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金山中学2012-2013高三数学期末考试卷 (理)

金山中学 2012-2013 高三数学期末考试卷(理)
班级 姓名 座号 评分 一、选择题(以下题目从 4 项答案中选出一项,每小题 5 分,共 40 分)

2013.4

1、函数

y ? cos2 x 在下列哪个区间上是减函数
? ?
, ] 4 4

A、 [ ?

? 3? B、 [ , ] 4 4

C、 [0, ]

?

2

D、 [

? 3?
2 , 2

]

2、函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x ? 9, 已知 f ( x)在x ? ?3 时取得极值,则 a= A.2 3、函数 f ( x) ? ln x ? A、 (1,2) B.3 C.4 D.5

2 的零点所在的大致区间是 x
B、 (2,e) C、 (e,3) D、 (e,+∞)

4、已知向量 a =(x-5,3), b =(2,x),且 a ⊥ b ,则由 x 的值构成的集合是 A、 ?2? B、 ?6? C、 ?2,3? D、 ?? 1,6?

?

?

?

?

5、直线 x ? 3 y ? 2 ? 0被圆( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 所截得的弦长为 A、1 B、 2 C、 3 D、2

2 6、若 x ? 0 , y ? 0 ,且 x ? y ? 1 ,那么 4x ? y 的最小值为

A、4

B、3

C、2

D、1

2 7、函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 3 ? x ? a 有三个不同的零点,则实数 a 的值是

A. ? 1

B. ?

3 4

C. ? 1或 ?

3 4

D. 1或

3 4
?

8、一船向正北匀速前进,看见正西方两座相距 10 浬的灯塔恰好与该船在同一直线上, 继续航行半小时后,看见其中一座灯塔在南偏西 60 方向上,另一灯塔在南偏西 75 方 向上,试测算该船的速度应该是 A、 10 浬/小时 B、 10 3 浬/小时 C、 5 浬/小时 D、 5 3 浬/小时
?

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1

二、填空题(每小题 4 分,共 30 分) 9、 已知函数 y ? f (x) 是偶函数, 且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ?

4 , f (x) 在区间 ?? 3,?1? 记 x


上的最大、最小值分别为 M 、 m ,则实数 M ? m 的值为 10、双曲线

x2 y2 ? ? 1(m n ? 0) 离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重 m n

合,则 mn 的值为 11、已知变量 x 、 y 满足 ?

? 2 x ? y ? 0, 则 z ? x ? y ? 2 的最大值为__________。 ? x ? 3 y ? 5 ? 0,

12、~13、 (以下三题选做两道) ①将参数方程 ?

? x ? 1 ? a cos? ( ? 为参数)化为普通方程,所得方程是__________. y ? a sin ? ?

②在极坐标系中, 是极点, O 设点 A (4, ) B , (4, , 0) 则△OAB 的面积是 ③若不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? a 的解集非空,则 a 的取值范围是

? 3



14、点 F1 、 F2 是椭圆的两焦点, l 是其右准线,点 P 在椭圆上, PK ? l于K ,若

PK ? F1 F2 , F1 K ? F2 P ? 0 ,则该椭圆的离心率为

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2

高三数学期末考试卷(理)
班级 姓名 座号 一、选择题答案栏(每小题 5 分,共 50 分)
题号

2013.4

评分 5 6 7 8

1

2

3

4

答 案

二、填空题答案栏(每小题 4 分,共 20 分) 9、 ; 10、 ; 11、 ; 12、 ~13、 ① ③ 14、 。 三、解答题(共 80 分) 15、 10 分)已知 sin (

; ②



x x ? 2 cos , 2 2

(Ⅰ)求 tan x 的值; (Ⅱ)求

cos2 x 的值. (cosx ? sin x) ? sin x

16、 (12 分)已知圆 C: x ? y ? 4 和直线 l: 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ,点 P 时圆 C 上的一
2 2

动点,直线与坐标轴的交点分别为点 A、B, 1)求与圆 C 相切且平行直线 l 的直线方程;2)求 ?PAB 面积的最大值。

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3

17、 (12 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ,曲线 y ? f (x) 过点 P(?1,2) 且在 P 点处的切 线恰好与直线 x ? 3 y ? 0 垂直。 1) 求 a, b 的值。 2) 若 f (x) 在区间 ?m, m ? 1? 上单调递增,求 m 的取值范围。

18、 (14 分)已知数列{ bn }中, b1 ? 1, 点 P( bn , bn ?1 )在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,数列 { an }的通项为 an ,前 n 项和为 S n ,且 an 是 S n 与 2 的等差中项; (Ⅰ)求数列{ bn }、{ an }的通项公式 bn , an ; (Ⅱ)设 Tn ?

b b1 b2 ? ? ? ? n , 求满足 Tn ? c 的最小整数 c . a1 a2 an

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4

高三数学期末考试卷(理)
班级 姓名 座号

2013.4

19、 (16 分)已知椭圆 C 以 F1 (?1, 0) 、 F2 (1 , 0) 为焦点,且与直线 l : y ? 2 x ? 3 有 公共点。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程,使其离心率取得最大值;

(Ⅱ)若椭圆 C 与直线 l 交于 A、B 两点,满足 F1 A ? F1 B ? ? 围。

26 ,求离心率的取值范 19

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5

20、 分) (16 向量 an ? ( xn , y n )(n=1, ……) 2, 满足:x n ?1 ? 记 rn ? a n ,已知 a1 ? (1, 3) ⑴求数列 ?rn ?的通项公式;

xn ? y n x ? yn ,y n ?1 ? n 。 2 2

⑵求 a n 与 an?1 的夹角;

⑶记 bn ? na n ? a n ?1 , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,是否存在 n0 ? N ,使得当 n ? n0 时,恒 有 S n ? 8 ? 1?若存在,请求出 n0 。

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6

参考答案 1、 ~8、 CDBA, CDCA; 1; 9、 10、 ② 4 3 ③ a ? 1 ;14、

3 ; 1; ~13、 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? a 2 11、 12、 ① 16

5 ?1 . 2

15、答案(1) tan

x 4 cos x ? sin x 1 ? 2 ? tan x ? ? , ? (2)原式 2 3 sin x 4

16 答案: (1) 3x ? 4 y ? 10 ? 0 为所求 (2)A(—4,0) 、B(0,—3) ,则|AB|=5.设点 P 到直线 AB 的距离为 d ,点 O(0,0) 到直线 AB 的距离为 d1 ,则 d1 ? 故 S ?PAB ?

| 12 | 32 ? 4 2

?

12 12 22 , d ? d1 ? R ? ? 2 ? 5 5 5

1 22 ? ? 5 ? 11 2 5

17、 (1) a ? 1, b ? 3 ; (2) f / ( x) ? 3x( x ? 2) ? 0 ? x ? 0或x ? ?2 由 [m, m ? 1] ? (??,?2],或[m, m ? 1] ? [0,??) ? m ? ?3或m ? 0 18 解: (Ⅰ)? P(bn , bn ?1 ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,

?bn ? bn?1 ? 2 ? 0即bn?1 ? bn ? 2.
又? b1

? 1,?{bn } 是以 1 为首项,公差为 d ? 2
……4 分

的等差数列,

? bn ? 2n ? 1(n ? N ? ).
由条件 2an ? S n ? 2,? S n ? 2(an ? 1).

? S n?1 ? 2(an?1 ? 1),? an?1 ? 2(an?1 ? an ),

? a m?1 ? 2a n ,?
又 a1

a n?1 ? 2. ……………6 分 an

? S1 ? 2(a1 ? 1),? a1 ? 2,

?{an } 是以 2 为首项,公比 q ? 2 的等比数列,? an ? 2 n (n ? N ? ).……10 分
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(Ⅱ)证明:满足条件 Tn

? c 的最小整数 c ? 3. ……(16 分)

19、 (1)设所求方程为

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), a 2 ? b 2 ? 1,把 y ? 2 x ? 3 代入得 2 a b
2 2

(5b 2 ? 4) x 2 ? 12(b 2 ? 1) x ? 8b 2 ? 9 ? b 4 ? 0, ? ? 0 ? b 2 ? 1, ? a 2 ? 2 ? e ? x2 ? y2 ? 1 2

仅当 b ? 1 时,离心率取得最大值,此时所求方程为
2

(2) 0 ? e ? ;

1 2

20、 ,答案 rn ? 2 ? ( (1)

2 n?1 ) 2

(2)夹角大小为

? 4

(3)所求的 n0 ? 4

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