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数学必修四第三章三角恒等变换单元检测题及答案


第三章
一、选择题. 1. sin 7° cos 37°- sin 83° sin 37° 的值为( A. ?
3 2

三角恒等变换
).
1 2

B. ?

1 2

C.

D.

3 2

2. sin 15°sin 30°sin 75° 的值等于( A.
3 4
? ? π? 4?

). C.
1 8

B.
? ?

3 8

D. ).

1 4

3. 函数 y = sin? x ? ? sin? x ? ? 的周期为( A.
π 4

π? 4?

B.

π 2

C. π ).

D. 2π

4. 函数 y = 2sin x(sin x + cos x)的最大值是( A. 1 ? 2
α α ? cot 2 2

B. 2 ? 1

C. 2 ).

D. 2

5. 化简 1 ? cos 2α ,其结果是(
tan

A. ? 1 sin 2α
2 2

B. 1 sin 2α
2

C. - 2sin α
3

D. 2sin 2α ). D. 1
6

6. 若 sin(α + β)= 1 ,sin(α - β)= 1 ,则 tan α 为(
tan β

A. 5
π ?4 ?

B. - 1

C. 6

? ? 7. 设 tan θ 和 tan ? ? θ ? 是方程 x2 + px + q = 0 的两个根,则 p,q 之间的关系是(

).

A. p + q + 1 = 0 C. p + q - 1 = 0

B. p - q + 1 = 0 D. p - q - 1 = 0

8. 若不等式 4≤3sin2 x - cos2 x + 4cos x + a2≤20 对一切实数 x 都成立,则 a 的取值范围是 ( ). A. -5≤a≤-3,或 3≤a≤5 C. -3≤a≤3 9. 若 α∈ ? ? π,
?

B. -4≤a≤4 D. -4≤a≤-3,或 3≤a≤4

3π ? ,则 1 ? sin α ? 1 ? sin α 等于( 2? 1 ? sin α ? 1 ? sin α ?

). D. cos
α 2

A. tan

α 2

B. sin

α 2

C. cot

α 2

二、填空题. 1.
3 ? tan15? = ___________. 1 ? 3 tan15?
精炼检测 1

2. y = 3sin(x + 20° ) + 5sin(x + 80° )的最大值为___________,最小值为__________. 3. 若 tan(α + β)= 7,tan α tan β = ,则? cos(α - β)= ___________.
? 4. 若 θ 为第二象限角,且 sin ? ? θ ?2
1 2

2 3

3π ? 1 1 ? sin θ = __________. ? > ,则 θ θ 2 ? 2 cos ? sin 2 2
1 5 1 8

5. 若 α,β,γ 都是锐角,tan α= ,tan β= ,tan γ?= ,则 α + β + γ = __________. 6. 若 A + B + C =(2n - 1)π,n∈Z,且 A,B,C 均不为 0,则 tan tan = __________. 三、解答题. 1. 已知 α,β 为锐角,cos α = ,tan(α - β)= - ,求 cos β 的值.
4 5

A 2

B B C C A ? tan tan ? tan tan 2 2 2 2 2

1 3

2. 已知 α,β 均为锐角,且 sin α - sin β =- ,cos α + cos β = sin(α - β)的值.

1 2

7 ,求 cos(α + β), 2

?π ? ?π ? 3. 已知 tan A 与 tan ? ? A ? 是 x2 + px + q = 0 的两个解,3tan A = 2tan ? ? A ? ,求 p 和 q 的值. ?4 ? ?4 ?

4. 证明:cos8 α - sin8 α - cos 2α = - sin 4α sin 2α.

1 4

精炼检测 2

参考答案 一、选择题.
1. B【解析】sin 7° cos 37°- sin 83° sin 37° = cos 83° cos 37°- sin 83° sin 37° = cos(83°+ 37° )= cos 120° =- . 2. C【解析】sin 15°sin 30°sin 75° = cos 75° sin 75° sin 30°
1 1 = sin 150° sin 30° = . 2 8 1 2

? ?π ? ?tan? ? tan? ? ? ? ? ? p ? ?4 ? 【解析】 ? π ? ?tan? tan? ? ?? ? ? q ? ?4 ? ?
?π ? 1 ? tan θ tan? ? θ ? ? . 4 ? ? 1 ? tan θ

∴ p ? ?? ?
q?

2 1 ? tan θ ? ? 1 ? tan θ ? tan θ ? ? , 1 ? tan θ ? 1 ? tan θ ?

tan θ ? tan 2 θ 1 ? tan θ

.∴ q - p = 1,

∴ p - q + 1 = 0. 8. D 【解析】 设 f(x) = 3sin2x - cos2x + 4cosx + a2, 4≤3 - 4cos2 x + 4cos x + a2≤20, 4≤- 4cos2 x + 4cos x + a2 + 3≤20. ∴ 当 cos x = 时, f(x)max = ? 4 ? ? 4 ? + a2 + 3≤20 ? -4≤a≤4; 当 cos x = - 1 时, f(x)min = - 4 - 4 + a2 + 3≥4 ? a≥3,或 a≤-3. ∴ -4≤a≤-3,或 3≤a≤4. 9. C 【解析】 1 ? sin α ? 1 ? sin α
sin2

3. C【解析】y =
?? 2 ? π? ? π? ? 2 2 2 ? sin? x ? ?sin? x ? ? ? ? sin x ? cos x ? ? sin x ? cos x ? ?? 2 ? 4? ? 4? ? 2 2 2 ? ? ?? ?

= sin2 x- cos2 x= - cos 2x.

1 2

1 2

1 2

∴ T=

2π ?π. 2

4. A 【解析】y = 2sin x(sin x + cos x) = 2sin2 x + 2sin xcos x = 1 - cos 2x + sin 2x
π? ? = 1 + 2 sin? 2 x ? ? . 4? ?

1 2

1 4

1 2

∴ ymax = 1 + 2 . 5. A【解析】
1 ? cos 2α 2 cos 2 α cos 2 α sin α 1 ? ?? ? ? sin 2α α α α α cos α 2 tan ? cot sin cos 2 2 2 ? 2 α α cos sin 2 2

1 ? sin α ? 1 ? sin α

?

6. A【解析】sin αcos β + cos αsin β = , sin αcos β - cos αsin β = . ∴ 2sin αcos β = , 2cos αsin β = .∴ 7. B
1 6 5 6

1 2

α α α α α α α α ? cos2 ? 2 sin cos ? sin2 ? cos2 ? 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 α α α α 2 α 2 α 2 α 2 α sin ? cos ? 2 sin cos ? sin ? cos ? 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2

1 3

α α α α ? cos ? sin ? cos 2 2 2 2 . ? α α α α sin ? cos ? sin ? cos 2 2 2 2 sin

∵ α ∈ ?π,
tan? = 5. tan ?

? ?

3π ? α ? π 3π ? ,∴ ∈? , ? . ? 2? 2 ?2 4 ?

α α α α ? cos ? sin ? cos 2 2 2 2 ? cot α . ∴ 原式 = α α α α 2 sin ? cos ? sin ? cos 2 2 2 2 sin

精炼检测 3

二、填空题. 1. 1. 【解析】
3 ? tan15? tan 60? ? tan15? ? = 1 ? 3 tan15? 1 ? tan 60? tan15?

4. 1. 【解析】∵ 2k π + <θ<2k π + π ,
π π θ θ 2 2 4 2 θ 1 θ 1 ? θ 3π ? ∵ sin ? ? ? = - cos > ,∴ cos <- . 2 2 2 2 ?2 2 ?

π 2

∴ k π + < <k π + .∴ 在第一、三象限.

tan(60?- 15?)= tan 45?= 1. 2. 7;-7. 【解析】y = 3sin(x + 20° )+ 5sin(x + 80° ) = 3sin(x + 50° - 30° )+ 5sin(x + 50°+ 30° ) = 3sin(x + 50° )cos 30°- 3cos(x + 50° )sin 30°+ 5sin(x + 50° ) cos 30°+ 5cos(x + 50° )sin 30° = 4 3 sin(x + 50° )+ cos(x + 50° ) = 7sin(x + 50°+ ?)(? 为常数) . ∴ 3. ? ymax = 7,ymin = - 7.
2 . 2

∴ 2k π +

5π θ 在第三象限,且 2 k π + <θ< 2 4

3π ,k∈Z. 2 θ 2 θ 2

∴ cos >sin .所以
θ θ ? cos 1 ? sin θ 2 2 ? θ θ θ θ cos ? sin cos ? sin 2 2 2 2 sin θ θ? ? ? ? sin ? cos ? 2 2? = ? = 1. θ θ cos ? sin 2 2

5. 45?.
7 tan α ? tan β 10 7 【解析】tan(α + β)= ? ? , 9 9 1 ? tan α tan β 10

且 α,β 为锐角, ∴α + β 为锐角,又 γ 为锐角, 且 tan(α + β +
7 1 ? tan(α ? β )? tan γ γ)= ? 9 8 = 1. 7 1 1 ? tan(α ? β )tan γ 1? ? 9 8

【解析】∵ tan(α + β)= 7, ∴ 根据同角三角函数关系,得 cos(α + β)= ?
1 5 2


1 5 2

∴ cos αcos β- sin αsin β = ? ∵ tan αtan β = ,
2 3



∴ α + β + γ = 45?. 6. 1. 【解析】原式 = tan
3 5 2

∴ 3sin αsin β = 2cos αcos β..
cos αcos β = ∴ sin αsin ? = 2 5 2

A C? B ? ? tan ? tan ? + 2 2? 2 ?

3 5 2


cos α cos β = -

tan

C A tan 2 2

= tan
B ?A C? tan ? ? ? 2 ?2 2?

sin αsin ? = -

2 5 2

A C? ? C A ?1 - tan tan ? + tan tan 2 2 2 2? ?

=
2 ? ? ∴ cos(α - β)= , 或 cos(α 2 5 2 5 2 3 2

tan

A C? B B ? C A cot ?1 - tan tan ? + tan tan 2 2 ? 2 2 2 2?

β)= ?

3 5 2

?

2 5 2

??

2 . 2

= 1.
精炼检测 4

三、解答题. 1. 【解】∵ cos α = 4 , 5 ∴ sin α = 3 . 5 ∵ α,β 为锐角, ∴ π π <α - β< . 2 2
3

∴ tan A = 1 ,或 tan A = - 2.
3
? ? 当 tan A = 1 时,tan ? ? A ? = ,

3

π ?4

?

1 2

5 ?1 1? p = -? ? ? = - ,
?2 3?

6

q=1 ×1=1 .
2

3

6

∵ tan(α - β)= ? 1 , ∴ cos(α - β)= 3 10 ,sin(α - β)= ? 10
10

? ? 当 tan A = - 2 时,tan ? ? A ? = -3, π ?4 ?

p = -(-2 - 3) = 5,
10

q = (-2)×(-3) = 6. 4. 【证明】cos8 α - sin8 α - cos 2α = (cos4 α + sin4 α)(cos2 α + sin2 α)(cos2 α - sin2

cos β = cos [α -(α - β)]= cos α cos(α - β)+ sin αsin(α - β)= 9 10 .
50
si? n ?s i n ? ?? 1 2 7 2 ① ②

α)- cos 2α = (cos4 α + sin4 α)cos 2α - cos 2α =(cos4 α + sin4 α - 1)cos 2α = [cos4 α +(sin2 α - 1)(sin2 α + 1)] cos 2α = [cos4 α - cos2 α(sin2 α + 1)]cos 2α = - 2cos2 αsin2 αcos 2α = - sin 4αsin 2α.
1 4

2. 【解】
c o? s ?co? s ?

①2 + ②2,得 sin2 α - 2sin α sin β + sin2 β + cos2 α + 2cos α cos β + cos2 β = 2. ∴ cos(α + β)= 0. 又 α,β 均为锐角, ∴ α+β=
π , 2 1 2

∴ sin α – sin β = sin α- cos α= - . sin2α + cos2α - 2 sin α cos α = 1- 2 sin α cos α =
1 . 4

又 sin2α + cos2α = 1, 且 sin α<cos α, α, β 均 为锐角, ∴ sin α =
7 ?1 . 4 ? π 2 ?

? ? ∴ sin(α - β)= sin ? α ? ? α ? = - cos 2α = 2

sin2α -1 = ?

7 . 4 π ?4 ? 1 ? tan A

? ? 3. 【解】∵ tan ? ? A ? = 1 ? tan A ,

∴ 3tan A = 2 ? 2 tan A ,
1 ? tan A

精炼检测 5


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