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(衡水万卷)2016年普通高等学校招生全国统一考试高考数学模拟试题(一)理(含解析)


2016 好题精选模拟卷 1 数学(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 M={x 丨

A 2

B2 2

C3 2

D4 2 在点(1,2)处的切线与 f(x)的切线的图

8.已知函数 f(x)= ?

?x ? ( 1 x>0) ?
2

2 ? ? -x -4x ? a(x ? 0)

像有三个公共点,则 a 的范围( ) A[-8,-4+2 5 ) B(-4-2 5 ,-4+2 5 ) C (-4+2 5 ,8] D(-4-2 5 ,-8]

x ≥0,x∈R} ,N={y 丨 y=3x?+1,x∈R} ,则 M∩N 为( ) x?1

A{x 丨 x>1} B{x 丨 x≥1} C{x 丨 x>1 或 x≤0} D{x 丨 0≤x≤1} 2. 已知 a 是实数, i 是虚数单位,若 a ? i 是纯实数,则 a =( ) 1? i A. 1 B. ?1 C. 2 D. ? 2 3. 已知命题 p:存在 0≤x≤

9.等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,公差为 d,已知(a 8 +1)?+2013(a 8 +1)=1, (a 2006 +1)?+2013(a 2006 +1)=-1,则下列结论正确的是( ) A d<0,S 2013 =2013 B d>0,S 2013 =2013 C d<0,S 2013 =-2013 D d>0,S 2013 =-2013

1 π ,cos2x+cosx-m=0 为真命题,则实数 m 的取值范围是( ) 2
C[-1,2] D[-

A[-

9 ,-1] 8

B[-

9 ,2] 8

9 ,+∞] 8

10. 某校在高二年级开设选修课其中数学选修课开了三个班.选课结束后,有四名选修英语的同学要求改修数学,但数 学选修每班至多可再接收两名同学,那么安排好这四名同学的方案有( ) A 72 种 B 54 种 C 36 种 D18 种 11.如图,半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 ? 内,过点 O 作平面 ? 的垂线交半球面于点 A ,过圆 O 的直径 CD 作 平面 ? 成 45? 角的平面与半球面相交,所得交线上到平面 ? 的距离最大的点为 B ,该交线上的一点 P 满足

4.如图,若输入 n 的值为 4,则输出 A 的值为

A.3
开始 输入n

B.-2

1 C- 3

1 D2

?BOP ? 60? ,则 A 、 P 两点间的球面距离为(
B


A

D P α C O

i ? 1, A ? 3
A? 1? A A? A

i ? i ?1


A、 R arccos

2 4

B、

?R
4

C、 R arccos

3 3

D、

?R
3

i ? n?
否 输出 A 结束

12.F 是双曲线 C:

x 2 y2 =1 (a>0,b>0)的右焦点,过点 F 向 C 的一条渐近线引垂线,垂足为 A,交另一条渐近线 a 2 b2

于 B,若 2 AF = FB ,则 C 的离心率为( )

?? ? ?? ?

5.函数 f(x)=x 丨 x+a 丨+b 是奇函数的充要条件为( ) A ab=0 B a+b=0 C a?+b?=0 D a=b

A

2

B 2

C

2 3 3

D

14 3
共 90 分)

第 II 卷(非选择题

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22~24 题为选考题,考生 6.已知 O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足 λ ∈(0,+ ? ),则动点 P 的轨迹一定经过△ABC 的( ) A 重心 B 垂心 C 外心 D 内心 14.正五边形 ABCDE 中,若把顶点 A、B、C、D、E 染上红、黄、绿三种颜色中的一种,使得相邻顶点所染的颜色不相同, 7.若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形,另外两个侧面都是有一个内角为 60 的菱形,则该棱柱的体积等于( )
0

=

+λ (

),

根据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线上。 13.若平面向量 a =(1,x)和 b =(2x+3,-x)互相平行,其中 x∈R,则 a ? b =

?

?

?

?

则不同的染色方法有

种。
1

a ? cn 15. 设△A n B n C n 的三边长分别为 a n , b n , c n ,n=1,2,3…若 b 1 > c 1 , b 1 +c 1 =2a 1 , a n+1 =a n , b n+1 = n , 2
c n+1 =

(2)求动点 Q 的轨迹方程. 21.已知 f ?x? ? x ln x, g ?x? ? x 3 ? ax2 ? x ? 2 (1)求函数 f ?x ? 的单调区间;(2)求函数 f ?x ? 在 ?t , t ? 2??t ? 0? 上的最小值; (3)对一切的 x ? ?0,??? , 2 f ?x ? ? g ' ?x ? ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 请考生在 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.选修 4-1:几何证明选讲 已知,如图,AB 是⊙O 的直径,G 为 AB 延长线上的一点,GCD 是⊙O 的割线,过点 G 作 AB 的垂线,交直线 AC 于点 E, 交 AD 于点 F,过 G 作⊙O 的切线,切点为 H.求证:

a n ? bn ,则 ? A n 的最大值为 2

x 2 y2 (a>0,b>0 ) 16.已知双曲线 2 - 2 =1 上一点 C,过双曲线中心的直线交双曲线于 A、B 两点。设直线 AC、BC 的斜率 a b
分别为 k1 、 k 2 ,当

2 ? ln k1 ? ln k 2 最小时,双曲线的离心率为 k1k 2

三.解答题:本大题共 6 小题,前 5 题每题 12 分,选考题 10 分,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤。 17.如 图 , 正 三 角 形 ABC 的 边 长 为 2 , D 、 E 、 F 分 别 在 三 边 AB 、 BC 、 CA 上 , 且 D 为 AB 的 中 点 。 ∠EDF=90°,∠BDE=θ (0°<θ <90°) (1)当 tan∠DEF=

3 时,求 θ 的大小; 2

(2)

求△DEF 的面积 S 的最小值及使得 S 取最小值时 θ 的值. (1)C,D,F,E 四点共圆; 18.某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间相互独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所 需的时间统计结果如下: 办理业务所 需时间(分) 频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 1 2 3 4 5 23.选修 4-4:极坐标与参数方程 已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程。 (2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。 (2)GH =GE·GF.
2

?
6



从第一个顾客开始办理业务时计时。 (1) 估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2) X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望。 19. 已 知 斜 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 , ?BCA ? 90? , AC ? BC ? 2 , A1 在 底 面 ABC 上 的 射 影 恰 为 AC 的 中 点 D , 又 知 BA1 ? AC1 . A C (1)求证: AC1 ? 平面 A1 BC ;
1

24.选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式|ax-1|+|ax-a|≥2(a>0).

B1

1

(2)求 CC1 到平面 A1 AB 的距离; (3)求二面角 A ? A1B ? C 的大小.
A D B

C

(1)当 a=1 时,求此不等式的解集; (2)若此不等式的解集为 R,求实数 a 的取值范围.

(x1 ,f ( x1 )) 20. 设函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x ? 2 分别在 x1、x2 处取得极小值、极大值 . xoy 平面上点 A、 B 的坐标分别为 、 ??? ? ??? ? (x2 ,f ( x2 )) ,该平面上动点 P 满足 PA ? PB ? 4 ,点 Q 是点 P 关于直线 y ? 2( x ? 4) 的对称点.求 (1)求点 A、 B 的坐标;

2016 好题精选模拟卷 1 答案解析 1. 【答案】A 【解析】集合 M 的解集为{x 丨 x>1 或 x≤0}集合 N 的解为{x 丨 x≥1} ,则 M∩N 为{x 丨 x>1} ,选 A
2

2. 【答案】A 【解析】本题考查复数的概念和代数运算. 由题意知
a?i 是纯虚数 1? i
a ? i (a ? i)(1 ? i) (a ? 1) ? (a ? 1)i , ? ? 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2

8. 【答案】D 【解析】当 x>0 时,f(x)=x +1,则 f′(x)=2x ∴f′(1)=2×1=2 则在点(1,2)处的切线方程为 y=2x 当 x≤0 时,y=f(x)= -x2 -4x ? a
y
2

?a ?1 ?0 ? ? 2 ,解得 a ? 1 .选 ∴? ?a ?1 ? 0 ? ? 2

A.

即(x+2) +(y-a) =4(y≥a)

2

2

3. 【答案】C 【解析】令 y=cos2x+cosx=2cos x+cosx-1=2(cosx+
2

1 2 9 )- 。 8 4 1 π 上是增函数,故 y max =-1,y min =2 2

B

∵0≤x≤

1 π 2

∴cosx∈[0,1]

∴y=cos2x+cosx 在 0≤x≤

O

x

又∵cos2x+cosx-m=0 ∴m= cos2x+cosx ∴m∈[-1,2] ∴选 C 4. 【答案】A

1 【解析】执行程序框图,第 1 次运行:A=-2,i=1;第 2 次运行:A=— 3 ,i=2; 1 第 3 次运行:A= 2 ,i=3;第 4 次运行:A=3,i=4;结束循环,输出 A 的值为 3.
5. 【答案】C 【解析】∵f(x)为奇函数 ∴f(0)=0 ∴b=0 ∵f(x)为奇函数 ∴f(-a)=-f(a) ∴b=-[a 丨 2a 丨+b] ∴-a 丨 2a 丨=0 ∴a=0 ∴a=0,b=0 ∴充要条件为 a?+b?=0 ∴选 C 6. 【答案】C

A

作出函数图象如右图 随着 a 减小时,半圆向下移动,当点 A(-4,a)落在切线上时,在点(1,2)处的切线与 f(x)的图象有三个公共点, 即 a=2×(-4)=-8 再向下移动,直到半圆与直线相切前,切线 f(x)的图象有三个公共点,相切时与 f(x)的图象有两个交点 即

?4 ? a 5

=2

解得 a=-4-2 5 <-8 ∴a 的取值范围是(-4-2 5 ,-8]. ∴选 D

9. 【答案】C 【解析】令 f(x)=x?+2013x 则 f(x)为增函数,且为奇函数 ∵由式易得(a 8 +1)>(a 2006 +1) ∴d<0 ∵a 8 +1+ a 2006 +1=0 ∴2a 1007 =-2

【解析】 ∵

?? ? = OD +λ (

∴a 1007 =-1 ),?

∴S 2013 =2013a 1007 =-2013

10. 【答案】B 【解析】由题意知有四名选修英语的同学要求改修数学,但数学选修每班至多可再接收两名同学,需要分类来解,将四

?? ? ∴ DP =λ ·(

?? ? )? ∴ DP ·

名同学分成三组:1,1,2;和 2,2 两种情况 =λ (-| |+| |)=0.? 分成 1,1,2 安排在三个数学班中:有

∴DP⊥BC. ∴P 在 BC 中垂线上 ∴选 C 7. 【答案】B
0 【解析】如图在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,设 ?AA 1B 1 ? ?AAC 1 1 ? 60 ,
0 O, 由条件有 ?C1 A 1B 1C1 于点 1B 1 ? 60 ,作 AO ? 面A

C1 ? C1 4 3 =36; A3 3 2

C2 ? C2 2 4 2 分成两组 2,2.安排在两个班里,有 =18. A3 2
∴一共有 36+18=54 种安排方案 ∴选 B. 11. 【答案】A 【解析】以 O 为原点,分别以 OB、OC、OA 所在直线为 x、y、z 轴,则 A(

cos ?AA1B1 cos 600 1 3 则 cos ?AAO ? ? ? ? 1 0 cos ?B1 AO cos30 3 3 1
∴ sin ?AA1O ?

6 3

∴ AO ? AA1 ? sin ?AA1O ?

2 6 3
∴选 B

2 2 1 3 R,0, R), P( R, R,0) 2 2 2 2

∴ VABC ? A1B1 AOC1 ? S?A1B1C1 ? AO ?

1 2 6 ? 2 ? 2 ? sin 600 ? ?2 2 2 3

3

? COS?AOP ?
∴选 A 12. 【答案】C

AO ? PO 2 ? 2 R 4

? ?AOP ? arccos

? 2 2 ? AP ? R ? arccos 4 4
B C

A

∴其轨迹为椭圆

b 【解析】由题意得右焦点 F(c,0) ,设一渐近线 OA 的方程为 y= x, a
A

则另一渐近线 OB 的方程为 y=-

b bm bn x 设 A(m, ) ,B(n,) a a a

∵2 AF = FB 当 ? A n 最大时,A 在短轴顶点处

?? ? ?? ?

B

C

∴2(c-m,-

bm bn bm bn )=(n-c,) ∴2(c-m)=n-c,-2 =a a a a

∴m=

3 3 c,n= c 4 2

∴A(

3 3bc c, ) 4a 4

3bc 4a ?b = ? 1 由 FA⊥OA 可得,斜率之积等于-1,即 3c a ?c 4
∴选 C.

此时 b n +c n =2a 1 ,b n =c n =a 1 16. 【答案】 3

∴这是等边三角形 ∴ ? A n =

? 3

c a 2 ? b2 2 3 2 2 ∴a =3b ,∴e= = = a 3 a
13. 【答案】2 或 2 5

【解析】①当 AB 与 x 轴重合时,k 1 k 2 =-

b2 a2

y

【解析】∵ a 与 b 平行 ∴2x+3=-x? ∴解得 x=-2 或 0

?

?

y-y1 y ? y1 y 2 -y12 b 2 ②∵k AC k BC = = = ? x-x1 x ? x1 x 2 -x12 a 2

C O A

B
x

? ? b =(-1,2) ② a =(1,0) ? ?? ? ??? ? ? ?? ??? ∴ a ? b = OA ? OB = BA ∴ BA =2 或 2 5
∴① a =(1,-2) 14. 【答案】30

?

? ? ?? ? b =(3,0) 令 a = OA

? ?? ? b = OB

2 2 ? x1 y1 =1 ? 2 2 2 2 ?a b ∵? ∴代入解得 y= ? ln k1 ? ln k 2 = ? ln k1k 2 2 2 k k k k x y 1 2 1 2 ? =1 2 2 ? b ?a

∴设 t= k1k 2 ,则 y=

【解析】本题需要分类来解答,首先 A 选取一种颜色,有 3 种情况. 如果 A 的两个相邻点颜色相同,2 种情况;这时最后两个边也有 2 种情况; 如果 A 的两个相邻点颜色不同,2 种情况;这时最后两个边有 3 种情况. ∴方法共有 3(2×2+2×3)=30 种

2 2 1 t-2 +lnt ∴求导得 y`= - 2 ? = 2 =0 时 t=2 t t t t
b2 a2


∴经检验单调性,知 t=2 时取最小值 即 k1k 2 =2 ∵ k1k 2 =

b2 =2 a2

? 15. 【答案】 3
【解析】∵b 1 +c 1 =2a 1 ① b2=

∴e= 1 ?

b2 = 3 a2

∴离心率为 3

a1 ? c1 a ? b1 1 ,c 2 = 1 ∴b 2 + c 2 = (b 1 +c 1 )+a 1 =2a 1 2 2 2

17. 【答案】(1)60° (2)

45°

由①②可合理推理得:b 3 +c 3 =2a 1 ;b 4 +c 4 =2a 1 ……b n +c n =2a 1

【解析】 (1)DE 中,由正弦定理得



在△ADF 中,由正弦定理得



4

(3) 过 H 作 HG ? A1 B 于 G , 连 CG , 则 CG ? A1B , 从 而 ? C G H 为 二 面 角 A ? A ? C的 平 面 角 , 在 Rt ?A 1 B 1BC 由 tan∠DEF= ,得 ,整理得 ,所以 θ =60°. 中, A1C ? BC ? 2 ,∴ CG ? 2 在 Rt ?CGH 中, sin ?CGH ? (2)S= DE·DF=
CH CG 42 7 42 7
z
A1
B1 C1

?

,故二面角 A ? A1B ? C 的大小为 arcsin

解法 2 :(1)如图,取 AB 的中点 E ,则 DE // BC ,∵ BC ? AC ,∴ DE ? AC , 又 A1 D ? 平面 ABC ,以 DE , DC , DA1 为 x, y, z 轴建立空间坐标系, 则 A(0, ?1,0) , C (0,1,0) , B(2,1,0) , A1 (0,0, t ) , C1 (0, 2, t ) , AC1 ? (0,3, t ) , .

???? ?

???? ??? ? ???? ? ??? ? BA1 ? (?2, ?1, t ) , CB ? (2,0,0) ,由 AC ? CB ? 0 ,知 A1C ? CB , 1

又 BA1 ? AC1 ,从而 AC1 ? 平面 A1 BC ∴当 θ =45°时,S 取最小值 .

A

D B

???? ? ???? (2)由 AC1 ? BA1 ? ?3 ? t 2 ? 0 ,得 t ?

C

y

3 .设平面 A1 AB 的法向量

x

18. 【答案】(1)0.22 (2)分布列见解析 0.51 【解析】设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布如下: Y P 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

? ???? ??? ? ? n ? AA1 ? y ? ? 为 n ? ( x, y, z) , AA1 ? (0,1, 3) , AB ? (2,2,0) , ? ? ??? ?
设 z ? 1 ,则 n ? ( 3, ? 3,1)

? ????

3z

?0

?

? ? n ? AB ? 2 x ? 2 y ? 0

,

①第一个顾客办理业务所需时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟; ②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟; ③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟 所以 P(A)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22。 (2)X 所有可能的取值为:0,1,2 X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟, 所以 P(X=0)=P(Y>2)=0.5; X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过 1 分钟,或第一个顾客办理业务 所需的时间为 2 分钟, 所以 P(X=1)=0.1×0.9+0.4=0.49; X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟,所以 P(X=2)=0.1×0.1=0.01; 所以 X 的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

???? ? 2 21 ? ? ∴点 C1 到平面 A1 AB 的距离 d ? 7 |n| ?? ???? ??? ? (3)设面 A1 BC 的法向量为 m ? ( x, y, z) , CA1 ? (0, ?1, 3) , CB ? (2,0,0) , ?? ???? ? ? m ? CA1 ? ? y ? 3z ? 0 ∴ ? ?? ??? ? ? ? m ? CB ? 2 x ? 0 ? ? ? ?? ?? ? m?n 7 ? ? ? ? ,根据法向量的方向 设 z ? 1,则 m ? (0, 3,1) ,故 cos ? m, n ?? ?
| AC1 ? n | | m|?| n| 7

可知二面角 A ? A1B ? C 的大小为 arccos 20. 【答案】 (1) A(?1,0), B(1,4) 当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 , 当 ? 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0

7 7
2 2

(2) ?x ? 8? ? ? y ? 2? ? 9 ∴解得 x ? 1或x ? ?1

【解析】 (1)令 f ?( x) ? (? x 3 ? 3x ? 2)? ? ?3x 2 ? 3 ? 0

∴函数在 x ? ?1 处取得极小值,在 x ? 1 取得极大值,故 x1 ? ?1, x2 ? 1, f (?1) ? 0, f (1) ? 4 ∴点 A、B 的坐标为 A(?1,0), B(1,4) . (2)设 p(m, n) , Q( x, y) ∴ PA ? PB ? ?? 1 ? m,?n? ? ?1 ? m,4 ? n? ? m2 ? 1 ? n 2 ? 4n ? 4

1 y?n 1 k PQ ? ? ,即 ?? 2 x?m 2
又∵PQ 的中点在 y ? 2( x ? 4) 上,∴
A1 B1 C1

期望:E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51。 19.解法 1 :(1)∵ A1 D ? 平面 ABC ,∴平面 AA1C1C ? 平面 ABC , 又 BC ? AC ,∴ BC ? 平面 AA1C1C , 得 BC ? AC1 ,又 BA1 ? AC1 , ∴ AC1 ? 平面 A1 BC (2)∵ AC1 ? A1C ,四边形 AA1C1C 为菱形,故 AA1 ? AC ? 2 , 又 D 为 AC 中点,知∴ ?A1 AC ? 60? .取 AA1 中点 F ,则 AA1 ? 平面 BCF ,从而面 A1 AB ? 面 BCF 过 C 作 CH ? BF 于 H , 则 CH ? 面 A1 AB , 在 Rt ?BCF 中, BC ? 2, CF ? 3 ,故 CH ?
2 21 7
A F

y?m ?x?n ? ? 2? ? 4? 2 ? 2 ?

消去 m, n 得 ?x ? 8? ? ? y ? 2? ? 9
2 2

G

H D B

C

? 1 0?t ? ?1 ? ?e 21.【答案】 (1) ? , ? ? ? (2)? f ( x) min ? e , 1 ?e ? ? t? ?tlnt e
' (1) f ( x) ? ln x ? 1, 令f '

1
(3)a≥-2

,即 CC1 到平面 A1 AB 的距离为 CH ?

2 21 7

?x ? ? 0, 解得 0 ? x ? 1 ,
e

? 1? ? f ?x ?的单调递减区间是 ? 0, ?; ? e?
5

1 令f ?x ? ? 0, 解得 x ? , e
'

?1 ? ? f ?x ?的单调递减区间是 ? ,?? ?. ?e ?

24. 【答案】 (1){x|x≤0 或 x≥2}(2)[3,+∞) 【解析】(1) 当 a=1 时,不等式为|x-1|≥1,∴ x≥2 或 x≤0,∴不等式解集为{x|x≤0 或 x≥2}. (2)不等式的解集为 R,即|ax-1|+|ax-a|≥2(a>0)恒成立.

1 1 1 1 1 ,t 无解; (ⅱ)0<t< <t+2,即 0<t< 时, f ( x) min ? f ( ) ? ? ; e e e e e 1 1 (ⅲ) ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x)在[t , t ? 2]单调递增, e e
(2)(ⅰ)0<t<t+2<

f ( x) min ? f ( t ) ? tlnt

1 ? 1 0?t ? ?e ? f ( x) min ? e , 1 ? t? ?tlnt e

∵|ax-1|+|ax-a|=

∴ a

=|a-1|≥2.

∵a>0,∴ a≥3, ∴ 实数 a 的取值范围为[3,+∞).

2 (3)由题意: 2 x ln x ? 3x 2 ? 2ax ? 1 ? 2 在 x ? ?0,??? 上恒成立 即 2 x ln x ? 3x ? 2ax ? 1

3 1 3x 1 x? ? 设 h? x ? ? ln x ? , 2 2x 2 2x ?x ? 1??3x ? 1? 令 h ' ?x ? ? 0 ,得 x ? 1, x ? ? 1 (舍) 1 3 1 ' ?? 则 h ?x ? ? ? ? 2 3 x 2 2x 2x 2
可得 a ? ln x ? 当 0 ? x ? 1 时, h ' ?x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, h ' ?x ? ? 0

? 当 x ? 1 时, h?x ? 取得最大值, h?x ? max =-2 ? a ? ?2 .

22. (1)连接 CB,∵∠ACB=90°,AG⊥FG,又∵∠EAG=∠BAC, ∴∠ABC=∠AEG.∵∠ADC=180°-∠ABC=180°-∠AEG=∠CEF, ∴∠ADC+∠FDC=∠CEF+∠FDC=180°,∴C,D,F,E 四点共圆. (2)由 C,D,F,E 四点共圆,知∠GCE=∠AFE,∠GEC=∠GDF, ∴△GCE∽△GFD,故 = ,即 GC·GD=GE·GF.∵GH 为圆的切线,GCD 为割线, ∴GH =GC·GD,∴GH =GE·GF.
2 2

GC GE GF GD

? 3 x ? 1? t ? ? 2 23. 【答案】 (1) ? (t 为参数) (2)2 ? y ? 1? 1 t ? ? 2 ? ? ? 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 (t 为参数) 【解析】 (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2 ? 3 x ? 1? t ? ? 2 2 2 (2)把直线 ? 代入 x ? y ? 4 , ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 2 2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2
6


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