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江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试(高三数学)

江苏省南通中学 2012—2013 学年度第一学期期中考试
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1、已知集合 A ? ? x | x ? 3 |? 1? , B ? x x 2 ? 5 x ? 4 ? 0 ,则 A ? B ?
2 2 2

?

?





2、已知 a , b , c ? R ,命题“若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ≥ 3 ”的否命题是______▲_____. 3、若 sin(? ?

1 7? ) ? , 则 cos( ? ? ) 的值为 12 3 12

?

▲ ▲ .

.

4、函数 f ( x) ? x ? 2 ln x 单调递减区间是

5、已知|a|= 2 ,|b|=3,a 和 b 的夹角为 45°,若向量(λa+ b)⊥(a+λb),则实数 λ 的值 为 ▲ .

6、设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f ( x? 4 ) ,当 x ? (?2, 0 ) 时,

f ( x ) ? 2 x ,则 f (2012) ? f (2013) =



. ▲ .

7、设 ? an ? 是正项数列,其前 n 项和 S n 满足: 4Sn ? (an ? 1)(an ? 3) ,则 an =
x

2 8、已知命题 p : f ( x) ? 1 ? a ? 3 在 x ? ?? ?,0? 上有意义,命题 q :函数 y ? lg(ax ? x ? a) 的定义域

为 R .如果 p 和 q 有且仅有一个正确,则 a 的取值范围





9、 设函数 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 的图象为曲线 C , 动点 A( x, y ) 在曲线 C 上, A 过 且平行于 x 轴的直线交曲线 C 于点 B( A B 可以重合),设线段 AB 的长为 、

y A
O

B

f ( x) ,则函数 f ( x) 单调递增区间 ▲

. ▲ .

? 2

?

x

1 1 10、 0 ≤ x ≤ 时,ax ? 2 x3 |≤ 恒成立, 当 则实数 a 的取值范围是 | 2 2

11、已知存在实数 a ,满足对任意的实数 b ,直线 y ? ? x ? b 都不是曲线 y ? x3 ? 3ax 的切线,则实数 a 的取 值范围是 ▲
2 2sin x+1 ? π? 12、设 x∈?0, ?,则函数 y= 的最小值为___▲_____. 2? sin 2x ?

2 13 、 设 实 数 a ? 1 , 若 仅 有 一 个 常 数 c 使 得 对 于 任 意 的 x ? ? a, 3a ? , 都 有 y ? [ a, a ]满 足 方 程

log a x ? log a y ? c ,这时,实数 a 的取值的集合为
14、已知函数 f ( x ) ? ?





?2 x ? 1( x ? 0) ,把函数 g(x)=f(x)-x+1 的零点按从小到大的顺序排列成一个数 ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0)
▲ .

列,则该数列的前 n 项的和 S n ,则 S10 =

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 ....... 程或演算步骤.

15、设向量 a =(4cosα ,sinα ), b =(sinβ ,4cosβ ), c =(cosβ ,-4sinβ ). (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(α +β )的值;(2)求 b ? c 的最大值; (3)若 tanα tanβ =16,求证: a ∥ b .

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

16、(本题满分 14 分)已知函数 f (log a x) ?

a ( x ? x ?1 ) ,其中 a ? 0 且 a ? 1. a ?1
2

(1)求函数 f ( x) 的解析式,并 判断其奇偶性和单调性; (2)对于函数 f ( x) ,当 x ? (?1,1) 时, f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 ,求实数 m 的取值范围; (3)当 x ? (??,2) 时, f ( x) ? 6 的值恒为负数,求函数 a 的取值范围.

17、设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n = 2 ? an , n ? 1, 2,3, ?. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且 bn ?1 ? bn ? an ,求数列 {bn } 的通项公式; (III)设 cn ? n(3 ? bn ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

18、某广告公司为 2010 年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式如图中实线部分所示.其上部分是以 AB 为 直径的半圆, O 为圆心, 点 下部分是以 AB 为斜边的等腰直角三角形, DE、 是两根支杆, DF 其中 AB=2 m, π ∠EOA=∠FOB=2x(0<x< ).现在弧 EF、线段 DE 与线段 DF 上装彩灯,在弧 AE、弧 BF、线段 AD 与 4 线段 BD 上装节能灯.若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比,且彩灯的比例系数为 2k,节能灯的比例系数为 k(k>0),假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y 是所有灯“心悦效果”的和. (1) 试将 y 表示为 x 的函数; (2) 试确定当 x 取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳?

19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ?

(1)求曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围; (2)若曲线 C 上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值范围; (3)试问:是否存在一条直线与曲线 C 同时切于两个不同点?如果存在,求出符合条件的所有直线方程; 若不存在,说明理由.

1 3 x ? 2 x 2 ? 3x ( x ? R )的图象为曲线 C . 3

20.(本小题满分 16 分)已知数列 {an } , {bn } 满足: bn ? an ?1 ? an ? n ? N *? . (1)若 a1 ? 1, bn ? n ,求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ?1bn ?1 ? bn ? n ? 2 ? ,且 b1 ? 1, b2 ? 2 . ①记 cn ? a6 n ?1 ? n ? 1? ,求证:数列 ?cn ? 为等差数列;
?a ? ②若数列 ? n ? 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项 a1 应满足的条件. ?n?

23. 某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校的自主招生考试, 由于其中两所学校的考试时间相 同,因此该学生不能同时报考这两所学校.该学生不同的报考方法种数是 .(用数字作答)

24.已知 (1 ?

1 n x) 展开式的各项依次记为 a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x),? an ( x), an?1 ( x) . 2

设 F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x),? ? nan ( x) ? (n ? 1)an ?1 ( x) . (1)若 a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次成等差数列,求 n 的值; (2)求证:对任意 x1 , x2 ? [0, 2] ,恒有 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 2
n ?1

(n ? 2) ? 1 .

江苏省南通中学 2012—2013 学年度第一学期中考试 高三数学试卷(理)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案直接填空在答题 .. 卡相应位置上 ......

(必做题部分)
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1、已知集合 A ? ? x | x ? 3 |? 1? , B ? x x 2 ? 5 x ? 4 ? 0 ,则 A ? B ?
2 2 2

?

?

{4} .

2、已知 a , b , c ? R ,命题“若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ≥ 3 的否命题是___________. 若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c < 3 ;
2 2 2

3、若 sin(? ?

1 7? ) ? , 则 cos( ? ? ) 的值为 12 3 12


?

?

1 3

. 。(0,2)

4、函数 f ( x) ? x ? 2 ln x 单调递减区间是

5、已知|a|= 2 ,|b|=3,a 和 b 的夹角为 45°,若向量(λa+ b)⊥(a+λb),则实数 λ 的值 为 ▲ .
?11 ? 85 6

6、设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f ( x? 4 ) ,当 x ? (?2, 0 ) 时,

f ( x ) ? 2 x ,则 f (2012) ? f (2013) =





1 2
▲ .

7、设 ? an ? 是正项数列,其前 n 项和 S n 满足: 4Sn ? (an ? 1)(an ? 3) ,则 an =

2n ? 1
2 8、已知命题 p : f ( x) ? 1 ? a ? 3 在 x ? ?? ?,0? 上有意义,命题 q :函数 y ? lg(ax ? x ? a) 的定义域
x

为 R .如果 p 和 q 有且仅有一个正确,则 a 的取值范围

. (??, ] ? (1, ??)

1 2

9、设函数 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 的图象为曲线 C ,动点 A( x, y ) 在曲线 C 过 A 且平行于 x 轴的直线交曲线 C 于点 B( A、B 可以重合) 设线段 AB , 为 f ( x) ,则函数 f ( x) 单调递增区间 10 、 当 0 ≤ x ≤ 是 .[

y

上,

A
O

B

的长

?
2

,? ]

? 2

?

x

1 1 时 , | ax ? 2 x3 ≤ 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 | 2 2 1 3 . [? , ] 2 2

11、已知存在实数 a ,满足对任意的实数 b ,直线 y ? ? x ? b 都不是曲线 y ? x3 ? 3ax 的切线,则实数 a 的取

值范围是 ▲

a?

1 3

2 2sin x+1 ? π? 12、设 x∈?0, ?,则函数 y= 的最小值为________. 3 2? sin 2x ?

2 13 、 设 实 数 a ? 1 , 若 仅 有 一 个 常 数 c 使 得 对 于 任 意 的 x ? ? a, 3a ? , 都 有 y ? [ a, a ]满 足 方 程

log a x ? log a y ? c ,这时,实数 a 的取值的集合为
14、已知函数 f ( x ) ? ?



。 {3}

?2 x ? 1( x ? 0) ,把函数 g(x)=f(x)-x+1 的零点按从小到大的顺序排列 ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0)
▲ 。 210 ? 1 A.

成一个数列, 则该数列的前 n 项的和 S n ,则 S10 = C.45 D.55

B.2 9 ? 1

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 ....... 程或演算步骤. 15、设向量 a=(4cosα ,sinα ),b=(sinβ ,4cosβ ),c=(cosβ ,-4sinβ ). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α +β )的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若 tanα tanβ =16,求证:a∥b. 解、(1)因为 a 与 b-2c 垂直,所以 a·(b-2c)=a·b-2a·c=0. 所以 4sin(α +β )-8cos(α +β )=0,所以 tan(α +β )=2. (2)由条件得,b+c=(sinβ +cosβ ,4cosβ -4sinβ ). 2 2 2 2 2 所 以 |b + c| = sin β + 2sinβ cosβ + cos β + 16cos β - 32cosβ sinβ + 16sin β = 17 - 30sinβ cosβ =17-15sin2β . 又 17-15sin2β 的最大值为 32, 所以|b+c|的最大值为 4 2. (3)证明:由 tanα tanβ =16 得,sinα sinβ =16cosα cosβ ,即 4cosα ·4cosβ -sinα sinβ =0, 所以 a∥b. 16、(本题满分 14 分)
[来源:Z,xx,k.Com] [来源:Zxxk.Com]

解:(1)由 f (log a x) ?

a a ( x ? x ?1) 得 f ( x) ? 2 (a x ? a ? x ) ,…………………………2’ a ?1 a ?1
2

因为定义域为 R, f (? x) ? 2 因为 f ?( x) ?

a (a ? x ? a x ) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 为奇函数,……4’ a ?1
2

a ln a x (a ? a ? x ) ,当 0 ? a ? 1 及 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 , a2 ? 1 所以 f ( x) 为 R 上的单调增函数;……………………………………………………6’

(2)由 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 得 f (1 ? m) ? ? f (1 ? m2 ) ? f (m2 ? 1) , 又 x ? (?1,1) ,则 ?1 ? 1 ? m ? m2 ? 1 ? 1 ,得 1 ? m ? 2 ;……………………………10’ (3)因为 f ( x) 为 R 上的单调增函数,所以当 x ? (??,2) 时, f ( x) ? 6 的值恒为负数, 所以 f ( x) ? 6 ? 0 恒成立,
f (2) ? 6 ? a (a 2 ? a ?2 ) ? 6 ? 0 ,…………………………………………………12’ a ?1
2

整理得 a2 ? 6a ? 1 ? 0 ,所以 3 ? 2 2 ? a ? 3 ? 2 2 , 又 a ? 0 且 a ? 1,所以实数 a 的取值范围是 [3 ? 2 2,1) ? (1,3 ? 2 2] .…………14’ 错误!未定义书签。 17、设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n = 2 ? an , n ? 1, 2,3, ?. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且 bn ?1 ? bn ? an ,求数列 {bn } 的通项公式; (III)设 cn ? n(3 ? bn ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . (Ⅰ)∵ n ? 1 时, a1 ? S1 ? a1 ? a1 ? 2 ∴ a1 ? 1

当 n ? 2 时, ∵ S n ? 2 ? an 即 an ? Sn ? 2 ,∴ an ?1 ? S n ?1 ? 2 两式相减: an ?1 ? an ? Sn ?1 ? Sn ? 0 即

an?1 ? an ? an ?1 ? 0
故有 2an ?1 ? an ∵ an ? 0 ,∴

an ?1 1 ? (n ? N * ) an 2

1 1 的等比数列, an ? ( )n ?1 (n ? N * ) ??? 6 分 2 2 1 n ?1 (Ⅱ)∵ bn ?1 ? bn ? an (n ? 1, 2,3, …) ,∴ bn ?1 ? bn ? ( ) 2 1 1 1 得 b2 ? b1 ? 1 b3 ? b2 ? b4 ? b3 ? ( )2 ? bn ? bn ?1 ? )? 2 ( n ? 2,3 ?) ( n 2 2 2 1 1 ? ( )n ?1 1 1 1 1 1 2 将这 n ? 1个等式相加 bn ? b1 ? 1 ? ? ( ) 2 ? ( )3 ? … ? ( ) n ? 2 ? ? 2 ? 2( ) n ?1 1 2 2 2 2 2 1? 2 1 n ?1 又∵ b1 ? 1 ,∴ bn ? 3 ? 2( ) ( n ? 1, 2,3 ?) ????? 12 分 2 1 n ?1 (Ⅲ)∵ cn ? n(3 ? bn ) ? 2n( ) 2 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? 2[( )0 ? 2( ) ? 3( ) 2 ? … ? (n ? 1)( ) n ?2 ? n( ) n ?1 ] ① 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 而 Tn ? 2[( ) ? 2( ) 2 ? 3( )3 ? … ? ( n ? 1)( ) n ?1 ? n( ) n ] ② 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ①-②得: Tn ? 2[( )0 ? ( )1 ? ( ) 2 ? … ? ( ) n ?1 ] ? 2n( ) n 2 2 2 2 2 2 1 1 ? ( )n 2 ? 4n( 1 )n ? 8 ? 8 ? 4n( 1 ) n ? 8 ? (8 ? 4n) 1 (n ? 1, 2,3, …) ? 16 分 Tn ? 4 1 2 2n 2 2n 1? 2
所以,数列 {an } 为首项 a1 ? 1 ,公比为

18、某广告公司为 2010 年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式如图中实线部分所示.其上部分是以 AB 为直径的半圆,点 O 为圆心,下部分是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,DE、DF 是两根支杆,其中 π AB=2 m,∠EOA=∠FOB=2x(0<x< ).现在弧 EF、线段 DE 与线段 DF 上装彩灯,在弧 AE、弧 BF、 4 线段 AD 与线段 BD 上装节能灯.若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比,且彩灯的 比例系数为 2k,节能灯的比例系数为 k(k>0),假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y 是所有灯“心悦效果” 的和. (1) 试将 y 表示为 x 的函数; (2) 试确定当 x 取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳?

解:(1) 因为∠EOA=∠FOB=2x,所以弧 EF、AE、BF 的长分别为 π-4x,2x,2x.(3 分) π 连结 OD,则由 OD=OE=OF=1,∠FOD=∠EOD=2x+ , 2 π 所以 DE=DF= 1+1-2cos?2x+ ?= 2+2sin2x= 2(sinx+cosx).(6 分) 2 所以 y=2k[2 2(sinx+cosx)+π-4x]+k(2 2+4x) =2k[2 2(sinx+cosx)-2x+ 2+π](9 分) (2) 因为由 y′=4k[ 2(cosx-sinx)-1]=0,(11 分) π 1 π 解得 cos(x+ )= ,即 x= .(13 分) 4 2 12 π π 又当 x∈(0, )时,y′>0,所以此时 y 在(0, )上单调递增; 12 12 π π π π 当 x∈( , )时,y′<0,所以此时 y 在( , )上单调递减. 12 4 12 4 π 故当 x= 时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳.(16 分) 12 19.(本小题满分 16 分) 解:(1) f ?( x) ? x ? 4 x ? 3 ,则 f ?( x) ? ( x ? 2) ? 1 ? ?1 ,
2 2

即曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取 值范围是 ?? 1,?? ? ;------------4 分 (2)由(1)可知, ? 1

? k ? ?1 ? ---------------------------------------------------------6 分 ? ? ?1 ? k ?
2 2

解得 ? 1 ? k ? 0 或 k ? 1,由 ? 1 ? x ? 4 x ? 3 ? 0 或 x ? 4 x ? 3 ? 1 得: x ? ? ?,2 ? 2 ? (1,3) ? 2 ?

?

?

?

2 ,?? ;-------------------------------9 分

?

(3)设存在过点 A ( x1 , y1 ) 的切线曲线 C 同时切于两点,另一切点为 B ( x 2 , y 2 ) ,

x1 ? x2 ,
则切线方程是: y ? ( x1 ? 2 x1 ? 3x1 ) ? ( x1 ? 4 x1 ? 3)( x ? x1 ) ,
3 2 2

1 3

2 3 2 x1 ? 2 x1 ) ,--------------------------11 分 3 2 3 2 2 而过 B ( x 2 , y 2 ) 的切线方程是 y ? ( x 2 ? 4 x 2 ? 3) x ? (? x 2 ? 2 x 2 ) , 3
化简得: y ? ( x1 ? 4 x1 ? 3) x ? (?
2

由于两切线是同一直线, 则有: x1 ? 4 x1 ? 3 ? x 2 ? 4 x 2 ? 3 ,得 x1 ? x 2 ? 4 ,----------- -----------13 分
2 2

又由 ? 即?

2 3 2 3 2 2 x1 ? 2 x1 ? ? x2 ? 2 x2 , 3 3

2 2 2 ( x1 ? x2 )( x1 ? x1 x2 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 0 3

1 2 2 2 ? ( x1 ? x1 x2 ? x2 ) ? 4 ? 0 ,即 x1 ( x1 ? x2 ) ? x2 ? 12 ? 0 3
即 (4 ? x 2 ) ? 4 ? x 2 ? 12 ? 0 , x 2 ? 4 x 2 ? 4 ? 0
2 2

得 x2 ? 2 ,但当 x2 ? 2 时,由 x1 ? x2 ? 4 得 x1 ? 2 ,这与 x1 ? x2 矛盾。 所以不存在一条直线与曲线 C 同时切于两点。----------------------------------16 分 20.(本小题满分 16 分) 已知数列 {an } , {bn } 满足: bn ? an ?1 ? an ? n ? N *? . (1)若 a1 ? 1, bn ? n ,求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ?1bn ?1 ? bn ? n ? 2 ? ,且 b1 ? 1, b2 ? 2 . ①记 cn ? a6 n ?1 ? n ? 1? ,求证:数列 ?cn ? 为等差数列;
?a ? ②若数列 ? n ? 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项 a1 应满足的条件. ?n?

20.解:(1)当 n ? 2 时,有
an ? a1 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ? ? ? ? an ? an ?1 ? ? a1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? n2 n ? ?1. 2 2

又 a1 ? 1 也满足上式,所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? (2)①因为对任意的 n ? N * ,有 bn ? 6 ?

n2 n ? ? 1 .?????4 分 2 2

bn ?5 b 1 ? ? n ?1 ? bn , bn ? 4 bn ?3 bn ? 2

所以, cn?1 ? cn ? a6n?5 ? a6n?1 ? b6n?1 ? b6n ? b6n?1 ? b6n? 2 ? b6n?3 ? b6n? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 所以,数列 ?cn ? 为等差数列. ②设 cn ? a6n?i ? n ? N *? (其中 i 为常数且 i ? ?1, 2,3, 4,5,6? ,

1 1 ? ? 7, 2 2

???????? 8 分

所以, cn?1 ? cn ? a6n ?6?i ? a6n ?i ? b6n ?i ? b6n ?i ?1 ? b6n ?i ? 2 ? b6n ?i ?3 ? b6n ?i ?4 ? b6n ?i ?5 ? 7 ,

即数列 ?a6n ?i ? 均为以 7 为公差的等差数列.

???????? 10 分

7 7 7 i ? 6k ? ? ai ? i ai ? i a6 k ? i ai ? 7 k 6 ? 6 ?7? 6 . ? ? 设 fk ? 6k ? i i ? 6k i ? 6k 6 i ? 6k

(其中 n ? 6k ? i, k ? 0, i 为 ?1, 2,3, 4,5,6? 中一个常数)
a 7 7 当 ai ? i 时,对任意的 n ? 6k ? i ,有 n ? ; ???????? 12 分 6 n 6 7 7 ai ? i ai ? i ?6 7 6 6 ? ?a ? 7 i? 当 ai ? i 时, f k ?1 ? f k ? . ? ? i ? 6 ? k ? 1? ? i 6k ? i ? 6 ? ?6 ? k ? 1? ? i ? ? 6k ? i ? 6 ? ? 7 ?a ? (Ⅰ)若 ai ? i ,则对任意的 k ? N 有 f k ?1 ? f k ,所以数列 ? 6 k ? i ? 为递减数列; 6 ? 6k ? i ? 7 ?a ? (Ⅱ)若 ai ? i ,则对任意的 k ? N 有 f k ?1 ? f k ,所以数列 ? 6 k ? i ? 为递增数列. 6 ? 6k ? i ?
?7 ? ?4? ?1 ? ? 1? ? 1 ? ?1 ? ?7 4 1 1 1 ? 综上所述,集合 B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? , , , ? , ? ? . ? 6 ? ? 3 ? ? 2 ? ? 3? ? 6 ? ? 2 ? ? 6 3 2 3 6 ? ?a ? 当 a1 ? B 时,数列 ? n ? 中必有某数重复出现无数次; ?n? ?a ? 当 a1 ? B 时,数列 ? 6 k ?i ? ? i ? 1, 2,3, 4,5,6 ? 均为单调数列,任意一个数在这 6 个数列中最多出现一次, 6k ? i ? ? ? an ? 所以 数列 ? ? 任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.?? 16 分 ?n?

数学Ⅱ(理科附加题)
21、 、已知 OA、OB 是⊙O 的半径,且 OA⊥OB,P 是线段 OA 上一点,直线 BP 交⊙O 于点 Q,过 Q 作⊙O 的切线交直线 OA 于点 E,则∠OBP+∠AQE 的度数为

证明:连结 AB,则∠AQE=∠ABP, 而 OA=OB,所以∠ABO=45° .所以∠OBP+∠AQE=∠OBP+ ∠ABP=∠ABO=45° .

22、 如图,⊙O 是等腰三角形 ABC 的外接圆,AB=AC,延长 BC 到点 D,使 CD=AC,连接 AD 交⊙O 于点 E, 连接 BE 与 AC 交于点 F. ⑴判断 BE 是否平分∠ABC,并说明理由. ⑵若 AE=6,BE=8,求 EF 的长. A E O F

⑴BE 平分∠ABC.∵CD=AC,∴∠D=∠CAD. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, ∵∠EBC=∠CAD,∴∠EBC=∠D=∠CAD.∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ACB=∠D+∠CAD, ∴∠ABE=∠EBC,即 BE 平分∠ABC. ⑵由⑴知∠CAD=∠EBC =∠ABE. ∵∠AEF=∠AEB,∴△AEF∽△BEA.∴

AE EF , ? BE AE

AE 2 36 9 ? ? ; ∵AE=6, BE=8.∴EF= BE 8 2
23. 某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校的自主招生考试, 由于其中两所学校的考试时间相 同,因此该学生不能同时报考这两所学校.该学生不同的报考方法种数是 .(用数字作答) 16

24.已知 (1 ?

1 n x) 展开式的各项依次记为 a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x),? an ( x), an?1 ( x) . 2

设 F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x),? ? nan ( x) ? (n ? 1)an ?1 ( x) . (1)若 a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次成等差数列,求 n 的值; (2)求证:对任意 x1 , x2 ? [0, 2] ,恒有 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 2 24.解:(1)依题意 ak ( x) ? Cn ( x)
k ?1
n ?1

(n ? 2) ? 1 .

1 2

k ?1

, k ? 1, 2,3,?, n ? 1,

0 1 a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次为 Cn ? 1 , Cn ?

所以 2 ?

n n(n ? 1) ? 1? ,解得 n ? 8 ; 2 8

1 n 1 n(n ? 1) 2 , ? , Cn ? ( )2 ? 2 2 2 8
???4 分

(2) F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x),? ? nan ( x) ? (n ? 1)an ?1 ( x)

1 0 1 1 2 1 n n 1 ? Cn ? 2Cn ( x) ? 3Cn ( x)2 ? ? nCn ?1 ( x) n?1 ? (n ? 1)Cn ( x) n 2 2 2 2
0 1 2 n n F (2) ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? nCn ?1 ? (n ? 1)Cn

设 Sn ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? nCn
0 1 2 n n ?1

n ?1

n ? (n ? 1)Cn , 1 0

则 Sn ? (n ? 1)Cn ? nCn ? ? 3Cn ? 2Cn ? Cn
2

考虑到 Cn ? Cn
k

n?k

,将以上两式相加得:

0 1 2 n n 2Sn ? (n ? 2)(Cn ? Cn ? Cn ? ? Cn ?1 ? Cn )

所以 Sn ? (n ? 2)2

n ?1

又当 x ? [0, 2] 时, F '( x) ? 0 恒成立,从而 F ( x) 是 [0, 2] 上的单调递增函数, 所以对任意 x1 , x2 ? [0, 2] , | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? F (2) ? F (0) ? (n ? 2)2
n ?1

?1 .

???10 分