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任意角的三角函数的定义教案





5.3.1 任意角的三角函数的定义 授课教师——王定洲
教学目标: 1.掌握任意角的三角函数的定义; 2.任意角的三角函数和锐角的三角函数的联系和区别; 3.理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关; 4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域; 5.已知角α 终边上一点,会求角α 的各三角函数值。 教学重点: 1.掌握并理解任意角的三角函数的定义; 2.会运用任意角的三角函数的定义求函数值。 教学难点:理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关; 教学方法: 1.情境教学法; 2.问题驱动教学法及小组讨论法。 教学用具:教学课件.多媒体、实物投影仪、教案、三角板等 教学过程: 一、复习引入 (情境 1)前面我们学习了角的概念的推广,通过推广,使角动了起来,同 时把角的范围也突破了 0 度和 360 度的界限,角可为任意大小。这节课我们要研 究的问题是任意角的三角函数。 初中阶段我们学习了锐角的三角函数。 角?的对边 【 问 题 1 】 在 Rt △ ABC 中 , sin ? ? = 、
斜边
cos? ?

角?的邻边 = 斜边
B c a b C B

、 tan? ?

角?的对边 = 角?的邻边



?
A

【问题 2】如图,在 Rt△ABC 中,求 sin ? ,cos ? ,tan ? 。 (学生口答) sin ? =
3 5 3 4

cos ? =

4 5

α
4

3
tan ? =

二、动脑思考,探索新知 (情境 2) 我们已经把锐角推广到任意角,锐角三角函数的概念也能推广到 任意角。那么我们应如何来给任意角的三角函数下定义呢? 如何将上述的三角形放入直角坐标系中?(观察下图)
y P(x,y) (B) r y

x ( C ) M c o 将 Rt△ABC 放在直角坐标系中, 使得点 A 与__________ 重合, AC 边在_______ s O (A) x

?

? 上.设点 P(即顶点)的坐标为(x,y),r 为角终边上的点 P 到_______的距离,
=

则 r=________.于是,上面的三角函数的定义可以写作: 横坐标
sin ? ?

、 cos? ?

、 tan? ?

P到原点的距离 .

?

x r



y

概念

( 2 ) 上的任意一点(不与原点重合) ,点 P 到原点的距

设 ? 是任意大小的角,点 P( x, y ) 为角 ? 的终边

P(x,y) r M O

?

x

离为 r=
sin ? ? y ; r

,那么角 ? 的正弦、余弦、正切分别定义为 a
cos ? ? x ; r tan ? ? y) . x

(

提问:1、当角大小发生变化时,比值会改变吗? 2、比值会随着点 P 在终边上的位置改变而改变吗? 说明 一般地,在比值存在的情况下,对角 ? 的每一个确定的值,按照相应的对应 关系,角 ? 的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应,它们都是以角 分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数,统称为三角函数. ? 为自变量的函数,

由定义可以看出:当角 ? 的终边在 y 轴上时, ? ? ? kπ (k ? Z) ,终边上任意 一点的横坐标 x 的值都等于 0,此时 tan ? ? 定的角 ? ,三个函数都有意义.
y 无意义.除此以外,对于每一个确 x

π 2

三角函数的定义域: 正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示: 三角函数
sin ?

定义域 R R { ? ︱ ? ? kπ ? , k ? Z }
π 2

cos?
tan ?

三、例题分析 例 1 已知角 ? 的终边经过点 P(2, ?3) ,求角 ? 的正弦、余弦、正切值. 分析 已知角 ? 终边上一点 P 的坐标,求角 ? 的某个三角函数值时,首先要根据 关系式 r ? x 2 ? y 2 ,求出点 P 到坐标原点的距离 r ,然后根据三角函数定义进行 计算. 解 因为 x ? 2 , y ? ?3 ,所以 r ? 22 ? (?3)2 ? 13 ,因此
sin ? ? y ?3 3 3 x 2 2 13 ? ?? ? , cos ? ? ? , r 13 r 13 13 13

tan ? ? ? 2

y 3 ?? . x 2

例 2 求角 的正弦、余弦和正切值; 解:由三角函数定义得:
sin ? ? y =1 r cos ? ?

当? = 时

? 2

x y =0; tan ? ? 不存在. r x

四、运用知识 强化练习 1.已知角 ? 的终边上的点 P 的坐标如下, 分别求出角 ? 的正弦、 余弦、 正切值: ⑴ P ? 3, ?4? ; ⑵ P ? ?1, 2? ;

2.求下列各角的正弦、余弦和正切值; (1) ? 五、课堂小结: 通过本课学习,你有哪些收获? (2)
3? 2

1. 任意角的三角函数的定义; 2. 知道角的弧度制,并会求该角的三角函数; 3. 任意角的三角函数值与终边上点的位置无关,只与角的大小和终边的位置有 关; 4. 正弦函数,余弦函数,正切函数的定义域。 【结束语】 用任意角的三角函数的定义可以研究三角函数的许多知识,比如三 角函数在各象限内的符号下节课我们将继续学习三角函数在各象限内的符号! 六、课后作业 1.完成下表

三角函数

0

? 2

?

3? 2

2?

sin ?

cos?

tan?

2.完成书上 P147.练习 5.3.1、


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