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初中数学竞赛全辅导第二十一讲 从三角形的内切圆谈起_图文

注:设 Rt△ABC 的各边长分别为 a、b、c (斜边),运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不 同表示式: (1) r ? (2) r ?
a?b?c ; 2

ab . a?b?c

请读者给出证 【例题求解】 【例 1】 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°°,BC=5,⊙O 与 Rt△ABC 的三边 AB、BC、AC 分相切于点 D、E、 F,若⊙O 的半径 r=2,则 Rt△ABC 的 周长为 .

思路点拨 AF=AD,BE=BD,连 OE、OF,则 OECF 为正方形,只需求出 AF(或 AD)即可.

【例 2】 如图,以定线段 AB 为直径作半圆 O,P 为半圆上任意一点(异于 A、B),过点 P 作半圆 O 的切线 分别交过 A、B 两点的切线于 D、C,AC、BD 相交于 N 点,连结 ON,NP,下列结论:①四边形 ANPD 是梯形; ②ON=NP:③DP·P C 为定值;④ FA 为∠NPD 的平分线,其中一定成立的是( A .①②③ B.②③④ C.①③④ D.①④ )

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思路点拨 本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形,判定性质等重要几何知识,注意基本辅助 线的添出、基本图形识别、等线段代换,推导出 NP∥AD∥BC 是解本例的关键.

【例 3】 如图,已知 ∠ACP=∠CDE=90°,点 B 在 CE 上,CA=CB=CD,过 A、C、D 三点的圆交 AB 于 F,求证: F 为△CDE 的内心. (全国初中数学联赛试题) 思路点拨 连 CF、DF,即需证 F 为△CDE 角平分线的交点,充分利用与圆有关的角,将问题转化 为角相等 问题的证明.

【例 4】 如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=BC=1,以 AB 为直径作半圆 O 切 CD 于 E,连 结 OE,并延长交 AD 的延长线于 F. (1)问∠BOZ 能否为 120°,并简要说明理由; (2)证明△AOF∽△EDF,且 (3)求 DF 的长.
DF DE 1 ? ? ; OF OA 2

思路点拨

分解出基本图形,作出基本辅助线.(1)若∠BOZ=120°,看能否推出矛盾;(2)把计算与推理

融合;(3)把相应线段用 DF 的代数式表示,利用勾股定理建立关于 DF 的一元二次方程.

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注: 如图,在直角梯形 ABCD 中,若 AD+BC=CD,则可得到应用广泛的两个性质: (1)以边 AB 为直径的圆与边 CD 相切; (2)以边 CD 为直径的圆与边 AB 相切. 类似地, 三角形三条中线的交点叫三角形的重心, 三角形三边高所在的直线的交点叫三角形的垂心. 外 心、内心、垂心、重心统称三角形的四心,它们处在三角而中的特殊位置上,有着丰富的性质,在解题中 有广泛的应用. 【例 5】 如图,已知 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,O、O1、O2 分别是△ABC;△ACD、△BCD 的角平 分线的交点,求证:(1) O1O⊥C O2;(2)OC= O1O2. (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 在直角三角形中,斜边上的高将它分成 的两个直角三角形和原三角形相似,得对应角相等,所 以通过证交角为 90°的方法得两线垂直,又利用全等三角形证明两线段相 等.

学力训练 1.如图,已知圆外切等腰梯形 ABCD 的中位线 EF=15cm,那么等腰梯形 ABCD 的周长等于= 2.如图,在直角,坐标系中 A、B 的坐标分别为(3,0)、(0,4),则 Rt△ABO 内心的坐标是 cm. .

3.如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC, DC⊥BC,AB=8,BC=5,若以 AB 为直径的⊙O 与 DC 相切于 E,则 DC= . (云南省曲靖市中考题)

4. 如图, 为△ABC 的内切圆, ⊙O ∠C=90°, O 的延长线交 BC 于点 D, A AC=4, CD=1, 则⊙O 的半径等于( A.
4 5

)

B.

5 4

C.

3 4

D.

5 6

(重庆市中考题)
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5.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠BCD=90°,以 CD 为直径的半圆 O 切 AB 于点 E,这个梯形的面积为 21cm ,周长为 20cm,那么半圆 O 的半径为( A.3cm B.7cm C .3cm 或 7cm
2

) D. 2cm )

6. 如图, △ABC 中, 内切圆 O 和边 B、 AB 分别相切于点 D、 则以下四个结论中, CA、 EF, 错误的结论是( A.点 O 是△DEF 的外心 C.∠BOC=90°+
1 ∠A 2

B.∠AFE=

1 (∠B+∠C) 2 1 ∠B 2

D.∠DFE=90°一

7.如图,BC 是⊙O 的直径,AB、AD 是⊙O 的切线,切点分别为 B、P,过 C 点的切线与 AD 交于点 D,连结 AO、DO. (1)求证:△ABO∽△OCD;
5 (2)若 AB、CD 是关于 x 的方程 x 2 ? (m ? 1) x ? (m ? 1) 2 ? 0 的两个实数根,且 S△ABO+ S△OCD=20,求 m 的值. 2

8.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,OC 与⊙O 相交于点 D,连结 AD 并延长,BC 相交于点 E. (1)若 BC= 3 ,CD=1,求⊙O 的半径; (2)取 BE 的中点 F,连结 DF,求证:DF 是⊙O 的切线; (3)过 D 点作 DG⊥BC 于 G,OG 与 DG 相交于点 M,求证:DM=GM. 9.如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=90°,AD=13cm,BC=16cm,CD=5cm,AB 为⊙O 的直径,动点 P 沿 AD 方向从点 A 开始向点 D 以 1cm/秒的速度运动, 动点 Q 沿 CB 方向从点 C 开始向点 B 以 2cm/秒的速 度运动,点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发,当其中一点停止时,另一点也随之停止运动. (1)求⊙O 的直径; (2)求四边形 PQCD 的面积 y 关于 P、Q 运动时间 t 的函数关系式,并求当四边形 PQCD 为等腰梯形时,
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四边形 PQCP 的面积; (3)是否存在某时刻 t,使直线 PQ 与⊙O 相切,若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理 由. (2002 年烟台市中考题)

10.已知在△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=3,CD 为 AB 上的高,Ol、O2 分别为△ACD、△BCD 的内心,则 OlO2= .

11.如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠A 和∠B 的平分线相交于 P 点,又 PE⊥AB 于点 E,若 BC=2,AC=3, 则 AE·EB= . )

12.如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,那么该直线必通过这个三角形的( A.内心 B.外心 C.圆心 D.重心

13.如图,AD 是△ABC 的角平分线,⊙O 过点 AB 和 BC 相切于点 P,和 AB、AC 分别交于点 E,F,若 BD=AE, 且 BE=a,CF=b,则 AF 的长为( A.
1? 5 a 2

) C.
1? 5 b 2

B.

1? 3 a 2

D.

1? 3 b 2

14.如图,在矩形 ABCD 中,连结 AC,如果 O 为△ABC 的内心,过 O 作 OE⊥AD 于 E,作 OF⊥CD 于 F,则矩 形 OFDE 的面积与矩形 ABCD 的面积的比值为( A.
1 2

)

B.

2 3

C.

3 4

D.不能确定 (《学习报》公开赛试题)

15.如图,AB 是半圆的直径,AC 为半圆的切线,AC=AB.在半圆上任取一点 D,作 DE⊥CD,交直线 AB 于 ⌒ 点 F,BF⊥AB,交线段 AD 的延长线于点 F. (1)设 AD 是 x°的弧,并要使点 E 在线段 BA 的延长线上,则 x 的取值范围是 ;

(2)不论 D 点取在半圆什么位置,图中除 AB=AC 外,还有两条线段一定相等,指出这两条相等的线段, 并予证明.

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16.如图,△ABC 的三边满足关系 BC=

1 (AB+AC),O、I 分别为△ABC 的外心、内心,∠ BAC 的外角平分线 2

交⊙O 于 E,AI 的延长线交⊙O 于 D,DE 交 BC 于 H. 求证:(1)AI=BD;(2)OI=
1 AE. 2

17.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,OC 平行于弦 AD,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,连结 AC, 与 DE 交于点 F,问 EP 与 PD 是否相等?证明你的结论.

18.如图,已知点 P 在半径为 6,圆心角为 90°的扇形 OAB 的 AB(不含端点)上运动,PH⊥OA 于 H,△OPH 的重心为 G. ⌒

(1)当点 P 在 AB 上运动时,线段 GO、GP、GH 中有无长度保持不变的线段?如果有,请指出并求出其相 应的长度; (2)设 PH= x,GP=y,求 y 关于 x 的函数解析式,并指出自变量 x 的取 值范围; (3)如果△PGH 为等腰三角形,试求出线段 PH 的长.

参考答案

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