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平面向量的基本概念与线性运算


5、1 教学目标:

平面向量的基本概念不线性运算

1、 理解平面向量的概念 2、 结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则 和三角形法则 3、 掌握向量共线的条件,能解决共线问题

检测:

??? ? ??? ?? ? ? 1、若 ABCD 是正方形,E 是 CD 的中点,且 AB ? a , AD ? b, ??? ? ? ? 用 a , b 表示 BE
2、已知 O、A、B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,

? ??? ??? ? ??? ? ? 满足 2 AC ? CB ? 0 则 OC ? ( ) , ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? A.2OA ? OB B. ? OA ? 2OB ? ? ? ? 1 ??? 2 ??? 2 ??? 1 ??? C. OA ? OB D. ? OA ? OB 3 3 3 3

一、基本概念 1、 既有大小又有方向的量叫做向量,向量可以用有向线段来表示。

??? ? ??? ? ??? ? 2、 向量 AB 的大小,也就是 AB 的长度(或称模) ,记作 AB ? 3、 长度为 0 的向量叫零向量, 记作 0 , 长度为 1 个单位长度的向量叫做
单位向量 4、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,也叫共线向量,

? 规定: 0 不任一向量平行

5、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量

? ? 6、不 a 长度相等,方向相反的向量,叫做 a 的相反向量

二、线性运算:加法、减法、数乘 7、向量加法的法则有:三角形法则和平行四边形法则 8、向量加法满足交换律和结合律:

? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? a?b?b?a ( a ? b) ? c ? a ? (b ? c ) ? ? ? 9、实数 ? 不向量 a 的乘积 ? a 是一个向量,它的长度是 a 的 ? 倍,即
? ? ? ? ? a ? ? a 。它的方向,当 ? ? 0 时不 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,不 a 的 ? ? 方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0

? ? 10、设 a , b 是任意向量, ? , ? 是实数,则: ? ? (1)结合律: ? ( ? a ) ? (?? )a ? ? ? (2)分配律: (? ? ? )a ? ? a ? ? a ? ? ? ? ? ( a ? b) ? ? a ? ? b

三、共线问题 11、向量共线的判断:

? ? (1)若 a , b 是两个非零向量,则它们共线的充要条件是:有且只有一个 ? ? 实数 ? ,使 b ? ? a ? ? (2)若 a , b 是两个非零向量,则它们共线的充要条件是:存在两个均 ? ? ? 丌是零的实数 ? , ? ,使 ? a ? ? b ? 0

考点一:向量的概念 例 1、给出下列命题,正确命题的个数( ) (1) 零向量是唯一没有方向的向量 (2) 平面内的单位向量有且仅有一个

? ? ? ? ? ? (3) a与b 是共线向量,b与c 是平行向量, a与c 是方向相 则
同的向量 (4) 相等的向量必是共线向量

考点二:向量的线性运算

??? ? ??? ? ? ? 例 2、 ? ABCD 中,E 是 CD 的中点,且 AB ? a, AD ? b ,则 ??? ? BD ? ( ) ? 1? ? 1? A、 b ? a B、 b ? a 2 2 ? 1? ? 1? C、 a ? b D、 a ? b 2 2

考点三:向量共线问题

? ? 例 3、设两个非零向量 a与b 丌共线, ??? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ?? (1) 若 AB ? a ? b, BC ? 2a ? 8b, CD ? 3(a ? b) ,求证:
? ? ? ? (2) 试确定实数 k,使 ka ? b和a ? kb 共线
A,B,D 三点共线


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