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等比数列复习讲义(原创)


等比数列复习讲义
【知识点回顾】 1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数 q( q ? 0) ,这个数列 叫做等比数列,常数 q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式: an ? a1q n?1 , a1 为首项, q 为公比 . ⑵前 n 项和公式:①当 q ? 1 时, Sn ? na1 ②当 q ? 1 时, S n ? 3.等比中项 如果 a, G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.
2 即: G 是 a 与 b 的等差中项 ? a , A , b 成等差数列 ? G ? a ? b .

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q . ? 1? q 1? q

4.等比数列的判定方法 ⑴定义法:

a n ?1 ? q ( n ? N ? , q ? 0 是常数) ? ?an ? 是等比数列; an
2

⑵中项法: an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ? )且 an ? 0 ? ?an ? 是等比数列. 5.等比数列的常用性质 (1) an ? am ? qn?m (n, m ? N ? ) (2)若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ; (3)若等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、 S3k ? S 2 k ……是等比数列. 题型一:等比数列中的基本量 1、已知 ?an ? 为等比数列, a2 ? 2, a6 ? 162,则 a10 ? 2、等比数列 ?an ? 中, Sn 为前 n 项和,若 S3 ? S6 ? 2S9 ,则 q= 3、已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, Sn ? 93 , an ? 48 ,公比 q ? 2 ,则项数 n ? .

4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为 37 ,中 间两数之和为 36 ,求这四个数

5、等比数列 1,2,4,8,? 中从第 5 项到第 10 项的和为

.

6、已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, an ? 1 ? 3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n?1 ,则 Sn = 7 、已知 ?an ? 为等比 数列, a1 ? a2 ? a3 ? 3, a6 ? a7 ? a8 ? 6 ,求 a11 ? a12 ? a13 的 值 = . 题型二、性质应用 8、已知等比数列{an}中,a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,则 an= 9、已知等比数列 ?an ? 中, an ? 0, (2a4 ? a2 ? a6 )a4 ? 36 ,则 a3 ? a5 ? 10、 等比数列 ?an ? 中, S2 ? 7, S6 ? 91, 则 S4 = 11、已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, Sn ? 54 , S 2 n ? 60 ,则 S 3n ? 题型三、证明等比数列 12、已知数列 {an } 的首项 a1 ? 等比数列 . .

2an 2 1 , an ?1 ? , n ? 1, 2,3, ….证明:数列 { ? 1} 是 3 an ? 1 an

13、设数列 ?an ? 中 , a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2, bn ? an?1 ? 2an (1)求证:数列 ?bn ? 为等比数列; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn

题型四、错位相减法 14、已知 Sn 为数列 ?an ? 前 n 项和, an ? (2n ? 1) ? 3n ,求 Sn .

题型四、构造等比数列求通项 15、数列{an}中,a1=1,an=

1 an-1+1(n≥2) ,求通项公式 an. 2

16、数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2) ,若 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:数列{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

题型五、等差与等比综合 17、 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足 5 a n , 5 bn , 5 an ?1 成等比数列, lgbn, lgan+1, lgbn+1 成等差数列,且 a1=1,b1=2,a2=3,求通项 an、bn.

18 、 已 知 ?an ? 是 各 项 为 不 同 的 正 数 的 等 差 数 列 , lg a1 ,lg a2 ,lg a4 成 等 差 数 列 . 又

bn ?
等于

1 , n ? 1, 2,3 a2n

(1)证明数列 ?bn ? 为等比数列; (2)如果数列 ?bn ? 的前 3 项的和

7 ,求数列 ?an ? 的首项 a1 和公差 d 24

题型六、等比数列综合应用

19、设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn
n
n ?1 ⑴证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2 是等比数列;⑵求 ?an ? 的通项公式。

?

?

20、设数列{ an} ,a1=

5 ,若以 a1,a2,…,an 为系数的二次方程:an- 1x2- anx+ 1= 0 6

( n∈N*且 n≥2)都有根α 、β 满足 3α -α β +3β =1. (1)求证:{an-

1 }为等比数列; (2)求 an; (3)求{an}的前 n 项和 Sn. 2


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