期函数,T 是它的一个周期. 一般情况下,如果 T 是函数 f(x)的周期,则 kT(k∈ N+)也是 f(x)的周期. 关于函数的周期性的结论: 1、已知函数

y ? f ?x ? 对任意实数 x

,都有 f

?x

? a ? ? ?f ?x ? ,则 y ? f ?x ? 是以

为周期的函

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数; 2、已知函数 数; 3、 已知函数 y 数. 4、已知函数 y 函数 5、已知函数 y

y ? f ?x ? 对任意实数 x

,都有 f

?a ? x ? =

1 ,则 y ? f ?x ? 是以 f(x)

为周期的函

? f ?x ? 对任意实数 x

,都有 f

?a ? x ? =- ?

1 ,则 y ? f ?x ? 是以 f(x)

为周期的函

? f ?x ? 对任意实数 x ? f ?x ? 对任意实数 x

,都有 f

?a ? x ? ? f ?x ? ? b ,则 y

? f ?x ? 是以

为周期的

,都有 f(x+m)=f(x-m),则

是y

? f ?x ? 的一个周期.

6、已知函数 y

? f ?x ? 对任意实数 x

,都有 f(x+m)=

1 ? f (x) ,则 1 ? f (x)

是 f(x)的一个周期.

7、已知函数 y

? f ?x ? 对任意实数 x

,都有 f(x+m)=-

1 ? f (x) ,求证:4m 是 f(x)的一个周期. 1 ? f (x)

1. 证明:由已知 f(x+2m)=f[(x+m)+m]

1? f 1 ? f (x ? m ) 1? f ?? ?? 1? f 1 ? f (x ? m ) 1? 1? f 1?
所以 f(x)是以 4m 为周期的周期函数.

(x ) 1 (x ) ?? (x ) f (x ) (x )

于是 f(x+4m)=-

1 =f(x) f ( x ? 2m)

8、已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(a+x)=f(a-x)且 f(b+x)=f(b-x), 求证:2|a-b|是 f(x)的一个周期.(a≠b) 证明:不妨设 a>b 于是 f(x+2(a-b))=f(a+(x+a-2b)) =f(a-(x+a-2b))=f(2b-x)=f(b -(x-b)) =f(b +(x-b))= f(x) ∴2(a-b)是 f(x)的一个周期 当 a<b 时同理可得 所以,2|a-b|是 f(x)的周期 例题应用 1、已知 f A.

?x ? 1?是偶函数,则函数 y
B.

? f ?2x ? 的图象的对称轴是(
1 2
D.



x ? ?1

x ?1

C.

x ??

x ?

1 2

2、函数 ( A.a )

f ?x ? ? x 2 ? 2?a ? 1?x ? 2 在 区 间 ?? ?,4? 上 是 减 函 数 , 那 么 实 数 a 的 取 值 范 围 是
B.

?3

a ? ?3

C.

a?5

D.

a ? ?3

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3、函数 y

5? ? ? ? sin? 2x ? ? 的图象的一条对称轴方程是( 2 ? ?



A.

x ??

?
2
2

B.

x ??

?
4

C.

x ?

?
8

D.

x ?

5? 4

4、如果函数 f(x)=x +bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),那么 A.f(2)<f(1)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) B.f(1)<f(2)<f(4) D.f(4)<f(2)<f(1)

5、函数 y

? sin 2x ? a cos2x

的图象关于直线 x

??

?
8

对称,则 a 的值为(



A. 1

B.

? 2

C.

2

D.

?1

6、如果直线 x 为 。

? ?3 与 x ? 2 均为曲线 y ? f ?x ? 的对称轴且 f ?1? ? 0 则 f ?11? 的值

7、 y

? f ?x ? 是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x ? 2 对称,且当 x ? ?? 2,2? 时,


f ?x ? ? ?x 2 ? 1 ,则当 x ? ?? 6,?2?时, f ?x ? =
? ax ? 2 与直线 y ? 3x ? b
?x

8、 如果直线 y

关于直线 y

对称, 则a =

,b =



9、设函数 y

? f ?x ? 定义在实数集上,则函数 y ? f ?x ? 1? 与 y ? f ?1 ? x ? 的图象关于(
? 0 对称
? 0 对称



A. 直线 y

B.直线 x

C. 直线 y

? 1 对称

D.直线 x

? 1 对称

10、 已知函数 f(x)的定义域为 N,且对任意正整数 x,都有 f(x)=f(x-1)+f(x+1) 若 f(0)=2004,求 f(2004) 解:因为 f(x)=f(x-1)+f(x+1) f(x-1)+f(x+2) 即:f(x+3)=-f(x) ∴ f(x+6)=f(x) ⑴ 求证:f(x)是偶函数; ⑵ 若存在正整数 m 使得 f(m)=0,求满足 f(x+T)=f(x)的一个 T 值(T≠0) ⑴ 证明:令 a=b=0 得,f(0)=1(f(0)=0 舍去) 又令 a=0,得 f(b)=f(-b),即 f(x)=f(-x) f(x)是以 6 为周期的周期函数 2004=6× 334∴f(2004)=f(0)=2004 11、 已知对于任意 a,b∈ R,有 f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b),且 f(x)≠0 所以 f(x+1)=f(x)+f(x+2) 两式相加得 0=

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所以,f(x)为偶函数 ⑵ 令 a=x+m,b=m 得 f(x+2m)+f(x)=2f(x+m)f(m)=0 所以 f(x+2m)=-f(x)于是 f(x+4m)=f[(x+2m)+2m] =-f(x+2m) =f(x) 即 T=4m(周期函数) a) 数列{an}中,a1=a,a2=b,且 an+2=an+1-an(n∈ N+) ① 求 a100; ② 求 S100. 解:由已知 a1=a,a2=b, 所以 a3=b-a,a4=-a,a5=-b,a6=a-b,a7=a,a8=b,…… 由此可知,{an}是以 6 为周期的周期数列, 于是 a100=a6×16+4=a4=-a 又注意到 a1+a2+a3+a4+a5+a6=0 S100=a1+a2+a3+……+a96+a97+a98+a99+a100=0+a97+a98+a99+a100 =a1+a2+a3+a4 =a+b+(b-a)+(-a)=2b-a b) 对每一个实数对 x,y,函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,若 f(-2)=-2,试求满足 f(a)=a 的所有整数 a. 解:令 x=y=0,得 f(0)=-1 再令 x=y=-1,得 f(-2)=2f(-1)+2,又 f(-2)=-2 所以 f(-1)=-2 又令 x=1,y=-1,可得 f⑴ =1 令 x=y=1 得 f⑵ =2f⑴ +1+1=4 令 y=1,得 f(x+1)=f(x)+x+2 即 f(x+1)-f(x)=x+2 当 x 取任意正整数时,f(x+1)-f(x)>0 又 f⑴ =1>0 所以 f(x)>0 于是 f(x+1)=f(x)+x+2>x+1 即对任意大于 1 的正整数 t,f(t)>t 在① 中,令 x=-3,得 f(-3)=-1,进一步可得 f(-4)=1 注意到 f(x)-f(x+1)=-(x+2) 所以当 x≤-4 时,f(x)-f(x+1)>0 即 f(x)>f(x+1)>f(x+2)>……>f(-4)=1 所以 x≤-4 时,f(x)>x 综上所述,满足 f(a)=a 的整数只有 a=1 或 a=-2 练习题 二次函数的对称性 ①

1.已知

是二次函数,图象开口向上,

, 比较

大小。

2.若二次函数

的图象开口向下,且 f(x)=f(4-x),比较

的大小。

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3.二次函数

满足

,求

的顶点的坐标。

4.已知 调区间。 5.设二次函数 的解析式。 满足

,且

.(1)写出

的关系式

(2)指出

的单

,图象与 轴交点为(0, 2),与

轴两交点间的距离为 2,求

函数的对称性、周期性与函数的解析式

1. 已知

是奇函数,当

时,

,求

的解析式.

2. 已知

是偶函数,当

时,

,求

的解析式.

3. 已知函数的

图象与函数

的图象关于原点成中心对称, 求

的解析式。

4. 设函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,若当 x<1 时,y=x +1,求当 x>1 时, ,f(x)的解析式. 5. 设 , 求 关于直线 对称的曲线的解析式.

2

6. 已知函数 的解析式.

是偶函数,且 x∈(0,+∞)时有 f(x)=

1 x

, 求当 x∈(-∞,-2)时, 求

7. 已知函数

是偶函数,当 上的偶函数

时, 满足 的值.



的图象关于直线 且当 时,

对称,求 .



的解析式. 定义在 (1)求

的单调区间;(2)求

8. 定义在 R 上的函数 f(x)以 4 为周期,当 x 时 f(x)的最小值。

[-1,3]时,f(x)=|x-1|-1, 求当 x

[-16

,-14

]

9. 设 f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以 2 为周期的函数,对 k∈Z,用

表示区间(2k-1,2k+1],已知

x∈I0 时,

, 求 f(x)在 Ik 上的解析式.

10.设

是定义在(-∞,+∞)上的函数,对一切 求当 时,函数 的解析式。

∈R 均有

,当



1 时,

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11. 设 f(x)是定义在(-∞,+∞)上以 2 为周期的周期函数,且 f(x)是偶函数,当 x∈[2,3]时,f(x)=2(x- 3) +4.
2

(1)求 x∈[1,2]时,f(x)的解析式. (2)若矩形 ABCD 的两个项点 A、B 在 x 轴上,C、D 在函数

y=f(x)有图像上(0≤x≤2),求这个矩形面积的最大值.
函数图象变换与函数解析式 1. 设函数 y=tanx 的图像沿 x 轴正方向平移 2 个单位所得的图像为 C,又设图像 C′与 C 关于原点对称, 求

C′所对应的函数解析式.

2. 将函数 于直线

的图像向左平移一个单位,得到图像 对称的图像 ,求 的解析式.

;再将

向上平移一个单位得到

,作出



3. 把函数 达式. 4. 将函数 的解析式. 5. 将函数 轴方向向右平移

的图像沿 x 轴向右平移 1 个单位,所得图像记为 C, 求 C 关于原点对称的图像的函数表

的图像沿 x 轴向左平移一个单位,再沿 y 轴翻折 180 ,得到

o

的图像, 求

的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩小为原来的一半,再将所得图象,沿 x 个单位长度,求所得新图象对应的函数解析式.

6. 将函数 y=cosx 的图像沿 x 轴向左平移 数解析式.

得到曲线 C,又设曲线 C 与 C′关于原点对称, 求 C′对的函

7. 已知函数 y=3 的图象为 C1,曲线 C2 与 C1 关于原点对称,求 C2 的解析式.

x

8. 将函数 y 的解析式.

? f ?x ? 的图象向左移 a(a>0)个单位得到图象 C ,又 C 和 C 的图象关于原点对称,求 C
1 1 2

2

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一.周期函数的定义: 设函数 y=f(x)的定义域为 D,若存在常数 T≠0,使得对一切 x∈D,且 x+T∈D 时都有 f(x+T)=f(x),则称 y=f(x)为 D 上的周期函数,非零常数 T 叫这个函数的周期。 二.常见结论 (约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x ) 的周期 T=a; ( 2 ) f ( x ? a) ? -f ( x) , 或 f ( x? a) ? 或 f ( x ? a) ? f(- xa )

1 ( f ( x) ? 0) , 或 f ( x)

1 ( f (x )? 0, )则 f ( x) 的周期 T=2a; f ( x) 例 1 : 设 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , f ( x ? 4) ? -f ( x) 且 f (3) ? 5 , 则 f (- 2 1? ) ______________, f (2005) ? ______________ f ( x ? a) ? ?
答:5,-5 例 2:设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且满足 f ( x ? 2) ?

1 ,当 0≤x≤1, f ( x) ? 2x, f ( x)

则 f (7.5) ? ______________ 答:1 例 3 : 设 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,

f (1) ? 2 , 则

f ( 2 )? f ( 7? ) ______________
答:-2

1 ( f ( x) ? 0) ,则 f ( x) 的周期 T=3a; f ( x ? a) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (4) f ( x1 ? x2 ) ? 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1,0 ?| x1 ? x2 |? 2a) , 或 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) f( x ? a )? ? - f ( ax 则) f ( x) 的周期 T=4a; (5) f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a) ? f ( x) f ( x ? a) f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) f ( x ? 4a) , 则 f ( x) 的周期 T=5a; (6) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x ) 的周期 T=6a.
(3) f ( x) ? 1 ? (7) ①若 f(a + x)=f(a-x) 且 f(x) 是偶函数,则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数; ②若 f(a + x)=f(a-x) 且 f(x) 是奇函数,则 y=f(x)是周期为 4a 的周期函数。 (8)①若 f(a + x)=-f(a-x) 且 f(x) 是偶函数,则 y=f(x)是周期为 4a 的周期函数; ②若 f(a + x)=-f(a-x) 且 f(x) 是奇函数,则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数。 (9)若 y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则 f(x)是周期为 2 a ? b 的周期函数; (10)y=f(x)的图象关于直线 x=a,x=b(a≠b)对称,则函数 y=f(x)是周期为 2 a ? b 的周期函数; (11)如果函数 y ? f ( x) 的图像有一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) ,则函数 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为 T ? 4 | a ? b | ; 三.练习 1 、 函 数 f ? x ? 对 于 任 意 实 数 x 满 足 条 件 f ? x ? 2? ?

1 , 若 f ?1? ? ? 5 ,则 f ? x?

f ? f ?5?? ? _______________
2、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为
共 14 页 第 11 页

(A)-1

(B) 0

(C)

1

(D)2 ( )

3.已知函数 y ? f ( x) 是一个以 4 为最小正周期的奇函数,则 f (2) ? A.0 B.-4 C.4 D.不能确定

4.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 为周期函数,最小正周期为 T,若函数 y ? f ( x) , x ? (0, T ) 时 有反函数 y ? f ?1 ( x), x ? D ,则函数 y ? f ( x) , x ? (2T ,3T ) 的反函数为 A. y ? f
?1





( x), x ? D

B. y ? f

?1

( x ? 2T ), x ? D

C. y ? f ?1 ( x ? 2T ), x ? D

D. y ? f ?1 ( x) ? 2T , x ? D

6.函数 f (x)为奇函数且 f (3x+1)的周期为 3,f (1)=-1,则 f (2006)等于 A.0 B.1 C.一 1 D.2 7 设 f ( x) 是 (??,??) 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,则 f (47.5) 等于_____ (答: ? 0.5 ); 8 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且在 [?3, ?2] 上是减函数,若 ? , ? 是 锐角三角形的两个内角,则 f (sin ? ), f (cos ? ) 的大小关系为_________ (答: f (sin ? ) ? f (cos ? ) ); 9 已知 f ( x ) 是偶函数,且 f (1) =993, g ( x) = f ( x ? 1) 是奇函数,求 f (2005) 的值
(答:993); 10 设 f ? x ? 是定义域为 R 的函数, 且 f ? x ? 2? ? 又 f ? 2 ? ?2 ? 2 , ?1 ? f ? x ? ? ? ? 1? f ? x? , 则 f ? 2006? = (答:

11 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是以 2 为周期的奇函数,则方程 f ( x) ? 0 在 [?2, 2] 上至少 有__________个实数根 (答:5) 12 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的函数, f (10 ? x) ? f (10 ? x) 且 f (20 ? x) ? ? f (20 ? x) ,则 ) A. 周期为 20 的奇函数 C. 周期为 40 的奇函数 (答:C)

2 ?2 ) 2

f ( x)是 (

B. 周期为 20 的偶函数 D. 周期为 40 的偶函数

13. f ( x)为R上的奇函数,对任意x ? R,都有f ( x ? 5) ? f ( x) ? 0, 若f (2) ? 1,f (2008) ?


熟悉并理解上述结论,可帮助我们快速完成下列习题。 ⒈ 若 y ? f (2x ) 的图象关于直线 x ?

a b ( b ? a ) 对称,则 f ( x ) 的一个周期为 和x? 2 2
共 14 页 第 12 页

A.

a?b 2

B. 2 ( b ? a )

C.

b?a 2

D. 4 ( b ? a )

⒉ 设 函 数 y ? f (x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 它 的 图 象 关 于 直 线 x ? 2 对 称 , 已 知

x ? [ ? 2 , 2 ] 时,函数 f (x) ? ? x 2 ? 1,则 x ? [ ? 6 , ? 2 ] 时, f ( x ) ?

.

⒊ (2007 天津,7)在 R 上定义的函数 f ( x ) 是偶函数,且 f ( x) ? f (2 ? x) ,若 f ( x ) 在 区间 [1, 2 ] 上是减函数,则 f ( x ) A. 在区间 [ ? 2 , ? 1] 上是增函数,在区间 [ 3 , 4 ] 上是增函数 B. 在区间 [ ? 2 , ? 1] 上是增函数,在区间 [ 3 , 4 ] 上是减函数 C. 在区间 [ ? 2 , ? 1] 上是减函数,在区间 [ 3 , 4 ] 上是增函数 D. 在区间 [ ? 2 , ? 1] 上是减函数,在区间 [ 3 , 4 ] 上是减函数 ⒋(2005 天津,16)设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? 对称,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? .

1 2

⒌(2006 山东,6)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 f (6) 的值为 A. ? 1 B. 0 C. 1 D. 2

x ⒍ 已知偶函数 y ? f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且当 x ? [ ? 1, 0 ] 时, f ( x ) ? 3 ?

4 , 9

则 f ( log1 5 ) 的值等于
3

A. ? 1

B.

29 50

C.

101 45

D. 1

⒎(2006 广东佛山)设 f ( x ) 为 R 上的奇函数,且 f (? x) ? f ( x ? 3) ? 0 ,若 f (?1) ? ? 1 ,

f (2) ? l o g a 2 ,则 a 的取值范围是
⒏ 函数 f ( x ) 对于任意实数 x 满足条件 f ( x ? 2) ? A. 5 B. ? 5

.

1 ,若 f (1) ? ? 5 ,则 f ( f ( 5 ) ) 等于 f (x)
1 5

C.

1 5

D. ?

⒐(山东临沂)已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 满足下列三个条件: ① 对于任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 4) ? f ( x ) ; ② 对于任意的 0 ? x1 ? x 2 ? 2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ; ③ 函数 y ? f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对称。 则下列结论正确的是
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A. f ( 6.5 ) ? f ( 5 ) ? f (15.5 ) C. f ( 5 ) ? f (15.5 ) ? f ( 6.5 )

B. f ( 5 ) ? f ( 6.5 ) ? f (15.5 ) D. f (15.5 ) ? f ( 5 ) ? f ( 6.5 )

⒑(江苏盐城)定义在 ( ? ? , ? ? ) 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x ) ,且在 [ ? 1, 0 ] 上是增函数,下面是关于 f ( x ) 的判断: ① f ( x ) 是周期函数; ② f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称; ③ f ( x ) 在 [ 0 , 1] 上是增函数; ④ f ( 2 ) ? f ( 0 ). 其中正确的判断是 (把你认为正确的判断都填上) 。

⒒( 2005 广东, 19 , 12 分)设函数 f ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 上满足 f ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ) ,

f ( 7 ? x ) ? f ( 7 ? x ) ,且在闭区间 [ 0 , 7 ] 上只有 f (1) ? f ( 3 ) ? 0.
⑴ 试判断函数 y ? f ( x ) 的奇偶性; ⑵ 试求方程 f ( x ) ? 0 在闭区间 [ ? 2005, 2005] 上的根的个数,并证明你的结论。 ⒓ 函数 y ? f ( x ) 的图象为 C1 , C1 关于直线 x ? 1 对称的图象为 C 2 ,将 C 2 向左平移 2 个 单位后得到图象 C 3 ,则 C 3 对应函数为 A. y ? f (? x ) B. y ? f (1 ? x ) C. y ? f (2 ? x ) D. y ? f (3 ? x )

g(x) ? f (x ? 1) 为奇函数, ⒔ 函数 y ? f ( x ) ( x ? R ) 满足 f ( x ) 是偶函数, 又 f (0) ? 2003,
)? 则 f (2004
.

答案: ⒈ D; ⒉ f ( x) ? ? ( x ? 4 ) 2 ? 1 ; ⒊ B; ⒋ 0; ⒌ B; ⒍ D; ⒎ a ?1 或 0 ? a ? ⒏ D;⒐ A;⒑ ①②④;⒒ ⑴ 非奇非偶函数;⑵ 802 个根;⒓ A;⒔ 2003.

1 2

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