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1.1.2空间几何体的结构课件.ppt)


复习引入:
观察我们生活的空间,一切物体都占据着空间的一部分, 则我们看到的这部分就叫做一个空间几何体。
例如一个长方体形包装箱,占有

空间部分就是一个几何体。
我们知道这个几何体叫做长方体。

提出问题:
今天,我们就以长方体为例,分析构成几何体的基 本要素以及它们之间的关系。

概念形成:
如图,长方体由6个矩形围成,围成长方体的各个矩形 叫做长方体的面;相邻两个面的公共边叫做长方体的棱; 棱和棱的公共点叫做长方体的顶点。
长方体的棱

长方体的面

长方体的顶点

一、构成空间几何体的基本元素
观察长方体和各种几何体的构成我们不难发现,任 何一个几何体都是由点、线、面构成的。 所以:点、线、面是构成几何体的基本元素。

1、点 2、线:无限延展的,无长度无粗细

3、平面
在立体几何中,我们所说的平面是无限延展的(抽 象出来的),通常用一个平行四边形来表示一个平面。 并且把它想象成无限延展。

这是个平面

用直线感受一下

4、平面的表示法:
( 1 )图示法:用平行四边形表示平面 , 把它想象成无限延 展的。 (2)符号法:用希腊字母 ? , ? , ? , 来命名,还可以用 平行四边形的顶点或对角线的字母来命名。 如:平面 ? ,平面 ? ,平面ABCD,平面AC等。 D C

A

B

5、从运动的观点理解空间几何体的基本要素
(1)点动成线 (2)线动成面 (3)面动成体

D' A' D A B B'

C'

C

空间几何体

你能把这些几何体 分成两类么?

空间几何体分类:
1、多面体:若干个平面多边形围成的几何体。 如:棱柱 、棱锥 、棱台。

2、旋转体:由一个平面图形绕它所在平面内的
一条定直线旋转所形成的封闭几何体。 如:圆柱 、圆锥 、圆台 、球。

多面体分类:
(1)按面数分:多面体至少4个面。 即:四面体,五面体,六面体......

(2)凸多面体 凹多面体

第一小节结束

1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征(一)

1.棱柱的定义:

①有两个面互相平行 ②其余各面都是四边形

③ 每相邻两个四边形的公
共边互相平行
有两个面互相平行,其余各面都是四边形,每相邻两个四 边形的公共边互相平行,由这些面围成的图形叫做棱柱

1、棱柱

2、棱柱的基本概念:
1、两个互相平行的面叫棱柱的 底面。 2、其余各面叫棱柱的侧面。 3、相邻侧面的公共边叫侧棱。 4、侧面与底面的公共顶点叫 棱柱的顶点。 5、两底面之间的距离叫棱柱的 高。 6、连接上下底面不相邻的顶点 的 线段叫棱柱的体对角线。 3、棱柱的表示法:用表示底 面的各顶点的字母表示。 如:六 棱柱ABCDEFA’B’C’D’E’F’
体对角线

D’ E’ C’ F’ A’ B’
底 面

E
侧棱

D C B
顶点

F A
侧面

思考:观察下面的几何体,哪些是棱柱?

探究问题 1:

长方体按如图截去一角后所得的两部分还是棱柱 吗?
D’ A’ B’ C’

D

C B

A

探究问题 2:

有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几 何体是棱柱吗? 定义: 1、有两个面互相平行, 2、其余各面都是四边形, 3、每相邻两个四边形的公共边 都互相平行。

思考?

如何判断一个多面体是不是棱柱?
1.有两个面互相平行(底面)

棱柱

2.其余各面都是四边形(侧面)
3.每相邻两个侧面的公共边(侧棱)都互 相平行

4、棱柱的分类:
(1)按底面边数是三角形、四边形、五边形...... 分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱......

(2)按侧棱与底面的关系:
斜棱柱:侧棱与底面不垂直的棱柱。

直棱柱:侧棱与底面垂直的棱柱。
正棱柱:底面是正多边形的直棱柱。

4、特殊四棱柱
底面是 平行四边形 侧棱与底面 垂直

四棱柱

平行六面体

直平行六面体

底面是 矩形

底面为 正方形

侧棱与底面

边长相等

长方体

正四棱柱

正方体

小结:
棱柱 (1).棱柱的特征性质 (2).棱柱的相关概念

(3).棱柱的表示
(4).棱柱的分类

1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征(二)

二、棱锥:
1、棱锥的定义:(结构特征)

①有一个面是多边形 ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形

2、棱锥的基础概念:
底面:棱锥中的多边形面叫做棱锥的底面或底。
S

顶点

侧面:有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥 的侧面
侧面

顶点:各个侧面的公共顶点叫做棱 锥的顶点。 侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱锥 的侧棱。

侧棱 A

D

C 底面 B



高:棱锥顶点到底面的距离叫做棱锥的高。

S

3、棱锥表示:
棱锥S-ABCD
D C

A

B

4、棱锥的分类: 按底面多边形的边数 ,可以分为三棱锥、 四棱锥、五棱锥、 …… 三棱锥 五棱锥

练习:下列几何体是不是棱锥,为什么?
S P Q C D A D B

C
B

A
不是



四棱锥:S-ABCD

其他的三角形面没有 共一个顶点

5、正棱锥:
如果棱锥的底面是正多边形,并且 它的顶点在 过正多边形中心的铅垂线上,则这个棱锥叫做 正棱锥。 S
6.正棱锥的性质: (1)正棱锥的各侧面都是全 等的等腰三角形; (2)等腰三角形底边上的高 E 都相等,叫做棱锥的斜高。
A D O B C

思考:

上底面 侧棱

侧面
高 顶点 下底面

7、棱台及相关概念:
1.定义:棱锥被平行于底面的平面所截,

截面和底面间的部分叫做棱台.

思考题:
下图中的几何体是不是棱台?为什么?

D’ A’ D A

C’ B’ C

B 四棱台ABCD-A'B'C'D'

2、棱台的表示:
棱台可用表示上、下底面的字母来命名,如可以记 作 棱 台ABCD-A’B’C’D’,或 记 作 棱 台AC’.

3、棱台的分类:
(1)按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱 台......

(2)正棱台: 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台,正棱台各侧面都是 全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高 。

斜高

斜高

正四棱锥

正四棱台

4、正棱台的性质:
(1)各侧棱相等; (2)正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形; (3)正棱台的斜高相等。

小结:
棱柱、棱锥、棱台之间的关系 棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的 空间图形, 棱台则可以看成是用一个平行于棱锥底面的平面 截棱锥所得到的图形, 要注意的是棱台的各条侧棱延长后,将会交于一 点,即棱台可以还原成棱锥.

例. 已知正四棱锥V-ABCD,底面面积为 16,一条侧棱长为2 11,计算它的高和斜 高。 解:设VO为正四棱锥V- ABCD的高,作OM⊥BC于 点M,则M为BC中点, 连接OM、OB,则 VO⊥OM,VO⊥OB.

因为底面正方形ABCD的面积是16,所以 BC=4,MB=OM=2,

OB ? BM ? OM ? 2 2
2 2

又因为VB=2 11 ,在Rt△VOB 中,由勾股定理得

VO ? VB ? OB
2 2

2 2

? (2 11) ? (2 2) ? 6

在Rt△VOM中,由勾股定理得
VM ? 62 ? 22 ? 2 10

即正四棱锥的高为6,斜高为

多面体: 若干个平面多边形围成的几何体
面----围成多面体的各个多边形 棱----相邻两个面的公共边 顶点-----棱与棱的公共点

旋转体: 由一个平面图形绕它所在平面内的
一条定直线旋转所形成的封闭几何体

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与 截面之间的部分是棱台.
下底面和上底面:原棱锥的底面和截面 分别叫做棱台的下底面和上底面。 侧面:原棱锥的侧面也叫做棱台的侧面 (截后剩余部分)。 侧棱:原棱锥的侧棱也叫棱台的侧棱 (截后剩余部分)。 A’ 顶点:上底面和侧面,下底面和侧面 侧棱 的公共点叫做棱台的顶点。 A
上 底 顶点 C’ 面 B’

3.棱台的结构特征

D’ D

C 侧面 下底面 B

棱台的表示:用表示底面的各顶点的 字母表示。 如:棱台ABCDA ’B’C’D’ 底面是三角形,四边形,五边形 ----的棱台分

别叫三棱台,四棱台,五棱台---

练习:下列几何体是不是棱台,为什么?

×
不能还原为棱锥 (侧棱延长线不交于一点)

探究问题 3:

两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的几何体 一定是棱台吗?
注意:(1)截面与底面平行 (2)通过延长侧棱,能够 还原为棱锥的才是棱台 S D’ A’ D A B 四棱台ABCD-A'B'C'D' C’ B’

C

内容小结:
(1)由_________围成的几何体叫做多面体;由平面图形绕所在平面 内的一条直线________形成的封闭几何体叫旋转体 (2)有两个面______,其余各面都是________,并且 ______________ 由这些面所围成的多面体叫做棱柱 (3)有一个面是________;其余各面是__________________________ 形成的封闭几何体叫棱锥 (4)用一个________去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台.截 面与底面________.

4 长方体AC1中,AB=3,BC=2,BB1=1,由A 到C1在长方体表面上的最短距离是多少?
D1
A1 D B1

C1
C

A
D1 C1

B
B1 C1 D1 D

A1
A

B1
B

C1
C

A1 A

B1 B

A1 A

如图,正四棱锥S-ABCD被一平行于底面的平面A'B'C'D'所截,其中A'为SA 的中点.若四棱锥的底边AB=4,求截得的正棱台ABCD-A'B'C'D'的上底面面积

和下底面的面积之比。

S

D' A' D B'

C'

C
B

A

例6 一个三棱柱可以分割成几个三棱锥?
C1 A1 B1 C1 A1

B1

C

B C

B

A

A

A’ 母 线

O’ B’


侧 面

A

O B

底面

注:棱柱与圆柱统称为柱体

( 1)

( 2)

( 3)

( 4)

( 5)

如果我们只考虑物体占用空 间部分的形状和大小,而不 考虑其它因素,那么由这些 物体抽象出来的空间图形, 就叫做空间几何体。
( 9)

( 6)

( 7)

( 8)

(10)

1.棱柱的结构特征:
有两个面互相平行,其余各面都是四边形,每相邻两个四 边形的公共边互相平行,由这些面围成的图形叫做棱柱
底面:棱柱中,两个相互平行的面,叫 做棱柱的底面,简称底。 侧面:棱柱中除底面的各个面。 侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
D’ E’ C’ F’ A’ B’
底 面

顶点:侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的 顶点。 侧棱 F
A 棱柱的表示:用表示底面的各顶点的字母表示。 如:棱柱ABCDEF-A’B’C’D’E’F’

E

D C B
顶点

侧面

思考1:倾斜后的 几何体还是柱体吗?

D’ E’ C’ F’ A’ B’

E F A

D C B

有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶 点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
底面:棱锥中的多边形面叫做棱锥的底面或底。 侧面:有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥 的侧面 顶点:各个侧面的公共顶点叫做棱锥 的顶点。 侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱锥 的侧棱。
侧棱 A S

2.棱锥的结构特征

顶点

侧面
D

C
底面 B

棱锥可以表示为:棱锥S-ABCD 底面是三角形,四边形,五边形----的棱锥分 别叫三棱锥,四棱锥,五棱锥---

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与 截面之间的部分是棱台.
下底面和上底面:原棱锥的底面和截面 分别叫做棱台的下底面和上底面。 侧面:原棱锥的侧面也叫做棱台的侧面 (截后剩余部分)。 侧棱:原棱锥的侧棱也叫棱台的侧棱 (截后剩余部分)。 A’ 顶点:上底面和侧面,下底面和侧面 侧棱 的公共点叫做棱台的顶点。 A
上 底 顶点 C’ 面 B’

3.棱台的结构特征

D’ D

C 侧面 下底面 B

棱台的表示:用表示底面的各顶点的 字母表示。 如:棱台ABCDA ’B’C’D’ 底面是三角形,四边形,五边形 ----的棱台分

别叫三棱台,四棱台,五棱台---

思考2:这是一个台体吗?

4.圆柱的结构特征
以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成 的面所围成的旋转体叫做圆柱。
圆柱的轴:旋转轴叫做圆柱的轴。
圆柱的底面:垂直于轴的边旋转而成 的圆面叫做圆柱的底面。
A’ O’ B’ 轴 侧 面

母 线

圆柱的侧面:平行于轴的边旋转而成的 曲面叫做圆的侧面。 圆柱侧面的母线:无论旋转到什么位置, 不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

A

O B

底面

圆柱用表示它的轴的字母表示. 如:圆柱SO 注:棱柱与圆柱统称为柱体

5.圆锥的结构特征:
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两 余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
轴:作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴。
S
顶点

底面:另外一条直角边旋转形成的圆 面叫做圆锥的底面。 侧面:直角三角形斜边旋转形成的曲 面叫做圆锥的侧面。 顶点:作为旋转轴的直角边与斜边的交点
A

母 线

轴 侧 面 O B

母线:无论旋转到什么位置,直角三角形 的斜边叫做圆锥的母线。

底面

圆锥可以用它的轴来表示。 注:棱锥与圆锥统称为锥体 如:圆锥SO

6.圆台的结构特征
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之 间的部分是圆台.

圆台的轴,底面,侧面,母线与圆锥相似 注:棱台与圆台统称为台体。

O’
O

A B

7、球的结构特征

以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋 转一周形成的几何体叫做球体。
球 心
A

直径
C

球心:半圆的圆心叫做球的球 心。
半径:半圆的半径叫做球的半径。

O

直径:半圆的直径叫做球的直径。

B

半径

球的表示:用球心字母表示 如:球O

理论迁移

例1 如图,截面BCEF将长方体分割成两 部分,这两部分是否为棱柱?
D1
A1

E B1

C1

F
D

C A

B

例2 一个三棱柱可以分割成几个三棱锥?
C1 A1 B1 C1 A1

B1

C

B C

B

A

A

例3、判断下列几个命题中的对错

⑴有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 ( × ) (×) ⑵有两个面平行,其余各面都是平行四边行的几何体叫棱柱 ⑶ 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 ( × ) ⑷两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台 ( × ) ⑸有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
⑹棱台各侧棱的延长线交于一点 (√) ⑺各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 ( × ) ⑻分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴,将矩形旋转,所 得到的两个 圆柱是两个不同的圆柱 (√) ⑼以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 (√) ⑽以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 ( × ) ⑾圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥底 面圆的半径 ( × )
(×)

例题 4 长方体AC1中,AB=3,BC=2,BB1=1, 由A到C1在长方体表面上的最短距离是多少?
D1
A1 D B1

C1
C

A
D1 C1

B
B1 C1 D1 D

A1
A

B1
B

C1
C

A1 A

B1 B

A1 A

5.下图中不可能围成正方体的是( B )

A

B

C

D

小结:

棱柱

棱锥 考一考:
空 间 几 何 体

棱台

圆柱
棱柱
棱台 棱锥

圆锥

圆台



多面体

台体 锥体 柱体

圆锥 旋转体
圆柱 圆台



结构特征

棱柱

棱锥

棱台

定义

两个平面互相平行, 有一面为多边形, 用一个平行于棱锥底 其余各面都是四边形,其余各面是有一个 面的平面去截棱锥, 并且每相邻两个四边 公共顶点的三角形, 底面与截面之间的部 形的公共边都平行, 这些面围成的几何 分这样的多面体叫做 棱台 这些面围成的几何体 体叫做棱锥 称为棱柱

底面
侧面

两底面的全等的多边 形 平行四边形 平行且相等
与两底面是全等的多 边形 平行四边形

多边形
三角形

两底面是相似的多边 形 梯形 延长线交于一点
与两底面是相似的多 边形 梯形

侧棱
平行于底 面的平面 过不相邻 两侧棱的

相交于顶点
与底面是相似的多 边形 三角形

结构特征 定义

圆柱 以矩形的一边 所在的直线为 旋转轴,其余 各边旋转而形 成的曲面所围 成的几何体叫 做圆柱 两底面是平行 且半径相等的 圆 矩形 平行且相等 与两底面是平 行 且半径相等的 圆

圆锥

圆台

球 以半圆的直径所在 的直线为旋转轴, 将半圆旋转一周所 形成的曲面称为球 面,球面所围成的 几何体称为球体, 简称球 无

以直角三角形的一 以直角梯形垂直 条直角边位旋转轴, 于底边的腰所在 其余各边旋转而形 的直线为旋转轴, 成的曲面所围成的 其余各边旋转而 几何体叫做圆锥 形成的曲面所围 成的几何体叫做 圆台 圆 两底面是平行但 半径不相等的圆 扇环 延长线交于一点 与两底面是平行 且半径不相等的 圆

底面

侧面展开图 母线 平行于底 面的截面

扇形 相较于顶点 平行于底面且 半径不相等的圆

不可展开 无 球的任何截面都是 圆

轴截面

矩形

等腰三角形

等腰梯形



多谢指导!
作业:课本习题1.1 1-2,


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