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2-5高三复习周精讲精练-函数的奇偶性与周期性_图文

? ●基础知识

●易错知识 一、分段函数的奇偶性判断失误. ?x2(x-1) (x>0) ? (x=0) 1. 函 数 f(x) = ?0 ?-x2(x+1) (x<0) ? 为 .

的奇偶性

? 答案:偶函数

? 二、判断函数奇偶性时忽视了定义域. ? 2.函数f(x)=x2+1,x∈(-1,3]的奇偶
性为 . ? 答案:非奇非偶函数 1-x2
3.函数f(x)= |x+2|-2 的奇偶性为 .

? 答案:奇函数

三、错误认为对于奇函数总有f(0)=0. ax2+1 4.设f(x)= 是奇函数,(a,b,c ∈Z)且f(1)=2, bx+c f(2)<3,则a= ,b= ,c= .

? 答案:1 1 0

四、偶函数和周期函数的概念理解错误. 5.已知函数y=f(x)满足条件f(x+1)=f(x-1),且当x∈ 4 1 [-1,0]时,f(x)=3 + ,则f(log 5)的值等于 9 3
x

.

? 答案:1

? 五、奇、偶函数的性质应用失误. ? 6.设f(x)、g(x)都是R上的奇函数,{x|f(x)

>0}={x|4<x<10},{x|g(x)>0}= {x|2<x<5},则集合{x|f(x)·g(x)>0}的 解集为 . ? 解析:∵f(x),g(x)都是奇函数, ∴f(x)·g(x)是偶函数,由对称性可知,只 需求f(x)>0,g(x)>0的解集,

由条件可知:f(x)>0的解集为(4,10),g(x)>0的解集为
?f(x)>0 ? (2,5),∴? ?g(x)>0 ?

的解集为(4,5),

故f(x)· g(x)的解集为(-5,-4)∪(4,5).

? 答案:(-5,-4)∪(4,5) ? 失分警示:此解错在忽视“f(x),g(x)都

是奇函数,因而f(x)·g(x)是偶函数”的性 质运用,导致结论出错.

? ●回归教材 ? 1.(教材改编题)下列函数中奇函数有

( ) ? ①f(x)=-x+2,(x∈R)②f(x)=-3x5, x∈(0,+∞) ? ③f(x)=x3-x,x∈R ④f(x)=lgx3 ? A.0个 B.1个 ? C.2个 D.3个 ? 解析:由函数奇偶性的定义可知f(x)=x3 -x是奇函数,故选B. ? 答案:B

? 2.若y=f(x),x∈R是奇函数,则下列各

点一定在函数y=f(x)的图象上的是 ( ) ? A.(-a,-f(-a)) B.(a,f(- a)) ? C.(a,-f(a)) D.(-a,- f(a)) ? 解析:∵y=f(x),x∈R是奇函数,∴f(- x)=-f(x). ? ∴f(-a)=-f(a) ? 故选D.

? 3.(2008·辽宁卷)若函数y=(x+1)(x-a)
为偶函数,则a= ( ) ? A.-2 ? C.1 ? 答案:C B.-1 D.2

4.定义在 R 上的奇函数 y=f(x),它的周期为 T(T>0), T 则 f(2)= .

T T 解析:∵f( )=-f(- ) 2 2 T T T 又 f(- )=f(T- )=f( ) 2 2 2 T 故 f(2)=0.

? 答案:0

? 5.(2010·江苏,5)设函数f(x)=x(ex+ae-
为 . ? 解析:∵f(-x)=f(x)对任意x均成立, ? ∴(-x)(e-x+a·ex)=x(ex+ae-x)对任意 x恒成立,∴x(-aex-e-x)=x(ex+ae-x), ? ∴a=-1. ? 答案:-1
x)(x∈R)是偶函数,则实数a的值

(2)函数定义域为 R. ∵f(-x)=log2(-x+ x2+1) 1 =log2 =-log2(x+ x2+1) x+ x2+1 =-f(x), ∴f(x)是奇函数.

?3-x2≥0 ? (3)由? 2 ?x -3≥0 ?

,得 x=- 3,或 x= 3.

∴函数 f(x)的定义域为{- 3, 3}. 又∵对任意的 x∈{- 3, 3},-x∈{- 3, 3}且 f(-x)=-f(x)=f(x)=0, ∴f(x)既是奇函数又是偶函数.

(4)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)= -f(x); 当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2 +x)=-f(x). ∴对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有 f(-x)=-f(x). 故 f(x)为奇函数.

(5)函数 f(x)的定义域为 R. 当 a=0 时,f(x)=f(-x),∴f(x)是偶函数; 当 a≠0 时,f(a)=a2+2,f(-a)=a2-2|a|+2. f(a)≠f(-a),且 f(a)+f(-a)=2(a2-|a|+2) 12 7 =2(|a|-2) +2≠0, ∴f(x)是非奇非偶函数, ∴当 a=0 时,f(x)是偶函数;当 a≠0 时,f(x)是非奇非 偶函数.

? 总结评述:第一,求函数定义域,看函数
的定义域是否关于原点对称,若不对称, 则该图象为非奇非偶函数.第二,若定义 域关于原点对称,函数表达式能化简的, 则对函数进行适当的化简,以便于判断. 第三,利用定义域进行等价变形判断.第 四,分段函数应分段讨论,要注意根据x 的范围取相应的函数表达式或利用图象判 断.另外函数的奇偶性有以下几种情况:

? (1)只是奇函数; ? (2)只是偶函数; ? (3)既是奇函数又是偶函数; ? (4)非奇非偶函数. ? 提醒 ? (1)讨论函数的奇偶性时易忽视对定义域
的确定; ? (2)分段函数的奇偶性判定往往只讨论一 部分后便作出判断,而忽视定义域内其他 部分而致错.

下列命题 1-x2 ①f(x)=x· 是偶函数; |x+2|-2 ②f(x)=|x-a|-|x+a|既是奇函数又是偶函数; ?x2+2x+3(x<0) ? 是偶函数; ③f(x)=?0(x=0) ?-x2+2x-3(x>0) ? 1-cosx+sinx ④f(x)= 是非奇非偶函数. 1+cosx+sinx

? 其中正确命题的序号是
1-x2 ∴f(x)=x· = 1-x2, x+2-2 又 f(-x)= 1-(-x)2= 1-x2=f(x), ∴f(x)是偶函数.

.

解析:①∵f(x)的定义域为 x∈[-1,0)∪(0,1] ,

? ②a≠0时,f(-x)=|-x-a|-|-x+a| ? =|x+a|-|x-a| ? =-(|x-a|-|x+a|) ? =-f(x),是奇函数, ? a=0,f(x)=0,既是奇函数又是偶函数. ? ③当x<0时,-x>0,f(-x)=-(-x)2+
2(-x)-3 ? =-x2-2x-3=-f(x), ? 当x>0时,-x<0,

? ∴f(-x)=(-x)2+2(-x)+3 ? =x2-2x+3 ? =-f(x) ? 当x=0时,f(-0)=-f(0)=0, ? ∴f(x)是奇函数. ? ④∵x≠-,但x可取,∴函数f(x)的定义
域关于原点不对称,∴f(x)无奇偶性. ? 答案:①④

? 周期性是函数的重要性质之一,常与函数
的奇偶性、对称性综合在一起.牢牢把握 周期性定义,掌握一些常见的结论是解决 问题的关系. ? 【例2】 已知函数f(x)的定义域为R,且 满足f(x+2)=-f(x). ? (1)求证:f(x)是周期函数; 1
(2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)=2x,求使 1 f(x)=-2的所有 x.

解析:(1)∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x). ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. 1 (2)当 0≤x≤1 时,f(x)=2x. 设-1≤x≤0,则 0≤-x≤1, 1 1 ∴f(-x)=2· (-x)=-2x, 1 1 即-f(x)=- x.∴f(x)= x. 2 2

1 故 f(x)=2x(-1≤x≤1). 又设 1<x<3,则-1<x-2<1, 1 ∴f(x-2)=2(x-2). 又知 f(x-2)=-f(2-x)=-f(2+(-x)) =-[-f(-x)]=-f(x), 1 ∴-f(x)= (x-2). 2 1 ∴f(x)=-2(x-2)(1<x<3), .

?1 ?2x(-1≤x≤1) ∴f(x)=? ?-1(x-2)(1<x<3) ? 2

.

1 由上式知在[-1,3)上,仅有 f(-1)=- , 2 由 f(x)是周期函数, 1 得 f(x)=-2的所有 x 为 4n-1(n∈Z).

? 规律方法:1.周期函数问题,在考查中常
有两类表现形式:一类是研究三角函数的 周期性;一类是研究抽象函数的周期性. 抽象函数的周期常常应用定义f(T+x)= f(x)给予证明,证明时多从中心对称、轴 对称所产生的数学等式出发,推导满足周 期定义的等式,从而在证明函数为周期函 数的同时求出周期. ? 2.若T为函数f(x)的一个周期,则kT也是 函数f(x)的周期(k为非零整数),这就是说, 一个函数如果有周期,就有无数个.

? 3.若f(x)满足f(x+a)=f(x+b)恒成立,其

中a,b均为常数,且a≠b,则T=|a-b| 是函数f(x)的一个周期. ? 4.根据函数周期性,可求某区间上函数解 析式,画出某区间上图象或求某一函数值.

? 定义在R上的函数y=f(x)满足f(-x)=-
( ) B.0 D.2

f(x),f(1+x)=f(1-x),当x∈[-1,1] 时,f(x)=x3,则f(-2009)的值是

? A.-1 ? C.1

? 解析:∵f(-x)=-f(x), ? ∴f(x)是奇函数. ? 由f(1+x)=f(1-x)可知f(x)关于直线x=1
对称, ? ∴f(x)=-f(-x)=-f(2+x)=-[-f(4 +x)]=f(x+4), ? 即f(x)=f(x+4). ? ∴4为f(x)的一个周期. ? ∴f(-2009)=f(-1)=-f(1)=-13=-1. ? 故选A.

规律总结:常用结论:(1)函数 f(x)对于定义域中的任 意 x,都有 f(x+T)=-f(x)(T 为常数),则 f(x)是以 2T 为周 期的周期函数; 1 (2)函数 f(x)对于定义域中的任意 x, 都有 f(x+T)=f(x)(T 为常数),则 f(x)是以 2T 为周期的周期函数;

? (3)函数f(x)对于定义域中的任意x,都有
f(x+T)=f(x-T),则f(x)是以2T为周期
的周期函数; ? (4)若y=f(x)的图象有两条对称轴x=a,x =b(a≠b),则y=f(x)必是周期函数,且

? 若y=f(x)的图象有两个对称中心A(a,0),

B(b,0)(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且 一周期为T=2|a-b|; ? 若函数y=f(x)的图象有一个对称中心 A(a,0)和一条对称轴x=b(a≠b),则函数y =f(x)必是周期函数,且一周期为T=4|a -b|.

? 函数的图象和性质是研究函数的重要方面,
是函数学习的重点内容,也是高考考查的 重点内容.在复习时,应狠抓基本概念、 ax+1 基本方法的复习,以达到非常熟练的程度. 【例 3】 对于函数 f(x)= (其中 a 为实数,x≠1),
x-1 给出下列命题:①当 a=1 时,f(x)在定义域上为单调增函数; ②f(x)的图象关于点(1,a)对称;③对任意 a∈R,f(x)都不是 奇函数;④当 a=-1 时,f(x)为偶函数;⑤当 a=2 时,对于 满足条件 2<x1<x2 的所有 x1,2 总有 f(x1)-f(x2)<3(x2-x1).其中 x 正确命题的序号为 .

ax+1 a+1 解析:由已知条件可得 f(x)= =a+ , x-1 x-1 当 a=1 时, 该函数在(-∞, 1)和(1, +∞)上均为减函数, 即命题①不正确; 由解析式可得函数 f(x)的对称中心为(1,a),即命题②正 确; 由命题②可知该函数的图象不关于原点对称,即不可能 为奇函数,即命题③正确; 由命题②可知该函数的图象无对称轴, 不可能关于 y 轴对 称,即命题④不正确;

3 3 当 a=2 时,f(x)=2+ ,则 f ′(x)=- , x-1 (x-1)2 f(x1)-f(x2) 当 x>2 时,f ′(x)<-3 可得,2<x1<x2 时, < x1-x2 -3, 即得 f(x1)-f(x2)<3(x2-x1),即命题⑤正确. 综上可得正确命题的序号为②③⑤.

? 答案:②③⑤

3 已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于点(-4,0)对称, 3 且满足 f(x)=-f(x+ ),f(-1)=1,f(0)=-2,则 f(1)+f(2) 2 +f(3)+?+f(2009)的值是 A.1 C.2 B.-1 D.-2 ( )

解析:本题强调函数的奇偶性、周期性、对称性的综合 运用. 3 3 ∵f(x)=-f(x+2),∴f(x+2)=-f(x+3), 则 f(x)=f(x+3),f(x)是周期为 3 的周期函数.设点 A(x, 3 f(x))是函数 f(x)图象上的任意一点,它关于点(-4,0)的对称 3 点 A′(-2-x,f(x)),A′也在 f(x)的图象上, 3 3 ∴f(-2-x)=-f(x).而-f(x)=f(x+2),

3 3 ∴f(-x- )=f(x+ ),得 f(-x)=f(x),则 f(x)是偶函 2 2 数.f(1)=f(-1)=1,f(2)=f(-1+3)=f(-1)=1,f(3)=f(0) =-2,故 f(1)+f(2)+f(3)=0.∴f(1)+f(2)+f(3)+?+ f(2009)=f(1)+f(2)=2.

? 答案:C

? 规律总结:1.充分挖掘题目的已知条件,
交叉运用知识,形成发散思想,是解决问 题的关键. ? 2.函数的对称性的常用结论: ? (1)函数自身的对称问题 ? ①函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称 ?f(a+x)=f(a-x)?f(2a-x)=f(x). ? ②函数y=f(x)的图象关于(a,0)对称?f(a +x)=-f(a-x)?f(2a-x)=-f(x).

③若 y=f(x)对 x∈R 满足 f(a+x)=f(b-x),则 y=f(x) a+b (a+x)+(b-x) 关于直线 x= 对称.(由 x= 求得) 2 2 ④若 y=f(x)对 x∈R 满足 f(a+x)=-f(b-x), y=f(x) 即 a+b 关于点( 2 ,0)对称. (2)两个函数的对称问题 b-a 函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)关于直线 x= 2 对称.(由 a+x=b-x 解得).

1.奇偶性是函数在定义域上的整体性质,因此讨论函数 奇偶性首先要看其定义域.函数具有奇偶性的必要条件是其 定义域关于原点对称,一个函数是奇(偶)函数的充要条件是 其函数图象关于原点(y 轴)对称. 2.奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法之一,为了 便于判断, 有时需要将函数进行化简, 或应用定义的变形式: ?f(-x)?f(x)=0 ? f(-x)=± f(x)??f(-x) 1(f(x)≠0) ? f(x) =± ?

.

3.解题中要注意以下性质的灵活运用: (1)f(x)为偶函数?f(x)=f(|x|); (2)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. 4.函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义,并掌握 T 一些常见的确定函数周期的条件.以及 f(2)=0 这个性质.


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