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【金版新学案】2014-2015学年高二数学人教A版选修2-2章末质量评估2 Word版含解析

第二章

一、选择题(本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.“π 是无限不循环小数,所以 π 是无理数”.以上推理的大前提是( A.实数分为有理数和无理数 B.π 不是有理数 C.无理数都是无限不循环小数 D.有理数都是有限循环小数 解析: C. 答案: C 2.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数 a,b,c 中至少有一个偶数.”正确的 反设为( ) 演绎推理的结论是蕴含于前提之中的特殊事实,本题中由小前提及结论知选 )

A.a,b,c 中至少有两个偶数 B.a,b,c 都是奇数 C.a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 D.a,b,c 都是偶数 解析: “至少有一个”的反面是“一个也没有”, ∴“a,b,c 中至少有一个是偶数”应反设为:a,b,c 都是奇数. 答案: B 3.某个命题与正整数有关,如果当 n=k(k∈N*)时,该命题成立,那么可推得当 n=k +1 时命题也成立.现在已知当 n=5 时,该命题不成立,那么可推得( A.当 n=6 时该命题不成立 C.当 n=4 时该命题不成立 B.当 n=6 时该命题成立 D.当 n=4 时该命题成立 )

解析: 依题意,若 n=4 时该命题成立,则 n=5 时该命题成立;而 n=5 时该命题不 成立,却无法判断 n=6 时该命题成立还是不成立,故选 C. 答案: C 4.下列表述正确的是( )

①归纳推理是由特殊到一般的推理; ②演绎推理是由一般到特殊的推理; ③类比推理是 由特殊到一般的推理;④分析法是一种间接证明法;⑤若 z∈C,且|z+2-2i|=1,则|z-2

-2i|的最小值是 3. A.①②③④ C.①②④⑤ B.②③④ D.①②⑤

解析: 归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理,故①正确;演绎推理是由一般 到特殊的推理,故②正确;类比推理是由特殊到特殊的推理,故③错误;分析法是一种直接 证明法,故④错误;|z+2-2i|=1 表示复平面上的点到(-2,2)的距离为 1 的圆,|z-2-2i| 就是圆上的点,到(2,2)的距离的最小值,就是圆心到(2,2)的距离减去半径,即: |2-(-2)| -1=3,故⑤正确.故选 D. 答案: D 5.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:

按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( A.6n-2 C.6n+2 B.8n-2 D.8n+2

)

解析: 归纳“金鱼”图形的构成规律知, 后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去 掉尾巴后 6 根火柴组成的鱼头部分,故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为 8, 公差是 6 的等差数列,通项公式为 an=6n+2. 答案: C 6.将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比,易得下列结论: ①a· b=b· a; ②(a· b)· c=a· (b· c); ③a· (b+c)=a· b+a· c; ④由 a· b=a· c(a≠0)可得 b=c, 则正确的结论有( A.1 个 C.3 个 ) B .2 个 D.4 个

解析: 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律,不满足结合律,故①③正确, ②错误;由 a· b=a· c(a≠0)得 a· (b-c)=0,从而 b-c=0 或 a⊥(b-c),故④错误. 答案: B

7.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,?,则 a10+b10=( A.28 C.123 ) B.76 D.199

解析: 记 an+bn=f(n),则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5) =f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则 f(6)=f(4)+f(5) =18; f(7)=f(5)+f(6)=29; f(8)=f(6)+f(7)=47; f(9)=f(7)+f(8)=76; f(10)=f(8)+f(9)=123. 所以 a10+b10=123. 答案: C 1 1 8.数列{an}满足 a1= ,an+1=1- ,则 a2 014 等于( 2 an 1 A. 2 C.2 1 1 解析: ∵a1= ,an+1=1- , 2 an 1 ∴a2=1- =-1, a1 1 a3=1- =2, a2 1 1 a4=1- = , a3 2 1 a5=1- =-1, a4 1 a6=1- =2, a5 ∴an+3k=an(n∈N*,k∈N*) 1 ∴a2 014=a1+3×671=a1= . 2 答案: A 9.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四 个侧面( ) B.-1 D.3 )

A.各正三角形内任一点 B.各正三角形的某高线上的点 C.各正三角形的中点

D.各正三角形外的某点 解析: 正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的侧面,所以边 的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心. 答案: C 1 4 27 a 10.已知 x>0,不等式 x+ ≥2,x+ 2≥3,x+ 3 ≥4,?,可推广为 x+ n≥n+1,则 x x x x a 的值为( A.n2 C.2n ) B . nn D.22n
-2

1 4 22 27 33 nn 解析: 由 x+ ≥2,x+ 2=x+ 2 ≥3,x+ 3 =x+ 3 ≥4,?,可推广为 x+ n ≥n+1, x x x x x x 故 a=nn. 答案: B 11.命题:在三角形中,顶点与对边中点连线所得三线段交于一点,且分线段长度比为 2∶1,类比可得在四面体中,顶点与所对面的________连线所得四线段交于一点,且分线段 比为________( ) B.重心 3∶1 D.外心 2∶1

A.重心 3∶1 C.内心 2∶1 解析: 由四面体的性质可得结论为 A. 答案: A

1-an 2 + 12.在用数学归纳法证明 1+a+a2+?+an 1= (a≠1,n∈N*)时,在验证当 n 1-a


=1 时,等式左边为( A.1 C.1+a+a2

) B.1+a D.1+a+a2+a3

解析: 等式左边共 n+2 项,规律是 a 的指数从 0 依次增加 1 直到 n+1,故 n=1,最 后一项为 a2. 答案: C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.“因为 AC,BD 是菱形 ABCD 的对角线,所以 AC,BD 互相垂直且平分.”以上 推理的大前提是________. 答案: 菱形的对角线互相垂直且平分 14.已知 x,y∈R,且 x+y>2,则 x,y 中至少有一个大于 1,在用反证法证明时,假

设应为________. 解析: “至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x,y 均不大于 1”,亦即“x≤1 且 y≤1”. 答案: x,y 均不大于 1(或者 x≤1 且 y≤1) 15.观察下列不等式 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 ? 照此规律,第五个不等式为________________________________________. 解析: 先观察左边,第一个不等式为 2 项相加,第二个不等式为 3 项相加,第三个不 等式为 4 项相加,则第五个不等式应为 6 项相加,右边分子为分母的 2 倍减 1,分母即为所 1 1 1 1 1 11 对应项数,故应填 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6 1 1 1 1 1 11 答案: 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6 16.观察下列的图形中小正方形的个数,则第 6 个图形中有__________个小正方形.

解析: 第 1 个图中有 3 个小正方形,第 2 个有 3+3=6 个小正方形,第 3 个有 6+4 =10 个小正方形,第 4 个图形有 10+5=15 个小正方形,第 5 个图形有 15+6=21 个小正 方形,第 6 个图形中有 21+7=28 个小正方形. 答案: 28 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(本小题满分 12 分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,并判断类比的 结论是否成立. (1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交,则必和另一条相交; (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线,则这两条直线互相平行.

解析: (1)类比为:如果一个平面和两个平行平面中的一个相交,则必和另一个相交. 结论是正确的,证明如下:设 α∥β,且 γ∩α=a,则必有 γ∩β=b,若 γ 与 β 不相交,则 必有 γ∥β. 又 α∥β,∴α∥γ,与 γ∩α=a 矛盾,∴必有 γ∩β=b. (2)类比为:如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面互相平行,结论是错 误的,这两个平面也可能相交. 18.(本小题满分 12 分)(1)证明:函数 f(x)=-x2+2x 在(-∞,1]上是增函数; (2)当 x∈[-5,-2]时,f(x)是增函数还是减函数? 解析: (1)证明:任取 x1,x2∈(-∞,1],x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x2+x1-2). ∵x1<x2≤1,∴x2+x1-2<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2). 于是,根据“三段论”可知,f(x)=-x2+2x 在(-∞,1]上是增函数. (2)∵f(x)在(-∞,1]上是增函数,而[-5,-2]是区间(-∞,1]的子区间,∴f(x)在[-5, -2]上是增函数. 19.(本小题满分 12 分)已知 a1+a2+a3+a4>100,求证 a1,a2,a3,a4 中至少有一个数 大于 25. 解析: 假设 a1,a2,a3,a4 均不大于 25,即 a1≤25,a2≤25,a3≤25,a4≤25, 则 a1+a2+a3+a4≤25+25+25+25=100, 这与已知 a1+a2+a3+a4>100 矛盾,故假设错误. 所以 a1,a2,a3,a4 中至少有一个数大于 25. 20.(本小题满分 12 分)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,记 A,B,C 的 对边分别为 a,b,c.求证: 1 1 3 + = . a+b b+c a+b+c

1 1 3 证明: 要证 + = , a+b b+c a+b+c a+b+c a+b+c 只需证 + =3, a+b b+c

即证明

a + =1, a+b b+c

c

所以只需证 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 即证明 c2+a2=ac+b2. ∵△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列, ∴∠B=60° . 由余弦定理,得 b2=c2+a2-2accos 60° . ∴b2=c2+a2-ac.代入(*)式,等式成立. ∴c2+a2=ac+b2 成立,故命题得证. 21.(本小题满分 13 分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同 一个常数: ①sin213° +cos217° -sin 13° cos 17° ; ②sin215° +cos215° -sin 15° cos 15° ; ③sin218° +cos212° -sin 18° cos 12° ; ④sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° )cos 48° ; ⑤sin2(-25° )+cos255° -sin(-25° )cos 55° . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解析: 方法一:(1)选择②式,计算如下: sin215° +cos215° -sin 15° cos 15° 1 1 3 =1- sin 30° =1- = . 2 4 4 3 (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)= . 4 证明如下: sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α) =sin2α+(cos 30° cos α+sin 30° sin α)2-sin α(cos 30° cos α+sin 30° sin α) 3 3 1 3 1 =sin2α+ cos2α+ sin αcos α+ sin2α- sin αcos α - sin2α 4 2 4 2 2 3 3 3 = sin2α+ cos2α= . 4 4 4 (*)

方法二:(1)同方法一. 3 (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)= . 4 证明如下: sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α) = 1-cos 2α 1+cos?60° -2α? + -sin α(cos 30° cos α+sin 30° sin α) 2 2

1 1 1 1 3 1 = - cos 2α+ + (cos 60° cos 2α+sin 60° sin 2α)- sin αcos α- sin2α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos 2α+ + cos 2α+ sin 2α- sin 2α- (1-cos 2α) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos 2α- + cos 2α= . 4 4 4 4 1 1 1 22.(本小题满分 13 分)设 f(n)=1+ + +?+ ,是否有关于自然数 n 的函数 g(n),使 2 3 n 等式 f(1)+f(2)+?+f(n-1)=g(n)[f(n)-1]对 n≥2 的一切自然数都成立?并证明你的结论. 解析: 当 n=2 时,f(1)=g(2)[f(2)-1], f?1? 1 得 g(2)= = =2. f?2?-1 ?1+1?-1 ? 2? 当 n=3 时,f(1)+f(2)=g(3)[f(3)-1], f?1?+f?2? 得 g(3)= f?3?-1 1? 1+? ?1+2?



?1+1+1?-1 ? 2 3?

=3.

猜想 g(n)=n(n≥2). 下面用数学归纳法证明:当 n≥2 时,等式 f(1)+f(2)+?+f(n-1)=n[f(n-1)]恒成立. (1)当 n=2 时,由上面计算知,等式成立. (2)假设 n=k 时等式成立,即 f(1)+f(2)+?+f(k-1)=k[f(k)-1](k≥2), 那么,当 n=k+1 时, f(1)+f(2)+?+f(k-1)+f(k)

=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k 1 ? ? =(k+1)?f?k+1?- -k k+1? ? ? =(k+1)[f(k+1)-1], 故当 n=k+1 时等式也成立. 由(1)(2)知,对一切 n≥2 的自然数 n,等式都成立. 故存在函数 g(n)=n 使等式成立.


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