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空间几何体经典讲义


基础回顾
一、空间几何体

1.多面体的结构特征
(1)棱柱:有两个面(底面)互相平行,侧棱都互相平行。 (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台可由平行于底面的平面去截棱锥得到,其上下底面是相似多边形.

2.旋转体的结构特征
(1)圆柱可以绕矩形一边所在直线旋转一周得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到. (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到,也可 由平行于底面的平面去截圆锥得到. (4)球可以以半圆直径所在直线为轴旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到.

3.空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用平行投影得到,这种投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与平面图形的形 状和大小是全等和相等的,三视图包括正视图、侧视图、俯视图.

4.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,基本步骤是: (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时,把它们画成对应的 x′轴、y′轴,两 轴相交于点 O′,且使∠x′O′y′=45°或 135°,已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段,在直观图中平行于 x′ 轴、y′轴.已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中长度不变,平行于 y 轴的线段,长度变为原来的一半. (2)画几何体的高 在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面,在直观图中对应的 z′轴,也垂直于 x′O′y′平面,已知图形 中平行于 z 轴的线段,在直观图中仍平行于 z′轴且长度不变.

三视图的注意点:
三视图的长度特征:“长对正,宽相等,高平齐”,即正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧视 图和俯视图一样宽. 若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、 虚线的画法.

两个概念的正确理解:
(1)正棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱的底面 是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形. (2)正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱均 相等的正三棱锥叫正四面体.反过来,正棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.

二、空间几何体的表面积与体积 1.柱、锥、台和球的侧面积和体积 表面积 圆柱 体积

圆锥

圆台

S 侧=π (r1+r2)l

直棱柱

正棱锥

S 侧= Ch′
1 2

1 2

正棱台 球

S 侧= (C+C′)h′

2.几何体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等于侧面积与底面面积之和.

方法突破
知识点 1:空间几何体的结构特征 1.以下命题: ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为( A.0 B.1 ). C.2 D.3

知识点 2:空间几何体的三视图

2.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为(

).

注意: (1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影,并不是从三个方向看到的该 几何体的侧面表示的图形. (2)在画三视图时,重叠的线只画一条,能看见的轮廓线和棱用实线表示,挡住的线要画成虚线.

知识点 3:空间几何体的直观图 3.已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ABC 的平面直观图△A'B'C'的面积为( A. 注意: 直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积是其直观图面积 的 2 2倍,这是一个较常用的重要结论. 知识点 4:几何体的表面积 4.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A.48 B.32+8 17 C.48+8 17 D.80 ). 3 2 a 4 B. 3 2 a 8 C. 6 2 a 8 D. 6 2 a 16 ).

注意: 以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析,从三视图中发 现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.

知识点 5:几何体的体积 5.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( A. 12? B. 45? C. 57? D. 81? )

注意: 以三视图为载体考查几何体的体积,解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成,并从三视 图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系,然后在直观图中求解.

知识点 6:空间与平面的转化 6.已知在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1= 2,P 是 BC1 上一动点,如图所示,则 CP+PA1 的最小值为________.

注意: 研究几何体表面上两点的最短距离问题,常选择恰当的母线或棱展开,转化为平面上两点间的最短 距离问题.

★综合题训练 7.已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高为 4 的等 腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.

(1)求该几何体的体积 V;(2)求该几何体的侧面积 S.

8.如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm).

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (2)求这个几何体的表面积及体积.

9.如图,多面体 ABFEDC 的直观图及三视图如图所示,M,N 分别为 AF,BC 的中点.

(1)求证:MN∥平面 CDEF;(2)求多面体 A—CDEF 的体积.


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