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高三数学-南通市高级中学2015届高三一模数学试题


南通市高级中学 2014-2015 年高三数学一模试卷 试题Ⅰ 注 意 事 项 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分。 考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷 及答题卡的规定位置。 3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、 准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置作 答一律无效。 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 一、填空题:本大题共 置上. 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 1. 已知集合
U ? ?1,,, 3 5 9?



A ? ?1,, 3 9?



B ? ?1, 9?

,则 CU ( A

B) ?

▲ .

2. 若 z ? z ? 9 (其中 z 表示复数 z 的共轭复数) ,则复数 z 的模为 ▲ . 3. 已知函数
f ( x) ? a x 在 x ? 1 处的导数为 ?2 ,则实数 a 的值是 ▲ .

4. 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》 (GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量:“饮酒驾车”的临界值为 20mg/100ml; “醉酒驾车”的临界值为 80mg/100ml.某地区交通执法部门统计了 5 月份的执法记录数据:

根据此数据,可估计该地区 5 月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 ▲ .

5. 要得到函数 单位.

y ? sin 2 x

y ? sin 2 x ? π 3 的图象向右至少平移 ▲ 个 的函数图象, 可将函数

?

?

6. 在平面直角坐标系 xOy 中, “直线 y ? x ? b ,b ? R 与曲线 切”的充要条件是 “ ▲ ”.

x ? 1 ? y2



开始
i ?1

7. 如图, Ni 表示第 i 个学生的学号,Gi 表示第 i 个学生的成绩,已知学 号在 1~10 的学生的成绩依次为 401、392、385、359、 372、327、354、 361、345、337,则打印出的第 5 组数据是 ▲ . 8. 在△ ABC 中,若 tan A : tan B : tan C ? 1: 2 : 3 ,则 A ? ▲ .

N

打印Ni, Gi
i ? i ?1

9. 已知 y ? f ( x) 是 R 上的奇函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,则不等
N
1

i ? 50

Y
结束 (第 7 题)

2 式 f ( x ? x) ? f (0) 的解集为 ▲ .

10.设正四棱锥的侧棱长为 1,则其体积的最大值为 ▲ . 11.已知平面向量 a , b , c 满足
a ?1



b ?2

, a , b 的夹角等

π c 于 3 ,且 (a ? c ) ? (b ? c ) ? 0 ,则 的取值范围是 ▲ .

0) 、 A2 ( x2, 0) 分别作 x 12.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A1 ( x1,
2 ? ? ? ? 0) ,这样就 轴的垂线与抛物线 x ? 2 y 分别交于点 A1 、A2 ,直线 A1 A2 与 x 轴交于点 A3 ( x3,



x1、x2 确定了 x3 .同样,可由 x2、x3 确定 x 4 ,…,若 x1 ? 2 , x2 ? 3 ,则 x5 ?

▲ .

h ? min a, 2 b 2 a ? 4b ,其中 a,b 均为 13.定义: min {x,y}为实数 x,y 中较小的数.已知

?

?

正实数,则 h 的最大值是

▲ .

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 1) 2 14.在平面直角坐标系 xOy 中,直角三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆 a 上, 27 (0,) 1 为直角顶点.若该三角形的面积的最大值为 8 ,则实数 a 的值为 其中 A ▲ .
二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证 明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)

f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? sin x ? π sin x ? π , x?R 4 4 已知函数 .
(1)求 f ( x) 的最小正周期和值域; (2)若 x ? x0

? ? ? ?

?0

≤x0 ≤ π

2 为 f ( x) 的一个零点,求 sin 2 x0 的值.

?

16. (本题满分 14 分) 如图,在边长为 1 的菱形 ABCD 中,将正三角形 BCD 沿 BD 向上折起,折起后的点 C 记 为 C ? ,且
CC ? ? a ( 0 ? a ? 3 ) .

D

C?

a? 3 2 ,求二面角 C—BD— C ? 的大小; (1)若
(2)当 a 变化时,线段 CC ? 上是否总存在一点 E,使得 A C ? //平面 BED?请说明理由.
2

A

C

B (第 16 题)

17. (本题满分 15 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,设 A、B 是双曲线 的中点, 线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C、D 两点. (1)求直线 AB 与 CD 的方程; (2)判断 A、B、C、D 四点是否共圆?若共圆,请求出圆的方程;若不共圆,请说明理由.

x2 ?

y2 ?1 2 上的两点, M (1,2) 是线段 AB

18. (本题满分 15 分) 某省高考数学阅卷点共有 400 名阅卷老师, 为了高效地完成文、 理科数学卷的阅卷任务, 需将 400 名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作,一组完成 269 捆文科卷,另一组完成 475 捆理科卷.根据历年阅卷经验,文科每捆卷需要一位阅卷老师工作 3 天完成,理科每捆卷需 要一位阅卷老师工作 4 天完成. (假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同,每捆卷的份数 也相同) (1)如何安排文、理科阅卷老师的人数,使得全省数学阅卷时间最省? (2)由于今年理科阅卷任务较重,理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作 4.5 天完成,在 按 (1) 分配的人数阅卷 4 天后, 阅卷领导小组决定从文科组抽调 20 名阅卷老师去阅理科卷, 试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天?(天数精确到小数点后第 3 位)
807 ? 6.782 95 331 ? 3.343 1013.5 ? 3.367 ? 6.786 119 14 (参考数据: , , 99 , 301 )

19. (本题满分 16 分)
? ? 已知函数 f ( x) 的导函数 f ( x) 是二次函数,且 f ( x) ? 0 的两根为 ?1 .若 f ( x) 的极大值

与极小值 之和为 0, f (?2) ? 2 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若函数在开区间 (m ? 9, 9 ? m) 上存在最大值与最小值,求实数 m 的取值范围. (3)设函数 f ( x) ? x ? g ( x) ,正实数 a,b,c 满足 ag (b) ? bg (c) ? cg (a ) ? 0 ,证明:a ? b ? c .

20. (本题满分 16 分) 设首项为 1
a 的正项数列 ? n ? 的前

an 2 S n n 项和为 ,数列 的前 n 项和为 Tn ,且

? ?

3

Tn ?

4 ? ( Sn ? p) 2 3 ,

其中 p 为常数. (1)求 p 的值;
a (2)求证:数列 ? n ? 为等比数列;
x y (3) 证明: “数列 an ,2 an ?1 ,2 an?2 成等差数列, 其中 x、 y 均为整数”的充要条件是“ x ? 1 ,

且 y ? 2 ”. 试题Ⅱ (附加题) 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 答.若 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. A. (几何证明选讲) D 如图,AB 是半圆的直径,C 是 AB 延长线上一点,CD 切 半圆于点 D,CD=2,DE⊥ AB,垂足为 E,且 E 是 OB 的 中点,求 BC 的长. · E A B O B. (矩阵与变换) (第 21—A 题)
?1 2 ? ?1? ?2 a ? ? ? ? 的属于特征值 b 的一个特征向量为 ?1? ,求实数 a 、 b 的值. 已知矩阵 ?

C

C. (极坐标与参数方程)
? x ? 2 pt 2, ? ? ? y ? 2 pt ( t 为参数, p 为正常数) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,? 2) 在曲线 ? ,求

p的
值. D. (不等式选讲)

1 ? 1 ? 1 ≥9. a , a , a a ? a ? a ? 1 a 1 2 3 1 2 3 设 均为正数,且 ,求证: 1 a2 a3
【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时 应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.
2 x ? ?0, ? ?? 22.已知函数 f ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x ? 2 x , ,求 f ( x) 的最大值.

4

k k ?1 23. (1)已知 k、n ? N * ,且 k≤n ,求证: kCn ? nCn ?1 ;

(2)设数列 a 0 , a1 , a2 ,…满足 a0 ? a1 , ai ?1 ? ai ?1 ? 2ai (i ? 1,2,3,…) .
0 n 1 n ?1 2 2 n ?2 n n 证明:对任意的正整数 n, p( x) ? a0Cn (1 ? x) ? a1Cn x(1 ? x) ? a2Cn x (1 ? x) ? ??? ? an Cn x 是

关于 x 的一次式.

南通市数学一模试卷 参考答案 1.

?5? ;

2. 3;

3. 2;

4. 0.09;

π 5. 6 ;

6. b ? ? 2 ;

361 ; 7. 8,

π 8. 4 ;

1) ; 9. (0,

4 3 10. 27 ;

? 7? 3 ? , 7 ? 3? ? 2 2 ?; 11. ?

12.

1 2;

1 13. 2 ;

14.

3. 答案解析 1.易得 2.
A U B ? A ? ?1,, 3 9? 5 U ( A U B) ? ? ? ; ,则 ?

z ?

z? z ? 3



f ?( x) ? ? a x2 ,则 f ?(1) ? ?a ? ?2 ,即 a ? 2 ; 3. 易得

4. “饮酒驾车” 发生的频率等于 5. 将

? y ? sin 2 x ? π ? sin 2 x ? ? 3 ? 向右至少平移 ? 个单位得 y ? sin 2 x ;
b ?1

?

?

? ?

11 ? 5 ? 2 ? 0.09 200 ;

6. 易得 2

,且 b ? 0 ,即 b ? ? 2 ;

361 7. 打印出的第 5 组数据是学号为 8 号,且成绩为 361,故结果是 8, ;

8.



tan A ? k

, 则

t a B ?n k

2 ,

tan C ? 3k

, 且

k ?0

, 利 用

t a C? n?

A ?n ) B t a n A ?t B a? ? n t (a 1? t Aa n B可 t a n
A? ? ?;

求得 k ? 1 ,所以

2 1) 9. 易得 f (0) ? 0 , x ? x ? 0 ,故所求解集为 (0, ;

5

10. 法 1

2 V ? 1 x2 1 ? x ? 2 x4 2 ? x2 3 2 6 设正四棱锥的底面边长为 x ,则体积 ,记

?

?

y ? t2 ? 2 ? t?



t?4 y ? 32 V ?4 3 3 时, max 27 ,此时 max 27 ; V ? 1 ? 2cos2 ? ? sin ? ? 2 1 ? sin 2 ? ? sin ? 3 3 法 2 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为 ? ,则 ,
t ? 0 ,利用导数可求得当

?

?

Vmax

t? 3 ymax ? 2 3 0<? ? ? y ? 1 ? t 2 t, 0 ? t ?1 3 9 ,此时 ? ,记 ,利用导数可求得当 时, B ?4 3 27 ;

?

?

C2

15.命题立意:本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式,考查运 算求解 M 能力. C1 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 sin 2 x ? cos x2 ? 1 ? cos 2 x ? 3sin 2 x O ? 1 cos 2 x A 2 2 2 (1)易得 (第 11 题图) π 1 1 ? 3 s i nx2 ? co x? s 2 2sin 2 x ? ? 6 2, 2= (5 分) ?? 3 ,5 ? ? 2 2? ?; 所以 f ( x) 周期 π ,值域为 ? (7 分) f ( x0 ) ? 2sin 2 x0 ? π ? 1 ? 0 sin 2 x0 ? π ? ? 1 ? 0 6 2 6 4 (2)由 得 , (9 分) π π 5π 0≤x0 ≤ π - ≤2 x0 - ≤ , 6 6 6 2 又由 得

?

?

?

?

?

?

?

?

15 π - π ≤2 x0 - π ≤0, cos 2 x0 ? ? 6 4 , 6 6 所以 故 (11 分)
sin 2x0 ? sin ? 2 x0 ? π ? π ? ? sin 2 x0 ? π cos π ? cos 2 x0 ? π sin π ? 6 6 6 6 6 6? ? ? 此时, 1 5? ??1? 3 ? 1 5 ?1 ? 8 4 2 4 2 3 . (14 分)

?

?

?

?

?

?

?

?

16.命题立意:本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象、推理论 证能力. 解: (1)连结 AC ,交 BD 于点 O ,连结 OC ? , 菱形 ABCD 中, CO ? BD , 因三角形 BCD 沿 BD 折起,所以 C ?O ? BD , B
6

D

C?
E

A

O

C

(第 16 题图)

故 ?C ?OC 为二面角 C—BD— C ? 的平面角, (5 分)

C ?O ? CO ? 3 CC ? ? 3 2 ,而 2 , ? ?C ?OC ? ? ? C ? 所以 ,二面角 C—BD— 的大小为 ? ; (7 分)
易得 (2)当 a 变化时,线段 CC ? 的中点 E 总满足 A C ? //平面 BED,下证之: (9 分) 因为 E,O 分别为线段 CC ? ,AC 的中点, 又 AC ? ? 平面 BED, OE ? 平面 BED, 所以 OE // AC ? , (11 分)

所以 A C ? //平面 BED. (14 分)

17.命题立意:本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识,考查运算求解与探究能力.
4 ? y1 ) , 解 :( 1 ) 设 A ( x1,y1 ) , 则 B(2 ? x1,

代入双曲线

x2 ?

y2 ?1 2 得

? 2 y12 x ? ? 1, ? ? 1 2 ? 2 ?(2 ? x ) 2 ? (4 ? y1 ) ? 1, 1 ? ? 2

? x1 =-1, ? x1 ? 3, ? ? y ?0 y ? 4, ( ? 1,0) (3,4) 解得 ? 1 或? 1 即 A、 B 的坐标为 、 ,

所以 AB : y ? x ? 1 , CD : y ? ? x ? 3 ; (7 分) (2)A、B、C、D 四点共圆,下证之: (9 分) 证明:由 y ? ? x ? 3 与

x2 ?

y2 ?1 2 联立方程组可得

C、 D 的坐标为 ?3 ? 2 5,6 ? 2 5 、 ?3 ? 2 5,6 ? 2 5 , (11 分)
2 2 由三点 A、B、C 可先确定一个圆 ( x ? 3) ? ( y ? 6) ? 40 ①, (13 分)

?

? ?

?

经检验

D ?3 ? 2 5,6 ? 2 5

?

? 适合①式,所以 A、B、C、D 四点共圆. (15 分)
*

(注:本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆) 18.命题立意:本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力,考查运算求解能力. 解: (1)设文科阅卷人数为 x ,且 x ? N ,
? 269 ? 3 ,x≤119.246, ? x f ( x) ? ? ? 475 ? 4 ,x ? 119.246, ? 400 ? x 则阅卷时间为 (5 分)

而 f (119) ? 6.782,f (120) ? 6.786, 故 f (119) ? f (120) , 答:当文、理科阅卷人数分别是 119,281 时,全省阅卷时间最省; (8 分)
7

269 ? 3 ? 119 ? 1 ? 4 ? 3 3 4? ? 7.343 99 (2)文科阅卷时间为: , (11 分) 475 ? 4.5 ? 281? 1 ? 4 ? 4.5 4.5 4? ? 7.367 301 理科阅卷时间为: , (14 分)
答:全省阅卷时间最短为 7.367 天. (15 分) 19.命题立意:本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识,考查灵活运 用数形 结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的综合能力. y f ?( x) ? a( x ? 1)( x ? 1) 解: (1)设 , 2
f ( x) ? a

则可设

? x3 ? x ? ? c ,其中 c 为常数.
3

?1
?2 ?2
O 1

2
x

因为 f ( x) 的极大值与极小值之和为 0, 所以
f (?1) ? f (1) ? 0

,即 c ? 0 , (第 19 题图)

由 f (?2) ? 2 得 a ? ?3 ,
3 所以 f ( x) ? 3x ? x ; (5 分) 3 ? (2)由(1)得 f ( x) ? 3x ? x ,且 f ( x) ? ?3( x ? 1)( x ? 1)



表:

x y? y
分)

(?2, ? 1) ?

?1 0
极小值 ?2

(?1, 1)



+ ↗

1 0 极大值 2

(1, 2) ?



由题意得,三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值(如图) , (7 又 f (?2) ? 2 ,故 f (2) ? ?2 , 解得 7≤m ? 8 ; (10 分)
2 2 2 (3)题设等价与 a(3 ? b ) ? b(3 ? c ) ? c(3 ? a ) ,且 a,b,c ? 0,

所以 1 ? 9 ? m≤2 ,且 ?2≤m ? 9 ? ?1 ,

所以 a,b,c 均小于 3 . 假设在 a,b,c 中有两个不等,不妨设 a ? b,则 a ? b 或 a ? b.
2 2 2 2 若 a ? b,则由 a(3 ? b ) ? b(3 ? c ) 得 3 ? b ? 3 ? c 即 b ? c ,

8

2 2 又由 b(3 ? c ) ? c(3 ? a ) 得 c ? a.

于是 a ? b ? c ? a,出现矛盾. 同理,若 a ? b,也必出现出矛盾. 故假设不成立,所以 a ? b ? c . (16 分) 20.命题立意:本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识,考 查灵活 运用基本量进行探索求解、推理分析能力.

解: (1)n ? 1 时,由

1?

4 ? (1 ? p)2 3 得 p ? 0 或 2, (2 分) 4 ? Sn 2 3 , 4 ? (1 ? a2 )2 a2 ? ? 1 3 2, ,解得 a2 ? 0 或

若 p ? 0 时,

Tn ?

当 n ? 2 时,

1 ? a22 ?

而 an ? 0 ,所以 p ? 0 不符合题意,故 p ? 2; (5 分)
Tn ? 4 ? 1 (2 ? Sn )2 Tn?1 ? 4 ? 1 (2 ? Sn?1 )2 3 3 3 3 (2)当 p ? 2 时, ① ,则 ② ,
?① ② 并化简得 3an?1 ? 4 ? Sn ?1 ? Sn ③ ,则 3an? 2 ? 4 ? Sn?2 ? Sn?1 ④ ,
?③ ④ 得

an ? 2 ? 1 an ?1 a2 ? 1 a1 ? n ? N 2 2 , ( ) ,又易得

1 an ? n ?1 2 所以数列{an}是等比数列,且 ; (10 分) 1 1 2 an ? n x y 2 ?1 知 an , 2 an ?1 , 2 an?2 依次为 2n?1 , 2n , (3)充分性:若 x ? 1,y ? 2,由
2
n ?1

4


1 ? 4 2? 2 ? n n 2 2 ?1 2n ?1 ,即 an,2xan?1,2yan?2 成等差数列; 满足 (12 分)
2 x an ?1 , 2 y an?2 成等差数列, 必要性: 假设 an , 其中 x、 y 均为整数, 又

1 an ? n 2 ?1 ,

1 ? 2y ? 1 2 ? 2x ? 1 ? n n ?1 2 2 2n?1 , 所以
x y ?2 化简得 2 ? 2 ? 1

显然 x ? y ? 2 ,设 k ? x ? ( y ? 2) ,
x y ?2 x y ?2 因为 x、y 均为整数,所以当 k≥2 时, 2 ? 2 ? 1 或 2 ? 2 ? 1 ,

9

故当 k ? 1 ,且当 x ? 1 ,且 y ? 2 ? 0 时上式成立,即证. (16 分) 21.A.命题立意:本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证、运算求解能力. 解:连接 OD,则 OD⊥DC,
OE ? 1 ?1 2 在 Rt△OED 中, OB 2 OD, 所以∠ODE ? 30°, (5 分)

在 Rt△ODC 中,∠DCO ? 30°,由 DC ? 2 得 OD ? DCtan30°?

2 3 3 ,

?2 3 3 . 所以 BC (10 分) B.命题立意:本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量,考查运算求解能力.
?1 2 ? ?1? ?1? ? 2 a ? ?1? b ?1? ? ? ?= ? ?, 解:由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知 ? (5 分) ?b ? 3, ? b ? a ? 2, b ? 3 .(10 分) 所以 ? 解得 a ? 1,

C.命题立意:本题主要考查参数方程,考查运算求解能力.
? x ? 2 pt 2, ? ? ? ? y ? 2 pt,
2 ( t 为参数, p 为正常数) ,消去参数 t 得 y ? 2 px , (8 分)

解:由

2 将点 A(1,? 2) 代入 y ? 2 px 得 p ? 2 .(10 分)

D.命题立意:本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证能力. 证明:因为 a1,a2,a3 均为正数,且 a1 ? a2 ? a3 ? 1 ? 0 ,
1 1 ? 1 ? 1 ? (a ? a ? a ) 1 ? 1 ? 1 ≥3 ? a a a ? 3 ? 3 1 1 1 1 2 3 1 2 3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 所以 a1 a2 a3

?

?

?

? ?9, (8 分)
1 3

a1 ? a2 ? a3 ? 1 3 时等号成立, 当且仅当

1 ? 1 ? 1 ≥9 a 所以 1 a2 a3 .(10 分)
22.命题立意:本题主要考查复合函数求导等知识,考查运算求解、推理论证能力.
2 ? 证明:由 f ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x ? 2 x 得 f ( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x , (2 分)

令 g ( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x ,则

g ?( x) ? 2 ? 2 ? ?2 x 1? x 1? x ,

? 0) 当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 在 (?1, 上为增函数; ? ? ?) 当 x>0 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, 上为减函数,

10

所以 g ( x) 在 x=0 处取得极大值,且 g (0) ? 0 , (6 分)
? 故 f ( x)≤0 (当且仅当 x ? 0 时取等号) ,

0, ? ?? 所以函数 f ( x) 为 ? 上的减函数, (8 分)

则 f ( x)≤f (0) ? 0 ,即 f ( x) 的最大值为 0. (10 分) 23.命题立意:本题主要考查组合数的性质、二项式定理,考查推理论证能力. (1)证明:左边 右边
? n?
? kCk n ?k? n! n! ? k !(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )! ,

(n ? 1)! n! ? (k ? 1)!( n ? k)! ( k ?1)!( n ? k)! ,

k k ?1 所以 kCn ? nCn ?1 ; (3 分)

(2)证明:由题意得数列 a 0 , a1 , a2 ,…为等差数列,且公差为 a1 ? a0 ? 0 .(5 分)
0 n 1 n ?1 2 2 n ?2 n n 则 p( x) ? a0Cn (1 ? x) ? a1Cn x(1 ? x) ? a2Cn x (1 ? x) ? ??? ? an Cn x

n 1 n?1 n n ? a0C0 ? ??? ? ?a0 + n(a1 ? a0 )? Cn x n (1 ? x) ? ? a0 + (a1 ? a0 )? Cn x(1 ? x)

0 n 1 n ?1 n n n ?1 2 2 n ?2 n n ? ? 1 ? ? a0 ? ?Cn (1 ? x) ? Cn x(1 ? x) ? ??? ? Cn x ? ? (a1 ? a0 ) ?Cn x(1 ? x) + 2Cn x (1 ? x) ? ??? ? nCn x ?
n 0 n ?1 1 n?2 n ?1 n ?1 ? ? a0 ? (1 ? x) ? x ? ? (a1 ? a0 )nx ? ?C n ?1 (1 ? x) + C n ?1 x(1 ? x) ? ? ? ? ? C n ?1 x ?

? a0 ? (a1 ? a0 )nx ? x ? (1 ? x)?
? a0 ? (a1 ? a0 )nx ,

n?1

所以对任意的正整数 n, p( x) 是关于 x 的一次式. (10 分)

11


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