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2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评 2.3.2.2 向量平行的坐标表示 Word版含解析


学业分层测评(二十)

向量平行的坐标表示

(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 1.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b=________. 【解析】 ∵a∥b,∴m+4=0,

∴m=-4, ∴b=(-2,-4), ∴2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4), =(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8). 【答案】 (-4,-8)

2.已知 a=(-1,x)与 b=(-x,2)共线,且方向相同,则实数 x=________. 【解析】 ?-1=-λx, 设 a = λb ,则(-1 , x)=(- λx,2λ) ,所以有? 解得 ?x=2λ,

?x= 2, ? 2 ?λ= 2 ,

?x=- 2, 或? 2 λ =- ? 2.

2 又 a 与 b 方向相同,则 λ>0,所以 λ= 2 ,x= 2. 【答案】 2

3.若 A(-1,2),B(3,1),C(-2,m),三点共线,则 m=________. 【解析】 ∵A,B,C 三点共线,

→ → AB=(4,-1),BC=(-5,m-1), ∴4(m-1)=-5×(-1), 9 ∴m=4. 【答案】 9 4

4.已知向量 a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,则 k=________. 【解析】 a-c=(3-k,-6),b=(1,3),

3-k -6 ∵(a-c)∥b,∴ 1 = 3 ,∴k=5. 【答案】 5

5.(2016· 南通高一检测)若 a=(2cos α,1),b=(sin α,1),且 a∥b,则 tan α =________. 【解析】 ∴tan α=2. 【答案】 2 ∵a∥b,∴2cos α=sin α,

→ 6.已知点 A(1,-2),若线段 AB 的中点坐标为(3,1),且AB与向量 a=(1,λ) 共线,则 λ=________. 【解析】 设 B(x,y),则由题意可知 ?x=5 ∴? ?y=4,

1+x ? ? 2 =3, ?-2+y ? ? 2 =1, → ∴AB=(4,6).

→ 又AB∥a,∴4λ=6, 3 ∴λ=2. 【答案】 3 2

a 7.已知向量 m=(2,3),n=(-1,2),若 am+bn 与 m-2n 共线,则b等于 ________. 【导学号:06460059】 【解析】 am+bn=(2a,3a)+(-b,2b)=(2a-b,3a+2b), m-2n=(2,3)-(- 2,4)=(4,-1), ∵am+bn 与 m-2n 共线, a 1 ∴b-2a-12a-8b=0,∴b=-2. 【答案】 1 -2

8.已知两点 M(7,8),N(1,-6),P 点是线段 MN 的靠近点 M 的三等分点,

则 P 点的坐标为________. 【解析】 设 P(x,y),如图:

→ → ∴MN=3MP, ∴(-6,-14)=3(x-7,y-8), x=5, ? ? ?-6=3?x-7?, ∴? 解得? 10 y= 3 . ?-14=3?y-8?, ? ? 【答案】 二、解答题 9.已知 a=(1,0),b=(2,1). (1)当 k 为何值时,ka-b 与 a+2b 共线? → → (2)若AB=2a+3b,BC=a+mb 且 A,B,C 三点共线,求 m 的值. 【解】 (1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1), 10? ? ?5, 3 ? ? ?

a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2). ∵ka-b 与 a+2b 共线, ∴2(k-2)-(-1)×5=0, 1 即 2k-4+5=0,得 k=-2. (2)∵A,B,C 三点共线, → → ∴AB=λBC,λ∈R, ?2=λ, 即 2a+3b=λ(a+mb),∴? ?3=mλ, 3 解得 m=2. 10.如图 2319 所示,在四边形 ABCD 中,已知 A(2,6),B(6,4),C(5,0), D(1,0),求直线 AC 与 BD 交点 P 的坐标.

图 2319 → → → → 【解】 设 P(x, y), 则DP=(x-1, y),DB=(5,4), CA=(-3,6),DC=(4,0). → → 由 B,P,D 三点共线可得DP=λDB=(5λ,4λ). → → → 又∵CP=DP-DC=(5λ-4,4λ), → → 由于CP与CA共线得,(5λ-4)×6+12λ=0, → 4 → ?20 16? 4 解之得 λ=7,∴DP=7DB=? 7 , 7 ?, ? ? ?27 16? ∴P 的坐标为? 7 , 7 ?. ? ? [能力提升] 1.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数,且(a+λb)∥c,则 λ 等于________. 【解析】 a+λb=(1,2)+(λ,0)=(1+λ,2),

1 因为(a+λb)∥c,所以 4(1+λ)-6=0,故 λ=2. 【答案】 1 2

2.设 a=(6,3a),b=(2,x2-2x),且满足 a∥b 的实数 x 存在,则实数 a 的 取值范围是________. 【解析】 a∥b,∴6(x2-2x)-2×3a=0,即 a=x2-2x,

∴a=(x-1)2-1≥-1. 【答案】 [-1,+∞)

→ → → 3.已知向量OA=(1,3),OB=(2,-1),OC=(m+1,m-2),若点 A,B, C 能构成三角形,则实数 m 应满足的条件为________. 【解析】 由 A,B,C 能构成三角形知,A,B,C 三点不共线,

→ → ∴AB与AC不共线,

→ → ∴AB≠λAC(λ 为实数). → → → → → → ∵AB=OB-OA=(1,-4),AC=OC-OA=(m,m-5), ∴(1,-4)≠λ(m,m-5), -4 1 即λm≠ ,∴m≠1. λ?m-5? 【答案】 m≠1

4.如图 2320,在?OABP 中,过点 P 的直线与线段 OA,OB 分别相交于点 → → → → M,N,若OM=xOA,ON=yOB(0<x<1).

图 2320 (1)求 y=f(x)的解析式; (2)令 F(x)= 【解】 1 +x,判断 F(x)的单调性,并给出你的证明. f?x?

→ → → → → → → → → (1)OP=AB=OB-OA,则NM=OM-ON=xOA-yOB,

→ → → → → → MP=OP-OM=(OB-OA)-xOA → → =-(1+x)OA+OB. → → 又NM∥MP,有 x-y(1+x)=0, 即 y=f(x)= x (0<x<1). x+1

(2)F(x)在(0,1)上单调递减,证明如下: 设 0<x1<x2<1,则 x1+1 1 1 F(x1)= x +x1=x +x1+1,F(x2)=x +x2+1, 1 1 2 x1-x2 1 1 ∴F(x2)-F(x1)=x -x +(x2-x1)= x x +x2-x1
2 1 1 2



?x2-x1??x1x2-1? . x1x2

又 0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,x1x2-1<0,

∴F(x2)-F(x1)<0,即 F(x2)<F(x1), ∴F(x)在(0,1)上为减函数.


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