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四川省巴中市平昌中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


四川省巴中市平昌中学 2015-2016 学年高二(上)期中数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.过点 A(4,y) ,B(2,﹣3)的直线的倾斜角为 135°,则 y 等于( ) A.1 B.﹣1 C.5 D.﹣5 2.如果直线 ax+2y+2=0 与 3x﹣y﹣2=0 互相垂直,那么系数 a=( A.﹣3 B.﹣6 C. D. )

3.如图是一个空间几何体的三视图,如果直角三角形边长均为 1,那么几何体体积为(



A.1

B.

C.

D.

4.设有直线 m、n 和平面 α、β,则下列说法中正确的是( ) A.若 m?α,n?β,α∥β,则 m∥n B.若 m⊥α,m⊥n,n?β,则 α∥β C.若 m∥n,m⊥α,n⊥β,则 α⊥β D.若 m∥n,m?α,n⊥β,则 α⊥β 5.与圆 O1:x +y =1 和圆 O2:x +y ﹣6x﹣8y+9=0 都相切的直线条数是( A.1 B.2 C.3 D.4
2 2 2 2



6.已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB=1, 则球 O 的表面积等于( ) A.4π B.3π C.2π D.π 7.直线将圆 x +y ﹣2x﹣4y=0 平分,且与直线 x+2y=0 垂直,则直线的方程为( A.y=2x B.y=2x﹣2 C. D.
2 2





8.在如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别为(0,0,2) , (2, 2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出的编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正 视图和俯视图分别为( )

A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和② 9.已知 是空间的一个单位正交基底,且 ) D. ,则△ OAB(O

为坐标原点)的面积是( A. B. C.5

10.已知 =(1,0) , =(0,1) ,若向量 =(m,n)满足( ﹣ ) ( ﹣ )=0,则点(m, n)到直线 x+y+1=0 的距离的最小值等于( A. B.1 C. D. )

11.如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化 的可能图象是( )

A.

B.

C.

D.

12.如图,四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= ,BD⊥CD.将四边形 ABCD 沿对角 线 BD 折成四面体 A′﹣BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD,则下列结论正确的是( )

A.A′C⊥BD B.∠BA′C=90° C.CA′与平面 A′BD 所成的角为 30° D.四面体 A′﹣BCD 的体积为

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请将答案填在答题卷横线上) 13.已知直线 mx+ny+1=0 平行于直线 4x+3y+5=0,且在 y 轴上的截距为 ,则 m+n 的值 为 .

14.三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直 线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 .

15.已知 x,y 满足约束条件 件下取到最小值 2 时,a +b 的最小值为
2 2

,当目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)在约束条 .

16.如图:点 P 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动,则下列四个命题: ①三棱锥 A﹣D1PC 的体积不变; ②A1P∥面 ACD1; ③DP⊥BC1; ④面 PDB1⊥面 ACD1. 其中正确的命题的序号是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.设直线 x+2y+4=0 和圆 x +y ﹣2x﹣15=0 相交于点 A,B. (1)求弦 AB 的垂直平分线方程; (2)求弦 AB 的长. 18.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,已知 PA⊥AC, PA=6,BC=8,DF=5.求证: (1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC.

2

2

19.已知圆 C:x +y +2x﹣4y+1=0,O 为坐标原点,动点 P 在圆 C 外,过 P 作圆 C 的切线, 设切点为 M. (1)若点 P 运动到(1,3)处,求此时切线 l 的方程; (2)求满足条件|PM|=|PO|的点 P 的轨迹方程. 20. 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD, AC⊥CD, ∠ABC=60°, PA=AB=BC, E 是 PC 的中点. (1)证明:CD⊥AE; (2)证明:PD⊥平面 ABE; (3)求二面角 B﹣PC﹣D 的余弦值.

2

2

21.已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: (x﹣2) +(y﹣3) =1 相交于 M、N 两 点 (1)求实数 k 的取值范围; (2)求证: 为定值; ,求直线 l 的方程.

2

2

(3)若 O 为坐标原点,且

22.如图 1,∠ACB=45°,BC=3,过动点 A 作 AD⊥BC,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B, 连接 AB,沿 AD 将△ ABD 折起,使∠BDC=90°(如图 2 所示) .记 BD=x,V(x)为三棱锥 A﹣BCD 的体积.

(1)求 V(x)的表达式; (2)设函数 ,当 x 为何值时,f(x)取得最小值,并求出该最小值;

(3)当 f(x)取得最小值时,设点 E,M 分别为棱 BC,AC 的中点,试在棱 CD 上确定一点 N,使得 EN⊥BM,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小.

2015-2016 学年四川省巴中市平昌中学高二(上)期中数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.过点 A(4,y) ,B(2,﹣3)的直线的倾斜角为 135°,则 y 等于( ) A.1 B.﹣1 C.5 D.﹣5 【考点】直线的倾斜角. 【专题】直线与圆. 【分析】利用斜率计算公式即可得出. 【解答】解:∵过点 A(4,y) ,B(2,﹣3)的直线的倾斜角为 135°, ∴tan135°= =﹣1,

解得 y=﹣5. 故选:D. 【点评】本题考查了倾斜角与斜率的关系、斜率计算公式,属于基础题. 2.如果直线 ax+2y+2=0 与 3x﹣y﹣2=0 互相垂直,那么系数 a=( A.﹣3 B.﹣6 C. D. )

【考点】两条直线垂直的判定. 【专题】计算题. 【分析】通过两条直线的垂直,利用斜率乘积为﹣1,即可求解 a 的值. 【解答】解:因为直线 ax+2y+2=0 与 3x﹣y﹣2=0 互相垂直, 所以 ,所以 a= .

故选 D. 【点评】本题考查直线的垂直条件的应用,斜率乘积为﹣1 时必须直线的斜率存在. 3.如图是一个空间几何体的三视图,如果直角三角形边长均为 1,那么几何体体积为( )

A.1

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】首先三视图复原的几何体的形状以及特征,结合三视图的数据,求出几何体的体积. 【解答】解:由三视图可知几何体是底面为正方形,一条侧棱垂直底面的四棱锥, 底面正方形的边长为:1,棱锥的高为:1, 所以几何体的体积是: ×1×1×1= . 故选:B 【点评】本题考查几何体的三视图的画法,三视图复原几何体的特征,考查计算能力,空间 想象能力,正确求出外接球的半径是解题的关键. 4.设有直线 m、n 和平面 α、β,则下列说法中正确的是( ) A.若 m?α,n?β,α∥β,则 m∥n B.若 m⊥α,m⊥n,n?β,则 α∥β C.若 m∥n,m⊥α,n⊥β,则 α⊥β D.若 m∥n,m?α,n⊥β,则 α⊥β 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】综合题;转化思想;综合法;简易逻辑. 【分析】A 结合面面平行的性质定理进行判断; B 结合面面平行的判定定理进行判断; C 结合面面平行的判定定理进行判断; D 结合面面垂直的判定定理进行判断. 【解答】解:A,若两平面 α∥β,m?α 且 n?β,则 m∥n 或 m、n 是异面直线,不正确; B,∵直线 m⊥平面 α,直线 n?平面 β,m⊥n,∴α∥β 或 α 与 β 相交.故不成立; C,∵m∥n,m⊥α,∴n⊥α,∵n⊥β,∴α∥β,不正确; D,∵m∥n,n⊥β,∴m⊥β,∵m?α,∴α⊥β,正确, 故选:D. 【点评】本题考查空间中平面与平面之间的位置关系,涉及到了面面平行的判断,面面垂直 的判断,属于基础知识考查题. 5.与圆 O1:x +y =1 和圆 O2:x +y ﹣6x﹣8y+9=0 都相切的直线条数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】圆与圆的位置关系及其判定. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】求出两个圆的圆心和半径,根据圆圆之间的位置关系的条件即可得到结论. 【解答】解:圆 O1:x +y =1 圆心为 O1(0,0) ,半径为 R=1, 2 2 2 2 圆 O2:x +y ﹣6x﹣8y+9=0 的标准方程为(x﹣3) +(y﹣4) =16,圆心为 O2(3,4) ,半径 为 r=4, 则|O1O2|=5=R+r, 故圆 O1 和圆 O2 的位置关系是外切, 2 2 2 2 所以与圆 O1:x +y =1 和圆 O2:x +y ﹣6x﹣8y+9=0 都相切的直线条数是 3. 故选:C. 【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的判断,求出圆的圆心和半径是解决本题的关键.
2 2 2 2 2 2

6.已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB=1, , 则球 O 的表面积等于( ) A.4π B.3π C.2π D.π 【考点】直线与平面垂直的性质;球的体积和表面积. 【专题】压轴题. 【分析】先寻找球心,根据 S,A,B,C 是球 O 表面上的点,则 OA=OB=OC=OS,根据直角 三角形的性质可知 O 为 SC 的中点,则 SC 即为直径,根据球的面积公式求解即可. 【解答】解:∵已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点 ∴OA=OB=OC=OS=1 又 SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB=1, ∴球 O 的直径为 2R=SC=2,R=1, ∴表面积为 4πR =4π. 故选 A.
2



【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质,以及球的表面积等有关知识,考查空间想 象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题. 7.直线将圆 x +y ﹣2x﹣4y=0 平分,且与直线 x+2y=0 垂直,则直线的方程为( A.y=2x B.y=2x﹣2 C. D.
2 2



【考点】直线与圆的位置关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】设出与已知直线垂直的直线方程,利用直线平分圆的方程,求出结果即可. 【解答】解:设与直线 l:x+2y=0 垂直的直线方程:2x﹣y+b=0, 2 2 2 2 圆 C:x +y ﹣2x﹣4y=0 化为(x﹣1) +(y﹣2) =5,圆心坐标(1,2) . 因为直线平分圆,圆心在直线 2x﹣y+b=0 上,所以 2×1﹣1×2+b=0,解得 b=0, 故所求直线方程为 y=2x. 故选 A. 【点评】本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,直线与直线垂直的方程的设法,考查计 算能力. 8.在如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别为(0,0,2) , (2, 2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出的编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正

视图和俯视图分别为(



A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和② 【考点】简单空间图形的三视图. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得结论. 【解答】解:在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得三棱锥的正视 图和俯视图分别为④②, 故选:D.

【点评】本题考查三视图的画法,做到心中有图形,考查空间想象能力,是基础题. ,则△ OAB(O

9.已知

是空间的一个单位正交基底,且 ) D.

为坐标原点)的面积是( A. B. C.5

【考点】空间向量的数量积运算. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间向量及应用. 【分析】由已知得 点)的面积. 【解答】解:∵ ∴ ∴ ,∴ , 是空间的一个单位正交基底,且 , , ,由此能求出△ OAB(O 为坐标原

∴△OAB(O 为坐标原点)的面积 S=

=

=



故选:D. 【点评】本题考查三角形面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量坐标运算、 三角形面积公式的合理运用.

10.已知 =(1,0) , =(0,1) ,若向量 =(m,n)满足( ﹣ ) ( ﹣ )=0,则点(m, n)到直线 x+y+1=0 的距离的最小值等于( A. B.1 C. D. )

【考点】点到直线的距离公式. 【专题】直线与圆. 【分析】利用数量积运算可得 = .圆心为 C ,半径

r=

.可得圆心 C 到直线的距离的=

=

.点(m,n)到直线 x+y+1=0 的距离的

最小值=d﹣r. 【解答】解: ∴ =(1,0) , =(0,1) ,向量 =(m,n) . =(﹣m,1﹣n) .

=(1﹣m,﹣n) ,

∵( ﹣ )?( ﹣ )=0, ∴﹣m(1﹣m)﹣n(1﹣n)=0. ∴ ∴圆心为 C = . ,半径 r= .

∴圆心 C 到直线的距离的=

=

. ﹣ = .

则点(m,n)到直线 x+y+1=0 的距离的最小值=

故选:D. 【点评】本题考查了数量积运算、圆的标准方程、点到直线的距离公式,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题. 11.如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化 的可能图象是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象与图象变化. 【专题】压轴题;数形结合. 【分析】根据几何体的三视图确定几何体的形状是解决本题的关键,可以判断出该几何体是 圆锥,下面细上面粗的容器,判断出高度 h 随时间 t 变化的可能图象. 【解答】解:该三视图表示的容器是倒放的圆锥,下面细,上面粗, 随时间的增加,可以得出高度增加的越来越慢. 刚开始高度增加的相对快些.曲线越“竖直”,之后,高度增加的越来越慢,图形越平稳. 故选 B. 【点评】本题考查函数图象的辨别能力,考查学生对两变量变化趋势的直观把握能力,通过 曲线的变化快慢进行筛选,体现了基本的数形结合思想. 12.如图,四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= ,BD⊥CD.将四边形 ABCD 沿对角 线 BD 折成四面体 A′﹣BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD,则下列结论正确的是( )

A.A′C⊥BD B.∠BA′C=90° C.CA′与平面 A′BD 所成的角为 30° D.四面体 A′﹣BCD 的体积为 【考点】平面与平面垂直的性质. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】根据题意,依次分析命题:对于 A 可利用反证法说明真假;对于 B△ BA'D 为等腰 Rt△ ,CD⊥平面 A'BD,得 BA'⊥平面 A'CD,根据线面垂直可知∠BA′C=90°;对于 C 由 CA' 与平面 A'BD 所成的角为∠CA'D=45°知 C 的真假; , 对于 D 利用等体积法求出所求体积进行判 定即可,综合可得答案. 【解答】解:若 A 成立可得 BD⊥A'D,产生矛盾,故 A 不正确;

由题设知:△ BA'D 为等腰 Rt△ ,CD⊥平面 A'BD,得 BA'⊥平面 A'CD,于是 B 正确; 由 CA'与平面 A'BD 所成的角为∠CA'D=45°知 C 不正确; VA′﹣BCD=VC﹣A′BD= ,D 不正确. 故选 B. 【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角,以及三棱锥的体积的计算,同时考查了空 间想象能力,论证推理能力,解题的关键是须对每一个进行逐一判定. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请将答案填在答题卷横线上) 13. 已知直线 mx+ny+1=0 平行于直线 4x+3y+5=0, 且在 y 轴上的截距为 , 则 m+n 的值为 ﹣ 7 . 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【专题】函数思想;转化法;直线与圆. 【分析】根据两直线平行与直线 mx+ny+1=0 在 y 轴上的截距,列出方程组求出 m、n 的值即 可. 【解答】解:直线 mx+ny+1=0 平行于直线 4x+3y+5=0, 所以 3m﹣4n=0①; 又直线 mx+ny+1=0 在 y 轴上的截距为 , 所以﹣ = ②; 由①②解得 n=﹣3,m=﹣4; ∴m+n=﹣7. 故答案为:﹣7. 【点评】本题考查了两条直线平行的判定,直线的一般式方程,考查计算能力,是基础题. 14.三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直 线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 .

【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】先选一组基底,再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面 直线的方向向量用基底表示,最后利用夹角公式求异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值即可 【解答】解:如图,设 则 ∵ ∴ = ﹣ + = , , =( + ) ?( = ﹣1+ +1=1 )= ﹣ + + ﹣ + = , = , = , ,棱长均为 1,

| |

|= |=

= =

= =

∴cos<



>=

=

=

∴异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为

【点评】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用,空间向量基本定理,向量 数量积运算的性质及夹角公式的应用,有一定的运算量

15.已知 x,y 满足约束条件
2 2

,当目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)在约束条

件下取到最小值 2 时,a +b 的最小值为 4 . 【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用 z 的几何意义确定取得最小值的条件,利用点到直 线的距离即可得到结论. . 【解答】解:由 z=ax+by(a>0,b>0)得 ∵a>0,b>0, ∴直线的斜率 , ,

作出不等式对应的平面区域如图: 平移直线得 最小,此时 z 最小. 由 ,解得 ,即 A(2,1) , , ,由图象可知当直线 经过点 A 时,直线 的截距

此时目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最小值为 2 即 2a+b=2 , 在点 P(a,b)在直线 2x+y=2 ,

则原点到直线的距离 d= 即 a +b 的最小值 d =4, 故答案为:4
2 2 2



【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件 是解决本题的关键. 16.如图:点 P 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动,则下列四个命题: ①三棱锥 A﹣D1PC 的体积不变; ②A1P∥面 ACD1; ③DP⊥BC1; ④面 PDB1⊥面 ACD1. 其中正确的命题的序号是 ①②④ .

【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定;平面与平面垂直的判定. 【专题】综合题;转化思想. 【分析】如右图,对于①,容易证明 AD1∥BC1,从而 BC1∥平面 AD1C,以 P 为顶点,平面 AD1C 为底面,易得;对于②,连接 A1B,A1C1 容易证明平面 BA1C1∥面 ACD1,从而由线 面平行的定义可得; 对于③,由于 DC⊥平面 BCB1C1,所以 DC⊥BC1 平面,若 DP⊥BC1,则 DC 与 DP 重合, 与条件矛盾;对于④,容易证明 PDB1⊥面 ACD1,从而可以证明面面垂直.

【解答】解:对于①,容易证明 AD1∥BC1,从而 BC1∥平面 AD1C,故 BC1 上任意一点到平 面 AD1C 的距离 均相等,所以以 P 为顶点,平面 AD1C 为底面,则三棱锥 A﹣D1PC 的体积不变;正确; 对于②,连接 A1B,A1C1 容易证明 A1C1∥AD1 且相等,由于①知:AD1∥BC1, 所以 BA1C1∥面 ACD1,从而由线面平行的定义可得;正确; 对于③由于 DC⊥平面 BCB1C1,所以 DC⊥BC1,若 DP⊥BC1,则 BC1⊥平面 DCP, BC1⊥PC,则 P 为中点,与 P 为动点矛盾;错误; 对于④,连接 DB1,由 DB1⊥AC 且 DB1⊥AD1,可得 DB1⊥面 ACD1,从而由面面垂直的判 定知:④正确. 故答案为:①②④

【点评】本题考查三棱锥体积求法中的等体积法;线面平行、垂直的判定,要注意使用转化 的思想. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2 2 17.设直线 x+2y+4=0 和圆 x +y ﹣2x﹣15=0 相交于点 A,B. (1)求弦 AB 的垂直平分线方程; (2)求弦 AB 的长. 【考点】直线与圆的位置关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】 (1)求出圆的圆心为 C(1,0) ,半径 r=4.根据垂径定理,弦 AB 的垂直平分线经过 圆心 C,由此加以计算即可得出 AB 的垂直平分线方程; (2)利用点到直线的距离公式,算出圆心 C(1,0)到直线 x+2y+4=0 的距离,再根据垂径 定理加以计算,可得弦 AB 的长. 2 2 2 2 【解答】解: (1)∵圆 x +y ﹣2x﹣15=0 化成标准方程得(x﹣1) +y =16, ∴圆心为 C(1,0) ,半径 r=4. 2 2 ∵直线 x+2y+4=0 和圆 x +y ﹣2x﹣15=0 相交于点 A、B,

∴设弦 AB 的垂直平分线为 l:2x﹣y+m=0, 由垂径定理,可知点 C(1,0)在 l 上,得 2×1﹣0+m=0,解之得 m=﹣2. 因此,弦 AB 的垂直平分线方程为 2x﹣y﹣2=0; (2)圆心 C(1,0)到直线 x+2y+4=0 的距离为: d= = .

根据垂径定理,得|AB|=2

=2

,即弦 AB 的长等于 2



【点评】本题给出直线与圆相交,求弦的中垂线方程并求弦的长度.着重考查了圆的标准方 程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识,属于中档题. 18.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,已知 PA⊥AC, PA=6,BC=8,DF=5.求证: (1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面垂直的判定. 【专题】空间位置关系与距离;空间角;立体几何. 【分析】 (1)由 D、E 为 PC、AC 的中点,得出 DE∥PA,从而得出 PA∥平面 DEF; (2)要证平面 BDE⊥平面 ABC,只需证 DE⊥平面 ABC,即证 DE⊥EF,且 DE⊥AC 即可. 【解答】证明: (1)∵D、E 为 PC、AC 的中点,∴DE∥PA, 又∵PA?平面 DEF,DE?平面 DEF, ∴PA∥平面 DEF; (2)∵D、E 为 PC、AC 的中点,∴DE= PA=3;

又∵E、F 为 AC、AB 的中点,∴EF= BC=4; ∴DE +EF =DF , ∴∠DEF=90°, ∴DE⊥EF; ∵DE∥PA,PA⊥AC,∴DE⊥AC; ∵AC∩EF=E,∴DE⊥平面 ABC; ∵DE?平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 ABC. 【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题,解题时应明确空间中的线线、线面、面面之 间的垂直与平行的互相转化关系,是基础题目. 19.已知圆 C:x +y +2x﹣4y+1=0,O 为坐标原点,动点 P 在圆 C 外,过 P 作圆 C 的切线, 设切点为 M. (1)若点 P 运动到(1,3)处,求此时切线 l 的方程; (2)求满足条件|PM|=|PO|的点 P 的轨迹方程. 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】直线与圆. 【分析】 (1)对切线的斜率是否存在分类讨论,用点斜式求得直线的方程. (2)设出 P 的坐标,代入平面内两点间的距离公式,化简得轨迹方程. 2 2 【解答】解: (1)把圆 C 的方程化为标准方程为(x+1) +(y﹣2) =4,∴圆心为 C(﹣1, 2) ,半径 r=2. 当 l 的斜率不存在时,此时 l 的方程为 x=1,C 到 l 的距离 d=2=r,满足条件. 当 l 的斜率存在时,设斜率为 k,得 l 的方程为 y﹣3=k(x﹣1) ,即 kx﹣y+3﹣k=0, 则 =2,解得 k=﹣ .∴l 的方程为 y﹣3=﹣ (x﹣1) ,即 3x+4y﹣15=0.
2 2 2 2 2

综上,满足条件的切线 l 的方程为 x=1,或 3x+4y﹣15=0. 2 2 2 2 2 2 2 2 (2)设 P(x,y) ,则|PM| =|PC| ﹣|MC| =(x+1) +(y﹣2) ﹣4,|PO| =x +y . 2 2 2 2 ∵|PM|=|PO|,∴(x+1) +(y﹣2) ﹣4=x +y ,整理,得 2x﹣4y+1=0, ∴点 P 的轨迹方程为 2x﹣4y+1=0. 【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程,注意分类讨论;直线和圆相切的性质,直线 和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,以及求轨迹方程的方法,属于中档题. 20. 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD, AC⊥CD, ∠ABC=60°, PA=AB=BC, E 是 PC 的中点. (1)证明:CD⊥AE; (2)证明:PD⊥平面 ABE; (3)求二面角 B﹣PC﹣D 的余弦值.

【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质. 【专题】空间角. 【分析】 (1)由 PA⊥底面 ABCD,可得 CD⊥PA,又 CD⊥AC,故 CD⊥面 PAC,从而证得 CD⊥AE. (2)由等腰三角形的底边中线的性质可得 AE⊥PC,由(1)知 CD⊥AE,从而 AE⊥面 PCD, AE⊥PD,再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面 ABE. (3) 由题可知 PA, AB, AD 两两垂直, 以 A 为坐标原点建立空间坐标系, 分别求出平面 BPC 和平面 PCD 的法向量,代入向量夹角公式可得答案. 【解答】证明: (1)PA⊥底面 ABCD, ∴CD⊥PA. 又 CD⊥AC,PA∩AC=A, ∴CD⊥面 PAC,AE?面 PAC, ∴CD⊥AE. (2)PA=AB=BC,∠ABC=60°, ∴PA=AC,E 是 PC 的中点, ∴AE⊥PC, 由(1)知 CD⊥AE,从而 AE⊥面 PCD, ∴AE⊥PD.易知 BA⊥PD, ∴PD⊥面 ABE. 解: (3)由题可知 PA,AB,AD 两两垂直,如图建立空间直角坐标系, 设 AB=2,则 B(2,0,0) ,C(1, ,0) ,P(0,0,2) ,D(0, =(2,0,﹣2) , ,0) ,0)

设平面 PBC 的一个法向量为 =(x,y,z) , ,即 取 y= ,则 x=z=3 ,3) , ,

=(﹣1,

即 =(3,

设面 PDC 的一个法向量为



,即

取 即

,则 x=1,z=2,



由图可知钝二面角 B﹣PC﹣D 的余弦值为

. (12 分)

【点评】本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法,利用向量法求二面角 B﹣PC﹣D 是解题 的难点,属于中档题. 21.已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: (x﹣2) +(y﹣3) =1 相交于 M、N 两 点 (1)求实数 k 的取值范围; (2)求证: 为定值; ,求直线 l 的方程.
2 2

(3)若 O 为坐标原点,且

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】综合题;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】 (1)由题意可得,直线 l 的斜率存在,用点斜式求得直线 l 的方程,根据圆心到直线 的距离等于半径求得 k 的值,可得满足条件的 k 的范围. (2)由题意可得,经过点 M、N、A 的直线方程为 y=kx+1,代入圆 C 的方程化简,再利用一 元二次方程根与系数的关系求得 x1+x2 和 x1?x2 的值,可得 y1?y2=(kx1+1) (kx2+1)的值, 利用 =(x1,y1﹣1)?(x2,y2﹣1)=x1?x2+y1?y2﹣(y1+y2)+1,即可得出结论;

(3)由 x1?x2+y1?y2=12,解得 k 的值,从而求得直线 l 的方程. 【解答】 (1)解:由题意可得,直线 l 的斜率存在, 设过点 A(0,1)的直线方程:y=kx+1,即:kx﹣y+1=0.…(2 分) 由已知可得圆 C 的圆心 C 的坐标(2,3) ,半径 R=1. 故由 <1,解得: <k< .

故当

<k<

时,过点 A(0,1)的直线与圆 C: (x﹣2) +(y﹣3) =1 相交于 M,

2

2

N 两点. (2)证明:由题意可得,经过点 M、N、A 的直线方程为 y=kx+1,代入圆 C 的方程(x﹣2) 2 2 +(y﹣3) =1, 2 2 可得 (1+k )x ﹣4(k+1)x+7=0,

设 M(x1,y1) ;N(x2,y2) ,则 x1+x2= ,x1?x2= ,

∴y1?y2=(kx1+1) (kx2+1)=



=(x1,y1﹣1)?(x2,y2﹣1)=x1?x2+y1?y2﹣(y1+y2)+1=

+





﹣2+1=7 为定值;

(3)解:由 x1?x2+y1?y2=

=12,解得 k=1,

故直线 l 的方程为 y=x+1,即 x﹣y+1=0. 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,一元二次方程根与系数的关系,属于中 档题. 22.如图 1,∠ACB=45°,BC=3,过动点 A 作 AD⊥BC,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B, 连接 AB,沿 AD 将△ ABD 折起,使∠BDC=90°(如图 2 所示) .记 BD=x,V(x)为三棱锥 A﹣BCD 的体积.

(1)求 V(x)的表达式; (2)设函数 ,当 x 为何值时,f(x)取得最小值,并求出该最小值;

(3)当 f(x)取得最小值时,设点 E,M 分别为棱 BC,AC 的中点,试在棱 CD 上确定一点 N,使得 EN⊥BM,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小. 【考点】直线与平面所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】综合题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (1)先利用线面垂直的判定定理证明 AD 即为三棱锥 A﹣BCD 的高,再将三棱锥的 体积表示为 x 的函数; (2)由(1) ,利用配方法,即可得出结论; (3)可先建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标和相关向量的坐标,设出动点 N 的坐标, 先利用线线垂直的充要条件计算出 N 点坐标,从而确定 N 点位置,再求平面 BMN 的法向量, 从而利用夹角公式即可求得所求线面角. 【解答】解: (1)设 BD=x,则 CD=3﹣x

∵∠ACB=45°,AD⊥BC,∴AD=CD=3﹣x ∵折起前 AD⊥BC,∴折起后 AD⊥BD,AD⊥CD,BD∩DC=D ∴AD⊥平面 BCD ∴VA﹣BCD=V(x)= ×AD×S△ BCD= ×(3﹣x)× ×x(3﹣x)= (x ﹣6x +9x) x∈(0,3) ; (2) = (x﹣1) +4,
2 3 2

∴x=1 时,f(x)取得最小值 4; (3)以 D 为原点,建立如图直角坐标系 D﹣xyz,由(2)知,BD=1,AD=CD=2 ∴D(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(0,2,0) ,A(0,0,2) ,M(0,1,1) ,E( ,1,0) , 且 =(﹣1,1,1) =(﹣ ,λ﹣1,0) =0

设 N(0,λ,0) ,则 ∵EN⊥BM,∴ ?

即(﹣1,1,1)?(﹣ ,λ﹣1,0)= +λ﹣1=0,∴λ= , ∴N(0, ,0) ∴当 DN= 时,EN⊥BM 设平面 BMN 的一个法向量为 =(x,y,z) , ∵ =(﹣1, ,0)

∴得

,取 =(1,2,﹣1)

设 EN 与平面 BMN 所成角为 θ,则

=(﹣ ,﹣ ,0)

sinθ=|cos<

, >|=|

|=

∴θ=60° ∴EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60°.

【点评】本题主要考查了线面垂直的判定,折叠问题中的不变量,空间线面角的计算方法, 空间向量、空间直角坐标系的运用,有一定的运算量,属中档题.


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