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苏教版高中数学选修2-2第1章 导数及其应用导数的运算习题


苏教版高中数学选修 2-2 第 1 章 导数及其应用导数的运算习题

知识导入(

进入美妙的世界啦~)

(一)导数的计算与定积分
知识梳理
1. 导数运算法则 导数运算法则
' ' 1. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? g ( x) '

2. ? f ( x) g ( x)?? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)

? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? ( g ( x) ? 0) 3. ? ? 2 g ( x ) ? g ( x) ? ? ?
2. 复合函数的求导法则 如果函数 ? ( x ) 在点 x 处可导,函数 f (u)在点 u= ? ( x ) 处可导,则复合函数 y= f (u)=f [ ? ( x ) ]在点 x 处也可导,则 (f [ ? ( x ) ])ˊ=

'

f ??? ( x)? ? ?( x)

或记作

? ? u? y? x = yu x

3. 定积分的几何意义 如果在区间 ? a, b? 上函数 f ( x ) 连续且恒有 f ( x) ? 0 ,那么定积分

?

b

a

f ( x)dx 表示由直线

x ? a, x ? b( a ? b), y ? 0 和 y ? f ( x) 所围成的曲边梯形的面积.
4.定积分的性质 (1) (2) (3)

?

b

a b

kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx ( k 为常数)
a b 1 2 a

b

? ? f ( x) ? f ( x)? dx ? ?
a

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a b c

b

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a ? c ? b )
a

c

(二)切线方程

知识梳理
1.导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜 率,也就是说,曲线 y ? f ( x) 在点 P ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率是 f ' ( x0 ) ,切线方程为

y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) .
2. 求切线方程可分为两类: (1)求曲线 f ( x ) 在某点(切点) ( x0 , y0 ) 处的切线 步骤:1)求 k ? f ?( x0 ) ; 2)点斜式求方程 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) (2)求过某点(非切点) ( x1 , y1 ) 的切线 步骤:1)设切点 ( x0 , y0 ) ,则 y0 ? f ( x0 ) 2) k ? f ?( x0 ) , 3)解 x0 , k ,

k?

y1 ? y0 x1 ? x0

?

y1 ? f ( x0 ) x1 ? x0

f ?( x0 ) ?

y1 ? f ( x0 ) x1 ? x0

4)点斜式求方程 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 )

(三)函数的单调性、极值和最值
知识梳理
1. 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系: 设函数在某个区间 ? a, b ? 内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调 递增; 如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数在这个区间内单调递减. 2. 函数极值的定义 函数 y ? f ( x) 在定义域内可导,若 f ?(a) ? 0 ,且在 x ? a 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧

f ?( x) ? 0 .则点 a 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值点, f (a ) 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值;
若 f ?(b) ? 0 ,且在 x ? b 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 .则点 b 叫做函数 y ? f ( x) 的极大值点, f (b) 叫做函数 y ? f ( x) 的极大值. 3. 函数的最值 一般地,求函数 y ? f ( x) 在闭区间 ? a, b? 上的最大值与最小值步骤:

(1)求函数 y ? f ( x) 在 ? a, b ? 内的极值点,并求极值; (2)将函数 y ? f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) , f (b) 比较,其中最大的一个是最 大值,最小的一个是最小值; (3)若函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 内不存在极值点或极值点不在区间 ? a, b ? 内,则根据函 数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 内的单调性判断最值.

知识

典例(

注意咯,下面可是黄金部分!)

考点一:导数的计算与定积分 例 1.求下列函数的导数: (1) f ( x) ? x ln( x2 ? 1) (2) f ( x) ?

sin 3 x cos x

例 2. 求抛物线 y ? 2 x 与直线 y ? 4 ? x 围成的平面图形的面积.
2

巩固训练
1. 求由曲线

y ? x2 与 y ? 2 ? x2 围成的平面图形的面积.

2. 设 y ? f ( x) 是二次函数,方程 f ( x) ? 0 有两个相等的实根,且 f ?( x) ? 2 x ? 2. (1)求函数 y ? f ( x) 的表达式; (2)若直线 x ? ?t (0 ? t ? 1) 把 y ? f ( x) 的图象与两坐标轴围成的面积二等分,求 t 的值.

考点二:切线方程

例题精讲
例 1. 已 知 函 数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ?

x ( 1 ) 求 f ( x) 的 单 调 区 间 ; x ?1

(2)求曲线 y ? f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线方程.

巩固训练
1.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 1 过点 (1, 2 ? a) 的切线方程与直线 3x ? y ? 7 ? 0 平行,求此
3 2

切线方程.

考点三:函数的单调性、极值和最值 例 1. 已知函数 y ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 3, x ? ? ,1? ,求此函数的 3 (1)单调区间; (2)值域.

?2 ? ? ?

2 3 例 2.设函数 f ( x) ? 1 ? (1 ? a) x ? x ? x ,其中 a ? 0 .

(1)讨论 f ( x ) 在其定义域上的单调性; (2)当 x ??0,1? 时,求 f ( x ) 取得最大值和最小值时 x 的值.

巩固训练
1. 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x . (1)求

f ?(2) 的值;(2)求函数 f ( x) 的单调区间.

2.已知幂函数 f ( x) ? x?m

2

?2m?3

(m ? Z ) 为偶函数,且在区间 ? 0, ?? ? 上是单调增函数.

(1)求函数 f ( x ) 的解析式. (2)设函数 g ( x) ?

1 9 f ( x) ? ax 3 ? x 2 ? b( x ? R ) , 其中 a, b ? R .若函数 g ( x) 仅在 x ? 0 处 4 2

有极值,求 a 的取值范围.

回顾小结
( 一、方法小结: 一日悟一理,日久而成学)

二、本节课我做的比较好的地方是:

三、我需要努力的地方是:

课后作业
2 1. 点 P 是 曲 线 y ? x ? ln x 上 任 意 一 点 , 则 点 P 到 直 线 y ? x ? 2 的 距 离 的 最 小 值 是

( A .1 B. 2 C.2 D. 2 2



2. 设 函 数 f ( x ) 为 可 导 函 数 , 且 满 足 lim
x ?0

f (1) ? f (1 ? x) = - 1 , 则 曲 线 y ? f ( x) 在 点 2x

?1, f (1) ? 处的切线
的斜率是( A.2 ) B.-1 C.

1 2

D.-2 )

3 2 2 3.函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1 处有极值 10, 则点 ( a, b) 为(

A. (3,?3)

B. ( ?4,11)

C. (3,?3) 或 ( ?4,11)

D.不存在

4.以初速度 40m / s 坚直向上抛掷一物体, t 秒时刻的速度为 v ? 40 ? 10t 2 ,则此物体所能 到达的最高 高度是( A. ) B.

160 m 3

80 m 3

C.

40 m 3

D.

20 m 3


5.已知函数 f ( x) ? ax ? b ,若

?

1

?1

f 2 ( x) ? 1 ,则 f (a ) 的取值范围是(
C. [?

A. [

2 19 , ] 2 12

B. [ ,

1 2

19 ] 2

2 19 , ] 2 12

D. [ ?

1 19 , ] 2 2

6. 若两曲线 y ? x 2 ? k 2 与直线 y ? 2 kx 及 y 轴围成的图形的面积是 S ? 9 ,则 k 的值为 ______ .

7. 若 f ( x ) 是 一 次 函 数 , 且 是 .

?

1

0

f ( x)dx ? 5, ? xf ( x) dx ?
0

1

17 , 那 么 函 数 f ( x) 的 解 析 式 6

8.已知点 P 在曲线 y ? x2 ?1 上,它的横坐标为 a(a ? 0) ,由点 P 作曲线 y ? x2 的切线 PQ, (Q 为切点). (1)求切线 PQ 的方程; (2)求证:由上述切线与 y ? x2 所围成图形的面积 S 与 a 无关.

9.设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值. (1)求 a、b 的值; (2)若对于任意的 x ? [0, 3] ,都有 f ( x) ? c2 成立,求 c 的取值范围.

10.已知函数 f ( x) ? x2 ? 8ln x , g ( x) ? ? x2 ? 14 x . (1)若函数 y ? f ( x) 和函数 y ? g ( x) 在区间 ? a, a ? 1? 上均为增函数, 求实数 a 的取值范围. (2)若方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解,求实数 m 的值.


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