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第一章角的概念的推广学案


高中数学 必修 3 第一章基本初等函数(Ⅱ)

学案

班级_______________姓名___________________

§1.1.1 角的概念的推广 学习目标 1. 理解任意角、象限角的概念,会用集合语言表示终边相同的角; 2. 通过学习,培养学生的类比思维能力、形象思维能力; 3. 通过对任意角的概念的学习,体验角的概念扩展的必要性,促进学生对数学知识形成过 程的认识.用数学知识认识世界,从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质. 重点难点 重点:任意角的概念,用集合表示终边相同的角. 难点:角的概念的推广,终边相同的角之间的关系. 学法指导 通过回忆已有知识和观察日常生活中的实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入 坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法. 知识链接 回忆初中所学的角的定义,任意角概念的学习为以后三角函数的建立做好了准备. 问题探究 探究1:任意角的概念 1.初中时,我们已学习了 0? ? 360? 角的概念,它是如何定义的呢? (1)角可以看成是由平面内的一点出发的两条 所组成的图形. (2)角可以看成平面内的一条 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.一条 射线由原来的位置 OA ,绕着它的端点 O 按逆时针方向旋转到终止位置 OB ,就形成角 ? .旋 转开始时的射线 OA 叫做角的 , OB 叫做角的 ,射线的端点 O 叫做叫做角的 . 以上两种定义方式哪一种更科学、合理?为什么? 2.在体操比赛中我们经常听到这样的术语: “转体 720? ” (即转体 2 周) , “转体 1080? ” (即 转体 3 周)等,都是遇到大于 360? 的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否 再举出几个现实生活中“大于 360? 的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什 么问题?又该如何区分和表示这些角呢? 为了区别起见,我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫做 __,按顺时针方向旋转所 形成的角叫做 __.如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个 __.这样,我 们就把角的概念推广到了任意角,包括 __、 __和 __. 为了简单起见,在不引起 混淆的前提下, “角 ? ”或“ ?? ”可简记为 ? . 探究2:象限角 在今后的学习中,我们常在直角坐标系内讨论角,为此我们必须了解象限角这个概念.
1

角的顶点与

___重合,角的始边与_____轴的非负半轴重合.那么,角的终边(除端点外)

在第几象限,我们就说这个角是________________.如 30? 角、 ?210? 角分别是第______象限 角和第______象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个 象限,称为__________. 探究3:终边相同的角 将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之, 对于直角坐标系中任意一条射线 OB (如图 1.1-5),以它为终边的角是否唯一 ?如果不惟一, 那么终边相同的角有什么关系? 一般地,我们有:所有与角 ? 终边相同的角,连同角 ? 在内,可构成一个集合 ______________________________, 即任一与角 ? 终边相同的角, 都可以表示成角 ? 与整数 个周角的和. 典型例题 例 1. 在 0? ? 360? 范围内,找出与 -950?12' 角终边相同的角,并判定它是第几象限角.(注:
0?-360? 是指 0? ? ? ? 360? )

例 2.写出终边在 y 轴上的角的集合.

拓展:你能写出终边在 x 轴上,终边坐标轴上的角的集合吗?第一、二、三、四象限角的集 合呢? 例 3.写出终边在直线 y ? x 上的角的集合 S ,并把 S 中适合不等式 ?360? ? ? ? 720? 的元素 ? 写出来.

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A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 5. 若 α 与 β 的终边互为反向延长线,则有( ). A. ? ? ? ? 1800 拓展:你能写出终边在在直线y=-x上的角的集合吗? C. ? ? ?? B. ? ? ? ? 1800

D. 第四象限角

D. ? ? ? ? ?2k ? 1? ?1800 , k ? Z

6.钟表经过4 小时,时针与分针各转了_______,________. (填度数)

例4.若角 ? 是第一象限角,判断2 ? ,

? ? , 各是第几象限角. 2 3

7.与 1840°终边相同的最小正角为_______,与-1840°终边相同的最小正角是 _ . 8.将下列各角表示为 ? ? k ? 3600 k ? Z ,00 ? ? ?3600 的形式,并判断角在第几象限. (1) 5600 24? ; (2) ? 5600 24? .

?

?

9. 写出与下列各角终边相同的角的集合, 并把集合中适合不等式 ? 7200 ? ? ?7200 的元素 ? 写 出来. 目标检测 1. 下列说法正确的有几个( ). (1)锐角是第一象限的角;(2)第一象限的角都是锐角; (3)小于 90°的角是锐角;(4)0°~90°的角是锐角. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D .4 个 2. 已知角的顶点与坐标原点重合,始边在x 轴的非负半轴上,则角 8850 是第( A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. 若 A ? a a ? k ? 3600 , k ? Z ; B ? a a ? k ?1800 , k ? Z ; C ? a k ? 900 , k ? Z . 则下列关系正确的 是( ) . B. A ? B ? C C. A ? B ? C ) .
2

(1) ? 2100 ;

(2) 13420 51? .

)象限角.

?

?

?

?

?

?

A. A ? B ? C

D. A ? B ? C

10.现在是8点5分,经过2小时15分钟后,钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少?此时它 们所成的角为多少?

4.若 ? 是第四象限角,则 1800 ? ? 是(

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把长度等于_______的_____所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用符号_____表示. 读作弧 度.今后用弧度制表示角时, “弧度”二字或单位符号“rad”可以省略不写, 如:3 表示 3rad , sin?表示?rad 角的正弦. (2) 如图,半径为 r 的圆的圆心与原点重合,角 ? 的终边与 x 轴的正半轴重合,交圆于点 A ,终边与圆交于点 B .请完成表格. 总结反思 本节课我们主要学习了:1.任意角包括正角、负角、零角;2. 象限角与轴线角; 3.终边相同的角. 作业布置 1. 练习A组第1,,3,4,6题. 2. 结合导学案预习§1.1.2 弧度制. 弧 AB 的 长 ?r 2? r r 2r
OB 旋转的方 向 逆时针方向 逆时针方向 ?AOB 的弧度 数 ?AOB 的度 数
y B ? A x O

??
0
180? 180?

1 ?2

§1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 学习目标 1. (1)理解弧度制的定义,熟练地进行角度制与弧度制的换算; (2)掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式; (3)理解在弧度制下,角的集合与实数集 R 之间建立的一一对应关系. 2.通过弧度制的学习,理解并认识到角度制和弧度制都是对角度量的方法, 二者是辨证统一 的,不是孤立、割裂的关系.经历用类比方法学习新知识的过程,认识类比方法的重要性. 3.通过对现实生活中一些量的不同单位制的度量,引发学生学习弧度制的兴趣. 重点难点 重点:理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用. 难点:理解弧度制定义,弧度制的运用. 学法指导 在我们所掌握的知识中,知道角的度量是用角度制,但是为了以后的学习,我们引入了 弧度制的概念,我们一定要准确理解弧度制的定义,在理解定义的基础上熟练掌握角度制与 弧度制的互化. 知识链接 角度制规定:将一个圆周分成 360 份,每一份叫做 1 度,故一周等于 360 度,平角等于 180 度,直角等于 90 度等等. 问题探究 探究1: (1)弧度制是什么呢?1 弧度是什么意思?一周是多少弧度?半周呢?直角等于多少弧 度?请看课本 P7-P8,自行解决上述问题.
3

角有______、______、______之分,它的弧度数也应该有正、负、零之分.一般地, 正角的 弧度数是一个_______,负角的弧度数是一个_______,零角的弧度数是_______. (3) 如果一个半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对的弧长是 l ,那么 a 的弧度数是多少? 角 ? 的弧度数的绝对值是:___________,其中, ? 的正负由角 ? 的终边的旋转方向来决定. 探究 2:弧度与角度的换算
rad , 360?=_____ rad, 180?=_____ rad, 1?= _____rad ? 0.01745

1rad ? _____? ? _____? ? 57?18'
特殊角的角度数与弧度数的对应值表: 角度 弧度 角度 弧度 探究3:弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式 1 1 (1) l ? ? R ; (2) S ? ? R 2 ; (3) S ? lR . 2 2 其中 R 是半径, l 是弧长, ? (0 ? ? ? 2? ) 为圆心角, S 是扇形的面积.你会推导吗? 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

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探究 4:角的集合与实数集 R 的对应关系 角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集 R 之间建立了_________关系: 即每一 个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的 一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应. 目标检测 典型例题 例 1.按照下列要求,把 67?30' 化成弧度: (1)精确值; (2)精确到 0.001 的近似值. 1.下列各对角中终边相同的角是( A. ). C. ?
7? 11? 和 9 9

? ? ? 22 和 ? ? 2k? (k ? Z ) B. ? 和 2 2 3 2 2. 时钟经过一小时,时针转过了( ).
A.

D.

20? 122? 和 3 9

?
6

rad

B. ?

?
6

rad

C.

?
12

rad

D. ?

?
12

rad

例 2.将 3.14 rad 换算成角度(用度数表示,精确到 0.001).

3. 两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2,则两个扇形周长的比为( ). A. 1 : 2 B. 1 : 4 C. 1 : 2 D1 : 8 4. 下列命题中正确的命题是( ). A. 若两扇形面积的比是1∶4,则两扇形弧长的比是 1∶2. B. 若扇形的弧长一定,则面积存在最大值. C. 若扇形的面积一定,则弧长存在最小值. D. 任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系. 5. 一个半径为 R 的扇形,它的周长是4R,则这个扇形所含弓形的面积是( ). A.
1 ?2 ? sin 1cos 1? ? R 2 2 1 B. sin 1cos 1 ? R 2 2 1 C. R 2 2

D. ?1 ? sin 1cos1? ? R 2

6. 若 ?? =-216° ,l???7?? ,则r = 例 3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式: 1 1 (1) l ? ? R ; (2) S ? ? R 2 ; (3) S ? lR . 2 2 其中 R 是半径, l 是弧长, ? (0 ? ? ? 2? ) 为圆心角, S 是扇形的面积. 8. (1)把 112??30 ' 化成弧度制; 为r ).

_______(其中扇形的圆心角为 ?? ,弧长为 l ,半径

7. 圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长,则其圆心角的弧度数为 (2)把 ?

_____.

5? 化成角度制. 12

例 4.利用计算器比较 sin1.5 和 sin85 的大小.
4

?

9. (1) sin

?
3

tan

?
3

? tan

?
6

cos

?
6

? tan

?
4

cos

?
2

;

(2) a sin

?
3

? b cos

?
4

? c tan 0.

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知识链接 借助直角三角形,回忆锐角三角函数的定义. 问题探究 10. 已知扇形 AOB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,则弦 AB的长等于多少cm? 探究1:锐角三角函数 思考:你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 设锐角 ? 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在

? 的终边上任取一点 P(a, b) ,它与原点的距离 r ? a2 ? b2 ? 0 .过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ,
总结反思 本节课我们主要学习了:1. 弧度制的定义;2. 弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式; 3. 角的集合与实数集 R 之间建立的一一对应关系. 作业布置 1. 练习 A组第2,3,5,B组5题. 2. 结合导学案预习§1.2.1 任意角的三角函数(一). 则 线 段 OM 的 长 度 为 a , 线 段 MP 的 长 度 为 b . 则 sin ? ?
tan ? ? MP b ? . OM a MP b OM a ? ; cos ? ? ? ; OP r OP r

思考:对于确定的角 ? ,这三个比值是否会随点 P 在 ? 终边上的位置的改变而改变呢? 我们可以将点取在使线段 OP 的长 r ? 1 的特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内 的点的坐标表示锐角三角函数:
sin ? ? MP ?b; OP cos ? ? OM ?a; OP tan ? ? MP b ? . OM a

§1.2.1 三角函数的定义 学习目标 1. (1)借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义; (2)从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号;. 2. 能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题. 3.让学生积极参与知识的形成过程,经历知识的“发现”过程,培养合情猜测能力. 重点难点 重点:任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 难点:用角终边上的点刻画三角函数. 学法指导 任意角的三角函数可以有不同的定义方法,本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正 弦函数、余弦函数,正切函数,这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接, 数形结合更加紧密,这就为后续内容的学习带来方便,也使三角函数更加好用了.
5

探究 2:任意角的三角函数 锐角 ? 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后, 我们应该 如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢? 定义方法 1: 利用单位圆定义任意角的三角函数 如图,设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于 点 P( x, y ) ,那么: (1) y 叫做 ? 的正弦,记做 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2) x 叫做 ? 的余弦,记做 cos? ,即 cos? ? x ;
y ( 3 ) 叫 做 ? 的 正 切 , 记 做 tan ? , 即 x
y P(x,y ) O x

a的终边

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tan ? ?

y ( x ? 0) . x

定义方法 2:思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求 它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点 P 在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我们 只需计算点到原点的距离 r ? x 2 ? y 2 ,那么
sin ? =

sin ? ? 0 例 3.求证:当且仅当不等式组 { 成立时,角 ? 为第三象限角.反之也对. tan ? ? 0

y x y , cos? = , tan ? ? . r x r

例 4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: ? (1) cos 250? ; (2) sin( ? ) ; (3) tan(?672? ) ; (4) tan 3? 4

所以, 三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 又因 为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 故三角函数也可以看成实数为自变量的函 数. 探究 3:三角函数的定义域,三角函数值在各象限的符号 请根据任意角的三角函数定义,将正弦、 余弦和正切函数的定义域填入下表; 再将这三种 函数的值在各个象限的符号填入表格中: 三角函 数
sin ?

例 5.求函数 y ?

sin x cos x tan x 的值域. ? ? sin x cos x tan x

定义域 角度制 弧度制

第一象 限

第二象 限

第三象 限

第四象 限 1.

目标检测

? ? ? 设角 ? 是第一象限角,且 sin 2 ? ? sin 2 ,则 2 是(
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D.

) 第四象限角 ).

cos?
tan ?

2. 若三角形的两内角 ? , ? 满足 sin ? cos? <0, 则此三角形必为( A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
5)

三种函数的值在各个象限的符号记忆口诀: “一全二正弦,三切四余弦” 。

C. 直角三角形 D. 以上三种情况都可能
2 x ,sin ? =( 4

3.若 ? 是第二象限角,点P(x, 典型例题 例1. 求
5? 的正弦、余弦和正切值. 3

为其终边上一点,cos ? ?
2 4

).

A.

10 4

B.

6 4

C .

D. ?

10 4

4.若 ? 是第三象限角,则下列各式中不成立的是( ). 例 2.已知角 ? 的终边过点 P0 (?3, ?4) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值.
6

A. sin ? ? cos ? ? 0

B. tan ? ? sin ? ? 0

C. cos ? ? tan ? ? 0

D. sin ? tan ? ? 0

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5.设f(n)= tan( A.0

n? ? ? ), 则f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2005)的值为( 2 4

).

3.让学生积极参与知识的形成过程,经历知识的“发现”过程,培养合情猜测能力,体会数 形结合的思想在数学中的应用. 重点难点 重点:诱导公式一. 学法指导 角是一个图形概念,也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数--三角函数是一个 数量概念(比值) ,但它是否也是一个图形概念呢?换句话说,能否用几何方式来表示三角 函数呢?这就是本节课我们要学习的内容. 知识链接 回忆任意角的三角函数的定义,三角函数的定义域、函数值的符号. 难点:三角函数线.

B.-1

C.1

D.2

6. 已知角 ? 的终边经过 点 (2a - 3,4 -a), 且 cos? ? 0, sin ? ? 0, 则 ? 的取值范围 ________________. 7.使 lg(sin? ? cos? ) ? ? cos? 有意义的角 ? 在第_______象限. 8.确定下列各式的符号. (1)sin100° ?cos240° ; (2)sin5+tan5.
x , 求 sin ? 和 tan ? 的值. 3

9.已知角 ? 的终边上一点P的坐标是(x,-2),且 cos ? ?

问题探究 探究 1:诱导公式一 思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然:___________的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? , tan(? ? 2k? ) ? tan ?

?1? 10.已知 ? ? ? 2?

sin 2?

(其中 k ? Z )

<1, 则 ? 为第几象限角? 公式一的作用:利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求 0 到 2? (或 0? 到 360? ) 角的三角函数值. 探究 2:三角函数线 当角 ? 为第一象限角时, 则其终边与单位圆必有一

总结反思 本节课我们主要学习了:1. 任意角的三角函数的定义; 2. 三角函数的定义域、函数值的符号;3. 诱导公式一. 作业布置 1. 练习 A 组 1、3.练习 B 组 1、3. 2. 结合导学案预习§1.2.2 单位圆与三 角函数线 . §1.2.2 单位圆与三角函数线 学习目标 1. (1)从任意角的三角函数的定义理解诱导公式一; (2)理解单位圆中的三角函数线,会画某角的正弦线、余弦线、正切线. 2. 能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题.
7

个交点 P( x, y ) ,过点 P 作 PM ? x 轴交 x 轴于点 M ,则 请你观察: 根 据 三 角 函 数 的 定 义 : | MP |?| y |?| sin ? | ;
| OM |?| x |?| cos ? |
O

y a角的终 边 P T

M A

x

随着 ? 在第一象限内转动, MP 、OM 是否也跟着 变化? 思考: (1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能 MP 否给线段 、 OM 规定一个适当的方向,使它们的取值与点 P 的坐标一致? (2)你能借助单位圆,找到一条如 MP 、 OM 一样的线段来表示角 ? 的正切值吗? 我们知道, 直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角 ? 的终边不在坐标轴时,以 O 为始点、 M 为终点,规定:

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当线段 OM 与 x 轴同向时,OM 的方向为_______,且有正值____;当线段 OM 与 x 轴反 向时, OM 的方向为______,且有负值____;其中 x 为 P 点的横坐标.这样,无论那种情况都 有 OM ? x ? cos ? 同理,当角 ? 的终边不在 x 轴上时,以 M 为始点、 P 为终点,规定: 当线段 MP 与 y 轴同向时, MP 的方向为_______,且有正值____;当线段 MP 与 y 轴反 向时, MP 的方向为______,且有负值____;其中 y 为 P 点的横坐标.这样,无论那种情况都 有 MP ? y ? sin ? 像 MP、OM 这种被看作带有方向的线段,叫做____________. 思考:如何用有向线段来表示角 ? 的正切呢? 如上图,过点 A(1,0) 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与 ? 的终边交于点 T , 请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段 OA、AT ,我们有 y tan ? ? AT ? x 我们把这三条与单位圆有关的有向线段_____,_____,______,分别叫做角 ? 的正弦线、 余弦线、正切线,统称为_____________. 探究: (1)当角 ? 的终边在第二、第三、第四象限时,你能分别作出它们的正弦线、余 弦线和正切线吗? (2)当 ? 的终边与 x 轴或 y 轴重合时,又是怎样的情形呢? 典型例题 例 1.求下列三角函数值: (1) sin1480?10' ; (2) cos
9? ; 4

(3) tan(?

11? ) 6

例 2.求值:?sin ???1320? ??cos1110?

? cos ???1020? ?sin 750?

??tan 495?? .

例 3.利用单位圆中的三角函数线,完成下列各题: (1)求证: sin ? ? cos? ? 1 ; (2)当 ? ?(0,

? )时,求证: sin ? ? ? ? tan ? . 2

1 (3)求使 sin ? ? ? 成立的角 ? 的取值范围. 2

目标检测 1.无论角 ? 的终边位置如何,在单位圆中作三角函数线时,下列说法中正确的是:( A.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线 B.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线,但有可能不只一条 C.正弦线、余弦线、正切线都可能不存在 D.正弦线、余弦线总存在,但正切线不一定存在 2.角 ? 的正弦线与余弦线长度相等,且符号相同,那么 ? (0< ? <2 ? )的值为( )
8

)

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A.

? 4

5 B. ? 4

C.

? 5 或 ? 4 4

D.以上答案都不对

本节课我们主要学习了:1. 诱导公式一; 作业布置 1. 练习B组.

2. 三角函数线.

25 ? 15 ? 3.(1) cos ? ? tan? ? ? ? =_________; 3 ? 4 ?

2. 结合导学案预习§1.2.2 同角三角函数的基本关系. §1.2.3 同角三角函数的基本关系

(2) sin 4200 cos7500 + sin(?6900 ) cos(?6600 ) =___________. 4.在(0, 2? )内,使 sin ? ? cos ? 成立的 ? 的取值范围是( ) 学习目标

? ? ? 5 ? A. ( , ) ? ? ? , ? ? 4 2 ? 4 ?

B.(

? ,? ) 4

C.(

? 5 , ?) 4 4

D. (

? 5 3 ,? ) ? ( ? , ? ) 4 2 4

5.sin1,sin1.2,sin1.5三者的大小关系是: A.sin1>sin1.2>sin1.5 B.sin1>sin1.5>sin1.2 C.sin1.5>sin1.2>sin1 D.sin1.2>sin1>sin1.5 8? ?? ??_______;cos ???315???? ?? ______; ? ________ . 6. sin 390? tan 3 7.求值: sin ? 17400 ? cos14700 ? cos ? 6600 ? sin 7500 tan4050 .

1. (1)会推导并掌握同角三角函数的基本关系式; (2)熟练应用基本关系式进行三角函数的求值、化简与证明. 2.掌握同角三角函数基本关系式, 能灵活应用于解题, 提高分析、 解决三角问题的思维能力. 3.训练三角恒等变形的能力,进一步树立化归的思想方法. 重点难点 重点:同角三角函数的基本关系式的推导及应用. 难点:同角三角函数的基本关系式的几何推导;三角函数值符号的确定. 学法指导 利 用 三 角 函 数 线 的 定 义 , 推 导 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式 : sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 及
sin ? ? tan ? ,并灵活应用求三角函数值,化简三角函数式,证明三角恒等式等. cos ?

?

?

?

?

8.求值: 2 sin 2

25? ?? ? 11 ? 7? ? ? tan2 ? ? ? ? cot? ? ?. 4 ? 3 ? ? 4 ?

知识链接 回忆三角函数值的符号,三角函数线的定义. 问题探究

9.设 ? , ? 是关于 x 的二次方程 x ? 2?cos? ? 1?x ? cos ? ? 0 的两个实根,且 ? ? ? ? 2 2 ,
2 2

探究 1: 同角三角函数的基本关系 与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各 不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化. 问题:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 如图:以正弦线 MP ,余弦线 OM 和半径 OP 三者的长构成直角三 角形 , 而且 OP ? 1 . 由勾股定理由 MP ? OM ? 1 , 因此 x ? y ? 1 , 即
2 2

求 ? 的取值范围.

y P 1 M O A(1, 0) x

2

2

总结反思
9

高中数学 必修 3 第一章基本初等函数(Ⅱ)

学案

班级_______________姓名___________________

___________________.根据三角函数的定义,当 a ? k? ?

?
2

(k ? Z ) 时,有

sin ? ? _______. cos ?

这就是说,同一个角 ? 的正弦、余弦的平方和等于____,商等于角 ? 的_______.

典型例题
3 例 1.已知 sin ? ? ? ,求 cos ? , tan ? 的值. 5

例 5.求证:

cos ? sin ? 2(cos ? ? sin ? ) ? ? . 1 ? sin ? 1 ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ?

例 2.已知 tan? ? 2, 求下列各式的值: (1)
1 sin ? cos ?

(2)

1 1 ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

目标检测
3 1.已知 cos ? ? ? , ? 为第二象限角,那么 tan ? 的值等于( 5 4 4 3 A. B. ? C. 3 4 3

). D. ? ).
3 4

2.已知 sin ? ? cos? ? 例3.化简(1) cos4 ? ? sin 2 ? ? (1 ? cos2 ? ) ; (3) (2)
1 ? sin ? ? cos ? ? 2 sin ? cos ? ; 1 ? sin ? ? cos ?

1? 3 ,且 0< ? < ? ,则 tan ? 的值为( 2

A.-

1 ? sin ? 1 ? sin ? ; ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

(4)

tan ? ? tan ? sin ? 1 sin ? ? (1 ? )? . tan ? ? sin ? cos ? 1 ? sin ?

3 3

B. ? 3

C.

3 3

D. 3

sin ? ? cos ? 的值为( ). 2 sin ? ? 3 cos ? A.2 B.3 C.1 1 4.已知 ? 是三角形的内角, sin ? ? cos ? ? ,则 sin ? ? cos ? 的值为( 5 1 7 7 A. ? B. ? C. 5 5 5

3.已知 tan ? ? 2 ,求

D.-3 ). D.
1 5

例 4. 求证:

cos x 1 ? sin x ? . 1 ? sin x cos x
10

5.已知 tan ? ? 3 ,求 sin ? , cos? 的值.

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4 4 2 (2) tan2 ? ? sin 2 ? ? tan2 ? sin 2 ? . 6.求证:(1) sin ? ? cos ? ? 2 sin ? ? 1 ;

§1.2.4 三角函数的诱导公式(一) 学习目标 1. (1)理解并掌握诱导公式二、三、四; (2)初步应用诱导公式二、三、四进行三角函数的求值、化简与证明. 2.通过诱导公式二、三、四的推导,培养观察、分析、归纳的能力; 3.通过本节课学习,培养探索、创新的科学精神. 重点难点 重点:诱导公式二、三、四的推导及应用. 难点:如何从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中推导诱导公式二、三、四. 学法指导 由前面所学的诱导公式一,即终边相同的角的同一三角函数的值相等,可以把求任意角 的三角函数值,转化为求 0 到 2? (或 0? 到 360? )角的三角函数值,这节课我们来研究把求任 意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值的问题. 知识链接 回忆任意角三角函数的定义,对称问题,诱导公式一. 问题探究 探究 1: 角 ? ? ?与? ,角 ? ? ?与? ,角 - ?与? 的关系 我们利用单位圆定义了三角函数 , 而圆具有很好的对称性 . 能否利用圆的这种对称性来 研究三角函数的性质呢?

7.已知关于 x 的方程 2x 2 ? (1)

?

3 ? 1 x ? m ? 0 的两根为 sin ? 和 cos ? , ? ? ?0,2? ?,求:
(2)m 的值; (3)方程的两根及此时 ? 的值.

?

sin ? cos ? ? 的值; 1 1 ? tan ? 1? tan ?

总结反思 本节课我们主要学习了: 1. 同角三角函数的基本关系式; 2. 三角函数的求值、 化简与证明. 作业布置 1. 练习 A 组 1、2、3.B 组 2. 式(一). 2. 结合导学案预习§1.3 三角函数的诱导公
11

? 的终边关于_________对称. 给定一个角 ? . (1) 角 ? ? ?的终边与角

? 的终边关于_________对称. (2) 角 ? ? ?的终边与角
(3) 角 - ?的终边与? 的终边关于_________对称.

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结合三角函数的定义,由上述对称性来讨论这些角的三角函数的关系: 公式二: sin( ? + ? )=________, cos( ? + ? )=________, 公式三: sin(- ? )= ________, cos(- ? )=________, (π - ? ) =________, cos (π - ? )=________, 公式四:_sin 前面我们所学的公式一: __ sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? , tan(? ? 2k? ) ? tan ? 我们可以用下面一段话来概括公式一~四:
? ? k ? 2? (k ? Z ),?? , ? ? ?的三角函数值 , 等于?的 __________ ____, 前面加上一个把 ?看成 ________ 时原函数值的符号 .

tan( ? + ? )=________._ tan(- ? )=________. tan (π - ? ) =________.__ (其中 k ? Z ). 例3.已知 cos( 75 0 ? ? ) ?
1 , ? 为第三象限角.求 cos(1050 ? ? ) ? sin(? ? 1050 ) 的值. 3

即: 函数名不变,符号看象限(把 ? 看作锐角时) . 探究 2:把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
任意负角的 三角函数
用公式_________

任意正角的 三角函数

用公式_________ 0~ 2? 的角

的三角函数

2 ? 例4.化简: sin( k? ? ? ) cos( k? ? ) . 3 6

用公式_________ 锐角的

三角函数

查表 求值

即:“负化正,大化小,化到锐角就行了”. 典型例题 例 1.利用公式求下列各三角函数值:
11 (1)cos225°; (2)sin ? ; 3 16? (3)sin(- ) ; 3

目标检测 (4)cos(-2040°) . 1. 填空: sin( ?
10 4 25 25 ? ) ? ______ ; sin ? ? cos ? ? tan ? ? ________. 3 3 6 4

2. 给出下列各函数值:① sin(?10000 ) ;② cos(?22000 ) ;③ tan(?100 ) ;④

sin

7 ? cos? 10 17 tan ? 9

其中符号为负的的有( A.0 个 例 2.化简: B.1 个

). C.2 个 ). C. ? (sin 2 ? cos 2) D. sin 2 ? cos 2 D.3 个

cos(1800 ? ? ) ? sin(? ? 3600 ) . sin(?? ? 1800 ) ? cos(?1800 ? ? )

3. 1 ? 2 sin(? ? 2) cos(? ? 2) 等于( A. sin 2 ? cos 2
12

B. cos 2 ? sin 2

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4.△ABC 中, cos(2 A ? B ? C ) 等于( A.cosA B.-cosA

). C.sinA D.-sinA

作业布置 1. 1. P27/2 题,P28/1 题,P31/1 题; 的诱导公式(二). 2. 结合导学案预习§1.3 三角函数

3 5.已知 cos( ? ? ? ) ? ? ,且 ? 是第四象限角,则 sin(?2? ? ? ) ? __________. 5 4 19 21 6.求值:(1) cos(?26400 ) ? sin 16650 ; (2) sin( ? ? ) cos ? tan ? . 3 6 4

7.化简: (1)

sin(? ? n? ) ? sin(? ? n? ) cos1900 sin(?2100 ) ; (2) (n ? Z ) . 0 0 sin(? ? n? ) cos(? ? n? ) cos(?350 ) tan(?585 )

§1.2.4 三角函数的诱导公式(二) 学习目标 1. (1)理解并掌握诱导公式五、六; (2)综合应用诱导公式一~六进行三角函数的求值、化简与证明. 2. 通过诱导公式的推导及应用,提高学生分析问题和解决问题的能力. 3.通过归纳思维的训练,向学生渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的思想. 重点难点 重点:诱导公式五、六的推导,诱导公式一~六的应用. 难点:诱导公式一~六的综合应用. 学法指导
) ? ?1 , 求 9. 设 f ( x) ? a sin(?x ? ? ) ? b cos(?x ? ? ) , 其中 a, b, ? , ? 都是非零 实数 , 若 f (2006 f (2007) .

8 8.若 tan( ? ? ? ) ? m ,求 7

15 13 sin( ? ? ? ) ? 3 cos(? ? ? ) 7 7 的值. 20 22 sin( ? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 7 7

由诱导公式一~四,我们知道:

? ? k ? 2? (k ? Z ),?? , ? ? ?的三角函数值 , 等于?的同名函数值 , 前面加上一个把 ?看成锐角时原函数值的 符号.
这节课我们来研究 知识链接 回忆任意角三角函数的定义,对称问题,诱导公式二、三、四. 问题探究

?
2

??,

?
2

? ? 的三角函数值的转化问题.

总结反思 本节课我们主要学习了: 1.诱导公式二、三、四; 2.诱导公式二、三、四的应用.
13

探究 1: 诱导公式五 设任意角 ? 的终边与单位圆的交点 P 1 的坐标为 ( x, y ) .由于角

?
2

? ?的终边与角 ? 的终边

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关于直线 _________ 对称,角

?
2

? ?的终边与 单位圆的交点 P2 与点 P 1 关于直线 _________ 对

称,因此点 P2 的坐标为__________.于是我们有:
cos ? ? _____,

sin ? ? _____,
sin(

cos(

?
2

? ? ) ? _____,

sin(

?
2

? ? ) ? ______ .

从而得公式五:

?
2

? ? ) ? ________ ,

c o s ? ( ?) ? _ _ _ _ . _ _ _ 2

?

例3.化简:

1 ? 2 sin 2900 cos1100 . sin 2500 ? sin 200

探究2: 诱导公式六 ? ? 由于 ? ? ? ? ? ( ? ? ) ,由公式四及五可得公式六: 2 2 ? ? sin( ? ? ) ? ________ , c o s ? ( ? ) ? _ _ _ _ _. _ _ _ 2 2 公式五、六可以概括如下:
?
2 ? ?的正弦(余弦)函数值 , 分别等于?的 __________ 函数值, 前面加上一个把?看成 ________ 时原函数值的符号 .

? n? ? ? ) 的值. 例4.设 ? ? (0, ), sin ? ? m, n ? Z , 求 sin( 2 2

利用公式五或公式六,可以实现__________与__________的相互转化. 探究3: 诱导公式一~六的概括 诱导公式一~六可以概括为: “奇变偶不变,符号看象限(把 ? 看作锐角时) .你能解释 一下吗?

典型例题 例 1.证明: (1) sin(
3? ? ? ) ? ? cos ? ; 2

(2) cos(

3? ? ? ) ? ? sin ? . 2

目标检测 1.已知函数 f ( x) ? cos A. f (2? ? x) ? f ( x) 2.若 sin(? ? ? ) ? log 8 A.
5 3
x ,则下列各等式成立的是( 2

) D. f (? x) ? f ( x) )

B. f (2? ? x) ? f ( x)

C. f (? x) ? ? f ( x)

? 11 ? sin(2? ? ? ) cos(? ? ? ) cos( ? ? ) cos( ??) 2 2 例2.化简: . 9? cos(? ? ? ) sin(3? ? ? ) sin(?? ? ? ) sin( ? ? ) 2

1 ? ,且 ? ? (? ,0) ,则 cos(? ? ? ) 的值为( 4 2

B. -

5 3

C. ?

5 3

D.以上都不对 )

3.已知 cos( 75 0 ? ? ) ?

1 , ? 为第三象限角,则 cos( 150 ? ? ) ? sin(? ? 150 ) 的值为( 3

14

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A. ?

1 3

B. ?

2 2 3

C. ?

1? 2 2 3

D. )

1? 2 2 3

4.已知 A、B、C 是△ABC 的内角,下列等式成立的有(

① sin(A ? B) ? sin C ;② cos(A ? B) ? ? cosC ;③ tan( A ? B) ? ? tan C (C ?
B?C A ? sin . ④ sin 2 2

?
2

);

总结反思 本节课我们主要学习了: 作业布置 1.诱导公式五、六; 2.诱导公式一~六的综合应用.

A.0 个
2 0 2 0 2

B.1 个
0 2 0

C.2 个
2 0

D.3 个

1. P33/A 组 4 题,B 组;

2. 结合导学案预习§1.3.1 正弦函数的图象与性质.

5. sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? sin 88 ? sin 89 ? ______. 6. 已知 cos(

?
6

??) ?

2 2? ) 的值. ,求 sin(? ? 3 3 1 1 cos(60 ? ? ) ,求 的值. ? 0 3 tan( 30 ? ? ) 1 ? sin(600 ? ? )
0

§ 1.3.1 正弦函数的图象与性质(1) 学习目标 1.掌握作正弦函数图象的方法. 2.会用五点法作正弦函数的简图. 3. 培养学生数形转化的能力。 学法指导 教学重点:用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象. 教学难点:理解弧度值到 x 轴上点的对应。

7. 已知 sin(30 0 ? ? ) ?

8.求证: cos(k? ? ? ) ? (?1) k cos? (k ? Z ) .

学习过程 ※【合作探究】 1.复习引入 通过前面的学习,我们完成了研究三角函数的准备工作,实质上我们分几个阶段进行的。 (1)角的概念的扩充 (2)角度制与弧度制 (3)三角函数的定义 (4)诱导公式 2.正弦函数图象的作法: 问题(1)正弦函数定义 问题(2)用什么方法做出正弦函数的图象? 问题(3)利用单位圆中的正弦线,作出 y ? sin x, x ? ?0, 2? ? 的图象。

9.已知 f (cosx) ? cos17x ,求证: f (sin x) ? sin 17x .

15

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问题(4)怎样做出整个定义域上正弦函数的图象? 问题(5)正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象中,确定图象形状时哪些点起关键作用?在 这几个点附近的函数变化情况是怎样的? 【总结提升】 1 理解用单位圆的正弦线作正弦函数的图象。 2 会用“五点作图法”作正弦函数的图象。 学习评价 ※ 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测(时量:10 分钟) 1.用五点作图法作下列函数在 ? ?2? , 2? ? 上的图象: (1) y ? ? sin x

问题(6)用“五点作图法”作正弦函数的简图的步骤: (1)列表(2)描点(3)连线

※【精讲点拨】 例 1 用“五点作图法”作出下列函数的简图: (1) y ? 1 ? sin x, x ? ?0, 2? ?

(2) y ? sin x ? 2

例 2:利用正弦函数的图象,求满足条件的 x 的集合: 1. sin x ?
1 2

(3) y ? 1 ? sin x

2. sin x ? 0

(4) y ?| sin x |

16

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探究:由 y ? sin x, 的图象,分析其函数的性质: (5) y ? sin | x | 定义域:__________________ 值域:______________________ 奇偶性:__________________

2.用五点作图法作出下列函数的图象:
? (1) y ? 2sin(2x ? ), x ? ? ?? 6 , 6 ? ? 3 ? ?

?

? 5

? (2) y ? 2sin( x ? ) ? 3, x ? ? , ?? ? 3 ?3 3 ?

?

? 7

正弦型函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的性质与应用 复习回顾 1.正弦函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( x ?R) (其中 A、ω 、 ? 为常数且 A≠0 (1) y ? A sin(? x ? ? ) 的周期 T= 3.函数 y ? sin x, x ? ?0, 2? ? 的图象与函数 y ? 的图象的交点个数是( A 1 B 2 C 3 D 4
1 2

ω >0) 初相为

频率 f=



) 2.函数 y=Asinx 的值域是 最大值为 A ,最小值是 由此可知 A 的大小反

映曲线 y=Asinx 的波动幅度的大小。把函数 y=sinx 的图象所有点(当 ? >0)向 或(当 ? <0 时)向
17

平移

个单位长度就得到函数 y=

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sin(x+ ? )的图象。
2 ? 3.由 y=sinx 的图象通过变换得到的 y ? 3 sin( x ? ) 的图象主要有两个途径: 3 4

(1)先相位后周期即 (2)先周期后相位即 课前练习 1、已知函数 y ? 3 sin x 的图象为 C 。 ? (1)为了得到函数 y ? 3 sin( x ? ) 的图象,只需把 C 上的所有点___________________; 5 ? (2)为了得到函数 y ? 3 sin( 2 x ? ) 的图象,只需把 C 上的所有点___________________; 5 ? (3)为了得到函数 y ? 4 sin( x ? ) 的图象,只需把 C 上的所有点___________________; 5 ? 7? 2.已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内当 x= 时,取得最大值 2,当 x= 时取得最 12 12 小值-2 那么( ) 1 ? ? A. y ? sin( x ? ) B. y ? 2 sin( 2 x ? ) 2 3 3 问题探究 探究:以 y ? 3 sin(2 x ? ) 为例完成下面表格
4

A.关于原点成中心对称图形 B.关于 y 轴成轴对称图形 ? ? C.关于直线 x ? ? 成轴对称图形 D.关于直线 x ? 成轴对称图形 6 12 ? 例 2.作出函数 y ? 2sin( x ? ) ? 3 的图象,并写出它的周期,频率,初相,最值及单调区间。 3

? 变式练习:1.作出函数 y ? 2sin( ? x) ? 3 的图象,并写出它的周期,频率,初相,最值及单 3
调区间。

? 2.作出函数 y ? ?2sin( x ? ) ? 3 的图象,并写出它的周期,频率,初相,最值及单调区间。 3

例 3、已知函数 y ? A sin(?x ? ? )??( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的最小值为 ? 2 ,周期是 的图象过点 (0,? 2 ) ,求此函数的解析式。

2? ,且它 3

C. y ? 2 sin( 2 x ?

?

x ? ) D. y ? 2 sin( ? ) 6 2 6

π 例 4.如图 1 为函数 y=2sin(ωx+φ)(|φ|<2)的图象,那么 ( )

?

定义域 值域 最值 周期 对称中心 对称轴 单调区间 典型例题 巩固练习 一、选择题 2π ? 5 ? 1.函数 y=- sin?4x+ ?的图象与 x 轴各个交点中离原点最近的一点是( 3 ? 2 ? ) 10 π A.ω=11,φ=6 图1 10 π π B.ω=11,φ=-6 C.ω=2,φ=6

π D.ω=2,φ=-6

? 例 1.函数 y=2sin(2x+ )的图象( 3


18

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?π ? A.? ,0? 12 ? ?

? π ? B.?- ,0? 12 ? ?

? π ? C.?- ,0? 6 ? ?

?π ? D.? ,0? 6 ? ? ) D.向左平

C.最小正周期为

π 的奇函数 2

D.最小正周期为

π 的偶函数 2

π? ? 2.要得到函数 y=sinx 的图象,只需将函数 y=sin?x- ?的图象( 3? ? A.向右平移 移 π 个单位 6 π 个单位 6 B.向右平移 π 个单位 3 C.向左平移

?1 ? 7.一条正弦曲线的一个最高点为 ? ,3? ,从相邻的最低点到这个最高点的图象交 x 轴于 ?4 ? ? 1 ? ?- ,0?,最低点纵坐标为-3,则此曲线的解析式为( ? 4 ? π? ? A . y = 3sin ?π x+ ? 4? ? π? ? D.y=3sin?2π x- ? 8? ? 二、填空题 ) π? ? C . y = 3sin ?2π x+ ? 8? ?

π 个单位 3

π? ? B . y = 3sin ?π x- ? 4? ?

π? ?π ?? 3.已知简谐运动 f(x)=2sin? x+φ ??|φ |< ?的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小 2? ?3 ?? 正周期 T 和初相 φ 分别为 A.T=6,φ = φ= π 3 ) B .关于直线 x = π 对称 4 ?π ? C .关于点 ? ,0? 对称 ?4 ? π 6 B.T=6,φ = π 3 C.T=6π ,φ = π 6 D.T=6π ,

9.正弦函数 f(x)=Asin(ω x+ φ )+k(A>0,ω >0)的定义域为 R,周期为 值域为[-1,3],则 f(x)=________. 10.将最小正周期为 移

2π π ,初相为 , 3 6

π? ? 4.函数 y=sin?2x+ ?的图象( 3? ? ?π ? A .关 于 点 ? ,0? 对称 ?3 ? D.关于直线 x= π 对称 3

π π 的函数 g(x)= 2sin(ω x+φ + )(ω >0,|φ |<2π )的图象向左平 2 4

π 个单位长度,得到偶函数图象,则满足题意的 φ 的一个可能值为________. 4

?x ? 11.已知函数 f(x)=sin? +φ ?(φ 为常数),有以下命题: ?2 ? ①不论 φ 取何值,函数 f(x)的周期都是 π ; ②存在常数 φ ,使得函数 f(x)是偶函 ④若 φ <0,函数 f(x)

π? ? 1 ? ? 1 5.要得到 y=sin?- x?的图象,只需将 y=sin?- x- ?的图象( 6? ? 2 ? ? 2 π A .向 左 平 移 个 单位 3 π D.向右平移 个单位 6 π? ? 6.设函数 f(x)=sin?2x- ?,x∈R,则 f(x)是( 2? ? A.最小正周期为 π 的奇函数 ) π B .向右平移 个单位 3

) π C .向左平移 个单位 6

数;

③函数 f(x)在区间[π -2φ ,3π -2φ ]上是增函数;

的图象可由函数 y=sin 的图象向右平移|2φ |个单位长度得到. 2 其中,所有正确命题的序号是________. 5 ? ?π 12.由函数 y=2sin3x? ≤x≤ π ?与函数 y=2(x∈R)的图象围成一个封闭图形,则这个封 6 ? ?6 闭图形的面积为________. 三、解答题
19

x

B.最小正周期为 π 的偶函数

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π? ? 13.用两种方法将函数 y=sinx 的图象变换为函数 y=sin?2x+ ?的图象. 3? ?

重点难点 掌握余弦函数图象作法和性质 问题探究 探究 1.余弦函数图象的画法

14.如图为函数 y=Asin(ω x+φ )的图象的一段.试确定函数 y=Asin(ω x+φ )的解析式.

π? ? (1)依据诱导公式 cos x=sin?x+ ?,要得到 y=cos x 的图象,只须把 y=sin x 的图象向 2? ? ______平移______个单位长度即可.余弦函数的图象叫做余弦曲线,图象如下图所示:

15.已知函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0、ω >0,|φ |<

π )的图象的一个最高点为(2,2 2),由 2

(2)用“五点法”画出余弦函数 y=cos x 在[0,2π ]上的图象时所取的五个关键点分别为: __________,__________,________,________,________. 探究 2.正弦函数、余弦函数的性质对比: 函数 y=sin x y=cos x 图象 定义域 值域 奇偶性 周期性

这个最高点到相邻最低点,图象与 x 轴交于(6,0)点,试求这个函数的解析式.

16.设函数 f(x)=sin(2x+φ )(-π <φ <0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x= (1)求 φ ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间.

π . 8

1.3.2 学习目标

余弦函数、正切函数的图象与性质(一)

最小正周期:____ 最小正周期:____ 在________________ 上单调递 在____________上单调递增;在 单调性 增;在__________________上单调 ______________上单调递减 递减 在______________时,ymax=1;在 在__________时,ymax=1;在 最值 __________时,ymin=-1 ____________时,ymin=-1 探究 3.与正弦曲线一样,余弦曲线同样既是中心对称图形,也是轴对称图形. (1)函数 y=cos x(x∈R)的对称中心有________个,它们的坐标是________;对称轴有_____ 条,它们的方程是__________. (2)函数 f(x)=Acos(ω x+φ )(Aω ≠0)当且仅当__________时, 函数 f(x)的图象关于点(x0,0) 中心对称;当且仅当____________时,函数 f(x)的图象关于直线 x=x0 轴对称. 典例剖析 例 1 判断下列函数的奇偶性,并求他们的周期
20
王新敞
奎屯 新疆

1、理解并掌握作余弦函数图象的方法.2、理解并掌握余弦函数

高中数学 必修 3 第一章基本初等函数(Ⅱ)

学案

班级_______________姓名___________________

(1) y ? 3cos 2 x ? 5

3 3 (2) y ? cos( x ? ? ) 4 2

(A) ? 3 5、判断 cos(-

(B) ? 3 +1

(C)π

(D)2π
王新敞
奎屯 新疆

例 2 求 y= cos x 的定义域 例 3 求函数(1)y=1-cosx 课堂练习 1、函数 y=2cosx-3 的值域是( )

? x (2) y ? 3cos( ? ) 的单调区间 6 4

23? 17? )-cos(- )大于 0 还是小于 0 5 4 1 6、求函数 y ? (cos x ? ) 2 ? 3 的最值。 2

1 ? 7、求函数 y ? log 1 cos( x ? ) 的单调区间。 3 4 2

课堂小结 y=tanx 1.余弦函数 y=cos x(x∈R)是偶函数, 而且是周期函数, 最小正周期为 2π .与 y=Asin(ω x +φ )一样,函数 y=Acos(ω x+φ )(ω ≠0)的周期也是 2π .2.与正弦曲线类似,函数 |ω |

图象

y=Acos(ω x+φ )(ω >0,φ >0)的图象也可由 y=cos x 的图象通过变换得到,变换规律 相同.3.在研究 y=Acos(ω x+φ )的性质时,注意采用整体代换的思想.如,它在 ω x +φ =2kπ (k∈Z)时取得最大值,在 ω x+φ =2kπ +π (k∈Z)时取得最小值. 作业布置 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 (A)[-1,1] (B)[-5,-1]
5? ? 2 x) 是( ) 2 (B)偶函数

P54 2、3、5。 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)

学习目标 1、理解并掌握作余弦函数图象的方法.2、理解并掌握余弦函数 在开区间_______________上都是_________ (C) [?5, ??) (D)R 重点难点 掌握正切函数图象作法和性质 问题探究 探究 1.正切函数的图像与性质 (C)非奇非偶函数 ) (D) y ? cos x 变式训练 1
21

2、函数 f ( x) ? sin( (A)奇函数

(D)既奇又偶函数 例1

?? ? 3、下列函数在 ? , ? ? 上是增函数的是( ?2 ?

典例剖析 求函数 y= tan x+1+lg(1-tan x)的定义域.

(A)y=sinx

(B)y=cosx

(C) y ? sin x )

? 4、 f ( x) ? 3 cos(2 x ? ) ? 1 的最小正周期是( 3

求下列函数的定义域:

高中数学 必修 3 第一章基本初等函数(Ⅱ)

学案

班级_______________姓名___________________

(1)y=

1 ;(2)y=lg( 3-tan x). 1+tan x

π . |ω | π ? π ? 4.正切函数在?- +kπ , +kπ ?(k∈Z)上递增,不能写成闭区间.正切函数无单调减 2 ? 2 ? 区间. 作业布置 P56 A3、B4、6。

例2

π? ? 1 求函数 y=tan?-2x+4?的单调区间及最小正周期. ? ?

变式训练 2

π? ? 求函数 y=tan?2x-3?的单调区间及最小正周期. ? ? 1.3.3 已知三角函数值求角

利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小: ? 6 ? ? 13 ? (1)tan?-5π?与 tan?- 7 π?; ? ? ? ? (2)tan 2 与 tan 9.

例3

学习目标 1. 掌握已知三角函数值求角的方法, 会用已知的三角函数值求角, 并会用符号 arcsin x, arccos x,arctan x 表示角. 2.牢记一些比较常见的三角函数值,在以后的学习中会带来很大的方便. 复习回顾

变式训练 3 比较下列两组函数值的大小. (1)tan(-1 280° )与 tan 1 680° ; (2)tan 1,tan 2,tan 3.

1、诱导公式: 2k? ? ? (k ? z),? ? ? , ? ? ? ,2? ? ? 2、求下列三角函数值:
cos = 4 sin

?
6

?

?

? ,c o s = 3
问题探究

tan

?
6

? ,s i n ? 4
?

, sin

?
3

?

cos

?
6

=



? ,t an ? 4

? ,t an ? 3

.

课堂小结 π 1.正切函数有无数多条渐近线,渐近线方程为 x=kπ + ,k∈Z,相邻两条渐近线之间都 2 有一支正切曲线,且单调递增. 2.正切函数 y=tan x 的定义域是?x|x≠kπ +
? ? ? ? ? π ? ,k∈Z?,值域是 R. 2 ? ?

1.已知三角函数值时角的表示 ? π π? x∈?- , ? 2? ? 2 sin x=a (|a|≤1) x∈[0,2π ]

3.正切函数 y=tan x 的最小正周期是 π ,函数 y=Atan(ω x+φ ) (Aω ≠0)的周期为 T=
22

cos x=a (|a|≤1)

x∈[0,π ]

0≤a≤1 -1≤a≤0 x1=________; x1=________; x2 = x2= __________ __________ x∈[0,2π ] x1=________;x2=__________

高中数学 必修 3 第一章基本初等函数(Ⅱ)

学案

班级_______________姓名___________________

? π π? x∈?- , ? 2? ? 2 tan x=a (a∈R)

x∈[0,2π ]

a≥0 a<0 x1=________; x1=________; x2=________ x2=________ 2.根据符号 arcsin x,arccos x,arctan x 的含义填写: (1)arcsin 1 ? 1? =______, arcsin?- ?=________, 一般地, arcsin(-x)+arcsin x=______; 2 ? 2? 1 ? 1? =______, arccos?- ?=________, 一般地, arccos x+arccos(-x)=______; 2 ? 2? 3= ______, arctan( - 3)= ________ ,一般地, arctan x + arctan( -x) =

变式训练 2 π 6

1 π 若 cos 2x= ,其中 <x<π ,则 x 的值为( 2 2 B. 5π 6 C. 2π 3 D. 5π 3

)

A.

例 3

(2)arccos (3)arctan ______.

? π π? (1) 已知 tan α =- 2 ,且 α ∈ ?- , ? ,求 α ; (2) 已知 tan α =- 2 ,且 2? ? 2

α ∈[0,2π ],求 α ; (3)已知 tan α =-2,α ∈R,求 α .

变式训练 3 典例剖析

直线 2x+y-1=0 的倾斜角是__________(用反正切表示).

课堂小结 例1 3 ? π π? 已知 sin x= .(1)当 x∈?- , ?时,求 x 的取值集合;(2)当 x∈[0,2π ]时, 2? 2 ? 2 1.理解符号 arcsin x、arccos x、arctan x 的含义.每个符号都要从以下三个方面去理解, 以 arcsin x 为例来说明. ? π π? (1)arcsin x 表示一个角;(2)这个角的范围是?- , ?;(3)这个角的正弦值是 x,所以 2? ? 2 |x|≤1. 例如:arcsin 2,arccos 3都是无意义的. 变式训练 1 1 5 1 ?π ? 若 sin x= ,x∈? ,π ?,则 x 等于( 5 ?2 ? B.π -arcsin 1 5 C. ) π 1 +arcsin 2 5 2.已知三角函数值求角的大致步骤 (1)由三角函数值的符号确定角的象限.(2)先求出[0,2π )上的角.(3)再根据终边相同的角 写出所有的角. D.- 作业布置 P60 A3、B2、3。

求 x 的取值集合; (3)当 x∈R 时,求 x 的取值集合.

A.arcsin 1 5

arcsin

例2

1 已知 cos x=- .(1)当 x∈[0,π ]时,求 x;(2)当 x∈[0,2π ]时,求 x;(3)当 x∈R 3
23

时,求 x 的取值集合.


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