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2017届高考数学(文)一轮复习讲练测:专题2.2函数的定义域和值域(讲).doc


2017 年高考数学讲练测【新课标版文】 【讲】 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第2节 一、课前小测摸底细 1.【教材改编】已知函数 f ? x ? ? ? ( ) B. ? ?1, 2? C. ? ??, ?1 函数的定义域和值域

? ?? 2 ? a ? x ? 3a, x ? 1 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围是 ? ?log 2 x, x ? 1

A. ? ?1, 2? 【答案】B

?

D. ??1?

【解析】 x ? 1 时, log2 x ? 0 ,由此 ?

?2 ? a ? 0 ,所以 ?1 ? a ? 2 .故选 B. ?2 ? a ? 3a ? 0
x ( x ? 2) 的最大值为_________. x ?1

2.【2016 高考北京文数】函数 f ( x ) ? 【答案】2 【解析】 试题分析: f ( x) ? 1 ?

1 ? 1 ? 1 ? 2 ,即最大值为 2. x ?1

3. 【2016 山东滨州二模】1、函数 f ( x) ? 【答案】 (0,2)

4 ? x2 的定义域为 log2 x ? 1

.

4.【经典习题】函数 y ? 16 ? 4 x 的值域是 【答案】 [0,4)

.

x x 【解析】由已知得 0 ? 16 ? 4 ? 16,所以 0 ? 16 ? 4 ? 16 ? 4 ,即函数 y ? 16 ? 4 x 的

值域是 [0,4) . 5. 已知函数 y ? f ? x ? 2? 定义域是 ? 0, 4? ,则 y ?

f ? x ? 1? 的定义域是 x ?1

.

【答案】

??3,1?

二、课中考点全掌握 考点 1:函数的定义域 【题组全面展示】 【1-1】函数 f ? x ? ? A. x x ? 1 【答案】B

2 ? 2x ?

1 的定义域为( ) log3 x

?

?

B. x 0 ? x ? 1

?

?

C. x 0 ? x ? 1

?

?

D. x x ? 1

?

?

?2 ? 2 x ? 0 1 ? 【解析】函数 f ? x ? ? 2 ? 2 x ? 的定义域为 ?log 3 x ? 0 ? ? x 0 ? x ? 1? log3 x ?x ? 0 ?
2 【1-2】已知函数 f (4 x ? 3) 的定义域是 [1,5] ,则函数 f x ? 1 的定义域

?

?

【答案】 [?4, 4] 【解析】由题意可知 x ??1,5??4x ? 3 ??1,17?? x ?1??1,17?? x ???4,4?
2

【1-3】已知函数 f (3 ? 2 x ) 的定义域为 [ ?1,2] ,则函数 f ( x) 的定义域为 【答案】 [ ?1,5] 【解析】用换元思想,令 3 ? 2 x ? t , f (t ) 的定义域即为 f ( x) 的定义域, 因为 t ? 3 ? 2 x( x ? [?1,2]) ,所以 ? 1 ? t ? 5 , 故 f ( x) 的定义域为 [ ?1,5] . 【1-4】若函数 f(x)= 为__________。



的定义域为 R,则 a 的取值范围

【答案】[-1,0]

综合定评:当函数解析式是由两个或两个以上数学式的和、差、积、商的形式时,定义域是 使各个部分有意义的公共部分的集合,要注意全面考虑问题,不逆漏. 【基础知识重温】 1.函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 2.求函数定义域的步骤:①写出使函数有意义的不等式(组) ;②解不等式(组) ;③写出 函数的定义域(注意用区间或集合的形式写出) 【方法规律技巧】 1.求函数定义域的主要依据是:①分式的分母不能为零;②偶次方根的被开方式其值非负; ③对数式中真数大于零,底数大于零且不等于 1. 2.对于复合函数求定义域问题, 若已知 f ( x ) 的定义域 [ a, b] , 则复合函数 f ( g ( x)) 的定义域 由不等式 a ? g ( x) ? b 得到. 3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题,应依据已知条件准确 找出利用哪一段求解. 4.与定义域有关的几类问题 第一类是给出函数的解析式,这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围; 第二类是实际问题或几何问题, 此时除要考虑解析式有意义外, 还应考虑使实际问题或几何 问题有意义; 第三类 是不给出函数的解析式 ,而由 f ( x ) 的定义域确定函 数 f [ g ( x)] 的定义域或 由

f [ g ( x)]的定义域确定函数 f ( x) 的定义域.
第四类是已知函数的定义域,求参数范围问题,常转化为恒成立问题来解决. 【新题变式探究】

【变式一】函数 f ( x) ? ln A. (0,??) D. (0,1) ? (1,??) 【答案】B

1 x ? x 2 的定义域为 ( x ?1

) C .

B. (1,??)

(0,1)

? x 1 ?0 x ? ? x 2 的定义域为 【解析】自变量 x 满足 ? x ? 1 ,解得 x ? 1 ,故函数 f ? x ? ? ln x ?1 ? ?x ? 0

?1, ??? ,故选 B.
【变式二】函数 f ( x) ? lg(2 x ? 3x ) 的定义域为 【答案】 (??, 0) .

考点二:函数的值域 【题组全面展示】 【3-1】求下列函数的值域: x2-1 1 1 (1)y= 2 ;(2)y=x- 1-2x;(3)y= x+ (x>1);(4)y= 。 x +1 x-1 x-x2 2 解析:(1)解法一:y=1- 2 , x +1 1 ∵x2+1≥1,∴0< 2 ≤1, x +1 2 ∴-2≤- 2 <0,∴y∈[-1,1)。 x +1 x2-1 y+1 解法二:由 y= 2 可得 x2=- , x +1 y-1 y+1 ∵x2≥0,∴ ≤0,∴y∈[-1,1)。 y-1 1-t2 (2)令 t= 1-2x,则 x= (t≥0), 2 1-t2 1 所以 y= -t=- (t+1)2+1。 2 2

1 因为 t≥0,所以当 t=0 时,ymax= 。 2 1? 故函数 y 的值域为? ?-∞,2?。 1 +1(x>1), x-1 1 +1=3, x-1

(3)y= x-1+ ∴y≥2

? x-1? ·

当且仅当 x=4 时取等号, ∴函数 y 的值域为[3,+∞)。 (4)∵ x-x2= ∴y∈[2,+∞)。 x2, -1≤x≤1, ? ? 【3-2】已知函数 f(x)=?1 则 f(x)的最大值和最小值分别为( ?x, x>1, ? A.最大值为 1,最小值为-1 C.最大值为 0,最小值为-1 【答案】B B.最大值为 1,最小值为 0 D.最大值为 1,最小值不存在 1?2 1 ? 1? -? ?x-2? +4∈?0,2?,

)

【3-3】下列函数中,值域为(0,+∞)的是(

)

A.y=x2-x+1 【答案】D

1 B.y=x+ (x>0) x

C.y=esin x

D.y=

1 x+1

1 3 【解析】对于 A:(配方法)因为 y=x2-x+1=(x- )2+ , 2 4 3 3 所以 y≥ ,故值域为[ ,+∞). 4 4 对于 B:(不等式法)因为 x>0, 1 所以 y=x+ ≥2 x 1 x· =2,故值域为[2,+∞). x


对于 C:(单调性法)令 t=sin x∈[-1,1],则 y=et 在[-1,1]上单调递增,所以 e 1≤y≤e,即 y =esin x 的值域为[e 1,e].


对于 D:(观察法)通过观察可知其值域为(0,+∞). 【3-4】 【2016 届河北衡水中学二调】已知函数已知函数 f ? x ? ? 性质,有以下四个推断: ① f ? x ? 的定义域是 ? ??, ??? ; ② f ? x ? 的值域是 ? ? , ? ; 2 2 ③ f ? x ? 是奇函数; ④ f ? x ? 是区间(0,2)内的增函数. 其中推断正确的个数是( ) A.1 【答案】C
2 【解析】因为 x ? 1 ? 1 ,所以函数 f ( x ) 的定义为 R ,故①正确;当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,

x ,关于函数 f ? x ? 的 x ?1
2

? 1 1? ? ?

B.2

C.3

D.4

当 x ? 0 时,| f ( x) |?

| x| 1 1 1 1 ? ? ,所以 ? ? f ( x) ? ,所以 f ( x) 的值域为 2 1 2 2 | x ? 1| | x | ? 2 |x|

?x x 1 1 [? , ] ,故②正确;因为 f (? x) ? ?? 2 ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是奇函数, 2 2 2 (? x) ? 1 x ?1
故③正确; 因为 f ?( x) ?

x 2 ? 1 ? x? (2 x) ? x2 ? 1 = , 所以当 x ? ?1 或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , ( x 2 ? 1)2 ( x 2 ? 1) 2

所以函数 f ( x ) 在 (??, ?1) 与 (1, ??) 上单调递增,当 ?1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数

f ( x) 在 (?1,1) 上单调递减,④错,故选 C.
综合点评: 1. 若已知函数 f ( x) 的定义域为 [ a, b] ,则函数 f [ g ( x)] 的定义域由不等式 a ? g ( x) ? b 求 出; 2.若已知函数 f ( g ( x)) 的定义域为 [ a, b] ,则 f ( x) 的定义域为 g(x)在 x ? [a, b] 时的值域. 3.求解定义域为 R 或值域为 R 的函数问题时,都是依据题意,对问题进行转化,转化为不 等式恒成立问题进行解决,而解决不等式恒成立问题,一是利用判别式法,二是利用分离参 数法,有时还可利用数形结合法. 【基础知识重温】 1.在函数 y ? f ( x) 中与自变量 x 相对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值 域..函数的值域与最值均在定义域上研究 .函数值域的几何意义是对应函数图像上纵坐标的 变化范围. 2.函数的最值与函数的值域是关联的,求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况,但只 确定了函数的最大(小)值,未必能求出函数的值域.在函数概念的三要素中,值域是由定义 域和对应关系所确定的,因此,在研究函数值域时,既要重视对应关系的作用,又要特别注 意定义域对值域的制约作用. 【方法规律技巧】函数值域的求法: 利用函数的单调性:若 f ( x) 是 [a, b] 上的单调增(减)函数,则 f ( a ) , f (b) 分别是 f ( x) 在区间

[a, b] 上取得最小(大)值,最大(小)值.
利用配方法:形如 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 型,用此种方法,注意自变量 x 的范围.
2

利用三角函数的有界性,如 sin x ? [ ?1,1], cos x ? [?1,1] .

利用“分离常数”法:形如 y= 求其值域可用此法.

ax 2 ? bx ? e ax ? b 或y? ( a , c 至少有一个不为零)的函数, cx ? d cx ? d

利用换元法:形如 y ? ax ? b ? cx ? d 型,可用此法求其值域. 利用基本不等式法: 导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域

2.分段函数的函数值时,应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解,有时每段交替 使用求值. 若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围, 应根据每一段的 解析式分别求解,但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 3.由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的 部 分剔除. 【新题变式探究】 【 变 式 一 】 已 知 函 数 f ( x) ? 2x ?1, g ( x) ? 1 ? x2 , 构 造 函 数 F ( x ) 的 定 义 如 下 : 当

| f ( x) |? g ( x) 时, F ( x) ?| f ( x) | ,当 | f ( x) | ? g( x) 时, F ( x) ? ? g ( x) ,则 F ( x) (
A.有最小值 0,无最大值 C.有最大值 1,无最小值 【答案】B B.有最小值-1,无最大值 D.无最大值,也无最小值

)

【解析】作出函数图象可得, F ( x ) 的图象为图中 x 轴上方 A 点左侧(含 A 点) , B 点右侧 (含 B 点)部
3 2

y

A
–3 –2 –1

1

B O
1 2

x

–1 –2 –3

分, x 轴下方的红色虚线部分,由图可知, F ? x ? 无最大值,最小值为 ?1,选 B. 【变式二】方程 2a ? 9 A. a ? 0 或 a ? ?8 【答案】D
sin x ? 4a ? 3sin x ? a ? 8 ? 0 有 解 , 即 2(3sin x ? 1) 2 ? 【 解 析 】 方 程 2a ? 9 sin x

? 4a ? 3sin x ? a ? 8 ? 0 有解,则 a 的取值范围(
B. a ? 0 C. 0 ? a ?



8 31

D.

8 72 ?a? 31 23 8 ?1 , 因 为 a

?1 ? sin x ? 1 ,
所以

1 32 32 8 8 72 ? 3sin x ? 3 , ? 2(3sin x ? 1) 2 ? 32 ,即 ? ? 1 ? 32 ,解得 ? a ? . 3 9 9 a 31 23

三、易错试题常警惕

例 1.已知函数 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求函数 f ( x) 的解析式.
2 【错解】令 x ? 1 ? t ,则 x ? (t ?1) , f (t ) ? (t ?1)2 ? 2(t ?1) ? t 2 ? 1 ,所以函数 f ( x) 的

解析式为 f ( x) ? x ? 1 .
2

【错解分析】错解中错在忽视了 t 得取值范围.
2 【正解】令 x ? 1 ? t ,则 x ? t ? 1 , x ? (t ? 1) ? 0 ,所以 t ? 1,

所以 f (t ) ? (t ?1)2 ? 2(t ?1) ? t 2 ?1(t ? 1) , 所以所求函数的解析式为 f ( x) ? x ? 1( x ? 1) .
2

温馨提示:用换元法时,一定要弄清新元的取值范围. 例 2.设函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? bx ? c( x ? 0) ?2( x ? 0)


,若 f (?2) ? f(0) , f (?1) ? ?3 ,则关于 x 的方程

f ( x) ? x 的根的个数为(
A. 1 B. 2

C. 3

D. 4

2 【错解分析】当 x ? 0 时,由 f ( x) ? x 得, x ? 2 x ? 2 ? x ,解得 x ? ?2 或 x ? 1 . x ? 1 不

符合题意,应舍去. 分段函数应分段求解,但一定要注意各段的限制条件. 【正解】○ 1 当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? bx ? c ,因为 f (?2) ? f (0) , f (?1) ? ?3 ,
2

?(?2)2 ? b(?2) ? c ? c ? x 2 ? 2 x ? 2( x ? 0) ?b ? 2 ? 所以 ? ,解得 ? ,所以 f ( x) ? ? , 2 ? c ? ?2 ? ?2( x ? 0) ?(?1) ? b ? c ? ?3

2 当 x ? 0 时,由 f ( x) ? x 得, x ? 2 x ? 2 ? x ,解得 x ? ?2 或 x ? 1 (舍去).

2 当 x ? 0 时,由 f ( x) ? x 得, x ? 2 . ○ 综上所述,方程 f ( x) ? x 的根有 2 个,故选 B. 温馨提示:求解分段函数函数问题,应分段求解,但一定要注意各段的限制条件. 四、学科素养提升之解题技巧篇 分段函数的值域问题 分段函数是一个函数, 各段自变量范围的并集是分段函数的定义域; 各段函数值取值范围的 并集是分段函数的值域。 所以解决分段函数的值域问题关注点还应该是组成分段函数的各段 函数值的取值范围,根据已知条件寻求解题手段.
? ?-x+6,x≤2, 【典例】 【2015· 福建卷】若函数 f(x)=? (a>0 且 a≠1)的值域是[4,+∞),则 ?3+logax,x>2 ?

实数 a 的取值范围是____________. 【答案】 ?1, 2?

【评析】由已知条件当当 x ? 2 时, y=-x+6 ? 4 ,故只需当 x ? 2 时, y ? 3 ? loga x 的 范围是[4,+∞)的子集即可,本题转化途径简洁新颖,希望同学们认真体会.


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