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数系的扩充和复数的概念教案


《§3.1.1 数系的扩充和复数的概念》教案

§3.1.1 数系的扩充和复数的概念 教案
李 志 文

【教学目标】 教学目标】 目标
知识与技能:1.了解数系的扩充过程;2.理解复数的基本概念 知识与技能 过程与方法:1.通过回顾数系扩充的历史,让学生体会数系扩充的一般性方法. 过程与方法 2.类比前几次数系的扩充,让学生了解数系扩充后,实数运算律均可应用于 新数系中,在此基础上,理解复数的基本概念. 情感态度与价值观: 情感态度与价值观 1、虚数单位的引入,产生复数集,让学生体会在这个过程中蕴含的创 新精神和实践能力, 感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化,分与合,实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。

【重点难点】 重点难点】
重点: 重点: 理解虚数单位 i 的引进的必要性及复数的有关概念. 难点: 难点:复数的有关概念及应用.

【学法指导】 学法指导】
1、回顾以前学习数的范围扩充过程,体会数系扩充的必要性及现实意义; 2、思考数系扩充后需考虑的因素,譬如运算法则、运算律、符号表示等问题,为本节学习 奠定方法基础.

【知识链接】 知识链接】
前两个学段学习的数系的扩充:

人们在狩猎、采集果实等劳动中,由于计数的需要,就 产生了 1,2,3,4 等数以及表示“没有”的数 0.自然数 的全体构成自然数集 N
新疆 王新敞
奎屯

R

Q

Z

N N

为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要, 人们又引进了负整,将数系扩充至整数集 Z. 为了解决测量、 分配中遇到的将某些量进行等分的问题, 人们引进了分数,将数系扩充至有理数集 Q. 用方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有 理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起,构成实数集 R.

x2=-1,x=?
但是,数集扩到实数集 R 以后,像 x2=-1 这样的方程还是无解的,因为在实数范围内, 没有一个实数的平方等于负数.联系从自然数到实数系的扩充过程,你能设想一种方法,使 这个方程有解吗?
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【问题探究】 问题探究】
探究一、 探究一、复数的引入 引导 1:由于解方程的需要,人们引入了一个新数 i ,并规定: (1) i = ? 1 ;
2

(2)实数可以与 i 进行加法和乘法运算: 实数 a 与数 i 相加记为: a + i ; 实数 b 与数 i 相乘记为: bi ; 实数 a 与实数 b 和 i 相乘的结果相加记为: a + bi ; (3)实数与 i 进行加法和乘法时,原有的加法、乘法运算律仍然成立。 引导 2:复数的有关概念: (1)我们把形如 a + bi (a, b ∈ R ) 的数叫做复数,其中 i 叫做 虚数单位 , 全体复数所组成的集合叫做复数集,常用大写字母 C 表示。 .. (2)复数的代数形式: 复数通常用小写字母 z 表示,即 z = a + bi (a, b ∈ R ) ,这一表示形 式叫做复数的代数形式,其中 a 叫做复数 z 的实部, b 叫做复数 z 的虚部。 点拨: 点拨:当我们遇到使用原有知识解决不了的问题时,可以适当地引入一些新的规定,譬 如这里我们引入的数 i 及引入数 i 后实数与 i 进行加法和乘法时的运算律,但是切记引入 的规定要合理,要有一定的依据基础. 例 1 请说出复数 2 + 3i,? 5 ,? i 的实部和虚部。 引导: 引导:考虑复数的有关概念.对于复数 z = a + bi ( a, b ∈ R ) , a 叫实部, b 叫虚部. 解: 2 + 3i的实部是 2,虚部是 3;

1 3

? 5的实部是 ? 5 , 虚部是 0; 1 1 ? i的实部是 0,虚部是 ? ; 3 3
变式再练: 变式再练:请说出复数 ? 4i + 8,6,0,

1 + 3i , i ( 2 ? 1) 的实部和虚部。 2

解:) ? 4i + 8的实部是8,虚部是 ? 4;(2)的实部是0,虚部是0; (1 0 1 + 3i 1 3 (3)的实部是6,虚部是0;(4) 6 的实部是 ,虚部是 ; 2 2 2 (5)i ( 2 ? 1)的实部是0,虚部是 2 ? 1.

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探究二 复数与实数、虚数、 的关系 探究二、复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系 对于复数 z = a + bi ( a, b ∈ R ) : 当且仅当 b = 0 时,复数 z 表示 实数 当 b ≠ 0 时,复数 z 叫做 虚数

当 a = 0, b ≠ 0 时,复数 z 叫做 纯虚数 你能用图表的形式将复数、实数、纯虚数的关系形象的表示出来吗?

( 虚数集 ) 复数集 (纯虚数集) 纯虚数集) ( 实数集 )

例 2 指出下列各数中,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数?

2 2 + 7 , 0.618 , i ,0, i , i 2 , 5i + 8 , 3 ? 9 2i 7 2 实数: 2 + 7 ,0.618,0, i 2 虚数: 7 i, i,5i + 8,3 ? 9 2i 2 i, i 纯虚数: 7
例 3 实数 m 分别取什么值时,复数 z = m + 1 + (m ? 1)i 是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数? 引导:因为 m ∈ R ,所以 m + 1 ,m ? 1 都是实数,由复数 z = a + bi ( a, b ∈ R ) 是实数、虚数、 引导: 纯虚数的条件可以确定实数 m 的值. 解: (1)z为实数,则 m-1=0 即 m=1 (2)z为虚数,则 m ? 1 ≠ 0 即 m ≠ 1 (3)z为纯虚数,则 m + 1 = 0且 m ? 1 ≠ 变式再练 1:当 : (1)实数

0,即 m = ? 1

取何实数时,复数 z = m 2 ? 1 + (m ? 1)i 是: (3)纯虚数 (4)零 (2)z 为虚数,则 m ? 1 ≠ 0即m ≠ 1

(2) 虚数

解: (1)z 为实数,则 m ? 1 = 0即m = 1 (3)z 为纯虚数,则 ?

?m 2 ? 1 = 0 ?m = ±1 ?? ? m = ?1 ?m ≠ 1 ?m ? 1 ≠ 0

(4)z 为 0 则 ?

? m 2 ? 1 = 0 ? m = ±1 ?? ? m =1 ?m = 1 ?m ? 1 = 0
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变式再练 2:若复数 m ? 5m + 6 + m ? 3m i 为纯虚数,试求实数 m 的值.
2 2

(

) (

)

提示: 提示:由复数 z = a + bi ( a, b ∈ R ) 是纯虚数的条件可以确定实数 m 的值.

?m 2 ? 5m + 6 = 0 ?m = 2或m = 3 ? 由题意: ?? ?m=2 解:由题意: ? 2 ?m ? 3m ≠ 0 ?m ≠ 0且m ≠ 3 ?

探究三 复数集与其它数集之间的关系: 探究三、复数集与其它数集之间的关系:

N

?

Z? Q

?

R

?

C.

R C

Q

Z

N N

【总结提升】 总结提升】
1.复数的引入,体现了数系扩充的必要性及现实意义;给出的相关规定体现了数系扩充 后运算的封闭性,同时体现了规定的合理性; 2.复数的有关概念是学习复数的基础, 学习时需根据复数是由其实部和虚部共同决定的这 一特征理解记忆.

【总结反思】 总结反思】
知识 重点 能力与思想方法 . . . ) D.较差

【自我评价】你完成本学案的情况为( 自我评价】
A.很好 B.较好 C.一般

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