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3.1.4-3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示


3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 3.1.5空间向量运算的坐标表示
学习目标

1、理解空间向量基本定理
2、理解空间向量的单位正交分解及坐标表示

3、会用坐标表示向量的运算,并会求解距离和夹角
4、会用坐标运算来证明平行和垂直

?? ?? ? 如果e1,2是同一平面内的两个不共线向量, e ? 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有 ? ? ?? ? 一对实数?1,?2,使a=?1 e1+?2 e 2。 ?? ?? ? (e1、2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。) e

复习回顾:平面向量基本定理

平面向量的正交分解及坐标表示

? ? ? i ? (1,0), j ? (0,1),0 ? (0,0).

? ? ? a ? xi ? y j ? ( x, y )

y

? a
x

? i

? o j

新知探究:空间向量基本定理
一、空间向量基本定理:

? ?? 如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向 ?? 量 p ,存在一个唯一的有序实数组{x, y, z} ,使

? ? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc.

任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

? ? ? a, b, c 都叫做基向量

新知探究:空间向量基本定理
? ?? ? ?? 注:对于基底{ a, b, c },除了应知道 a, b, c 不共面,
还应明确: (1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

? (2)由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任 ? 隐含着它们都不是 0 。

意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就
(3)一个基底是指一个向量组, 一个基向量是指基底中的某一个向量,

二者是相关连的不同概念。

新知探究:空间向量的正交分解
二、空间向量的正交分解 ?? ? 特殊的: i, j, k两两垂直时 ? ? ??? ???? ? ???? ? OP ? OQ ? zk. OQ ? xi ? y j.
z

??? ??? ? ? ? ? ? ? OP ? OQ ? zk ? xi ? y j ? zk. ? ? ? 由此可知,如果 i, j , k是空
间两两垂直的向量,那么,对 ? ? 空间任一向量 p,存在一个有 序实数组{x,y,z}使得
x

? k ? ? j O i

?? p

P

y Q

? ? ? ? ? ? ? ? 我们称 xi, y j, zk 为向量 p 在 i, j , k 上的分向量。

? ? ? ? ? p ? xi ? y j ? zk

新知探究:空间向量的正交分解
三、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标 单位正交基底:如果空间的一个基底的三个基向量互 相垂直,且长都为1,则这个基底叫做单位正交基底, ? ? ?? ?? ? ? 常用 e1, e2 , e3 表示 z ??

? ?? ?? ? ? e1, e2 , e3 为坐标向量,由空间向量基本
定理,存在唯一的有序实数组(x,y, z)使

给定一个空间坐标系和向量

p ,且设

A(x,y,z) e3 e1 O e2 y

?? 有序数组( x, y, z)叫做 p 在空间直角坐标
系O-xyz中的坐标,记作.P=(x,y,z)

? ? ? ? ?? ?? ? p ? xe1 ? ye2 ? ze3

x 其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.

例1 已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC, M,N,分别是对边OA,BC的中点,点P,Q是 线段MN三等分点,用基向量OA,OB,OC表 示向量OP,OQ. O
M A Q P N B C

例2

1、在空间坐标系o-xyz中, ? e1 ? 2e2 ? 3e2 ( e1、、 分 AB e2 e3 别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 AB 的坐标为 。

2、点M(2,-3,-4)在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正

投影的坐标分别为


,关于原点的对称点


,关于轴的对称点为

新课探究:空间向量运算的坐标表示 一、向量运算的坐标表示 ? ? 设 a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ) ? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ? a? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ? a? ? (? a1 , ? a2 , ? a3 )(? ? R) ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? a // b ? a1 ? ? b1 , a2 ? ? b2 , a3 ? ? b3 (? ? R) ?? ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0.(a, b都不是零向量)

新课探究:空间向量运算的坐标表示
二、向量的模和两点间距离的坐标表示 (1)向量的长度(模)公式

? ? 已知 a ? ( x, y, z ) ,则 a ? x 2 ? y 2 ? z 2


(2)空间中两点间的距离 若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),

AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)

| AB |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
2 2

2

新课探究:空间向量运算的坐标表示
三、向量的夹角的坐标表示
? ? 已知 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ? ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 a?b 则 cos a , b ? ? ? ? a?b x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2

注意:

? ? ? ? (1)当 cos ? a , b ?? 1 时, 与 b 同向; a

? ? ? a (2)当 cos ? a , b ?? ?1 时, 与

? b 反向; ? ? ? ? (3)当cos ? a , b ?? 0 时,a ? b 。

新课探究:空间向量运算的坐标表示
四、中点坐标公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 , , ) 则线段 AB 的中点坐标为 ( 2 2 2

例1

如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 B1 E1 ? 中, 与 DF1 所成的角的余弦值.
解:设正方体的棱长为1,如图建

A1 B1 ? D1 F1 ? ,求 BE1 4

z

D1 A1

F1 E1 B1

C1

立空间直角坐标系 O ? xyz ,则

? 1 ? D(0 , 0 , 0) , F1 ? 0 , ,1 ? . ? 4 ? D y ???? ? 3 ? C ? O 1 ? ? BE1 ? ? 1 , , 1 ? ? (1 , 1 , 0) ? ? 0 , ? , 1 ? , 4 ? ? 4 ? ? A B ? ? ???? 15 x ? ? 1 ? ? 1? 1 ? 1 ? ???? ???? DF1 ?? 0 , ,1 ?? (0 , 0 , 0)? ? 0 , ,1 ? . BE1 ?DF1 ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? , 16 ? 4? 4 ? 4 ? ? 4 ? 15 ???? ???? ? ? ???? ???? ? ? ???? 17 ???? 17 ? ? BE ?DF1 15 16 ???? 1 ???? ? ? ? ? . | BE1 |? , | DF1 |? . ? cos ? BE1 , DF1 ?? | BE1 | ? | DF1 | 17 17 17 4 4 ? 4 4

? 3 ? B(1 , 1 , 0) , E1 ? 1 , , 1 ? , ? 4 ?

例 2 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E ,F 分别是 BB1 ,D1 B1 中点,求证: EF ? DA1
证明:如图,不妨设正方体的棱长为 1, ??? ? ???? ???? ? 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz , 1 1 1 E (1 , 1 , ) , F ( , , 1) 则 2 2 2 ???? 1 1 1 所以 EF ? ( ? , ? , ) , 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) , D(0 , 0 , 0) , ???? ? 所以 DA1 ? (1, 0 , 1) ???? ???? ? 1 1 1 所以 EF ? DA1 ? ( ? , ? , ) ? (1 , 0 , 1) ? 0 , 2 2 2 ??? ???? ? ? 因此 EF ? DA1 ,即 EF ? DA1

小结:
1、空间向量的坐标运算; 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关 系的关键:
首先要选定单位正交基,进而确定各向量 的坐标,再利用向量的坐标运算确定几何关系。


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