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【数学】第一章《导数及其应用》综合测试(苏教版选修2-2)


高中苏教选修(2-2)第 1 章导数及其应用综合测试
一、选择题 1.直线运动的物体,从时刻 t 到 t ? ?t 时,物体的位移为 ?s ,那么 lim A.从时刻 t 到 t ? ?t 时,物体的平均速度 B.该物体在 t 时刻的瞬时速度 C.当时刻为 ?t 时该物体的速度 D.从时刻 t 到 t ? ?t 时位移的平均变化率 答案:B 2.曲线 y ? x ? 3x 上切线平行于 x 轴的点的坐标是(
3

?s 为( ?t ?0 ?t



) D. (?1 2) 或 (1 ? 2) , ,

A. (?1 2) ,

B. (1 ? 2) ,

C. (1, 2)

答案:D 3.下列求导正确的是( A. ?



2 ? cos x ?? 2 x cos x ? sin x ?x ? 2 ? x4 ? x ?

B. (sin x )? ? n sin x
n

n ?1

cos x

C. ? ?

? ?

1 ?? 1 ? ? x ? 2x x

D. (e

?2 x

? 3x)? ? ? ? 6e2 x ? sin cos3x

答案:C 4.过点 (?1 0) 作抛物线 y ? x ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为( ,
2



A. 2 x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 答案:D

B. 3x ? y ? 3 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

ln 3 ,b ? 3 A. a ? b ? c C. c ? a ? b
5.若 a ?

ln 5 ln 6 ,c ? ,则( 5 6 B. c ? b ? a D. b ? a ? c



第 1 页 共 13 页

答案:B 6.函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a ? (
3 2



A.2 答案:D
3

B.3

C.4

D.5

7. f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间 [?11] 上的最大值是( ,
2



A. ?2 B.0 C.2 D.4 答案:C 8. 下面都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象, 其中一定不正确的序号是 (



A.①② 答案:B

B.③④

C.①③

D.①④

9.曲线 y ? x( x ? 1)( x ? 2)?( x ? 50) 在原点处的切线方程为( A. y ? 1275x C. y ? 100 x 答案:D 10. y ? 2 x 与 y ? 3 ? x 所围成的图形的面积为(
2



B. y ? 2500 x D. y ? 1? 2 ? 3 ??? 50 x



A. 2 3 答案:C 11.

B. 9 ? 2 3

C.

32 3

D.

35 3

?

3

0

9 ? x2 dx ? (
B.

) C.

A. π 答案:C 12.

9π 2

9π 4

D.

9 4

?

0

?6

x ? 3 dx ? (



第 2 页 共 13 页

A.0 B.4 答案:D 二、填空题
x 2

C.6

D.9

13.函数 f ( x) ? e x 的单调递减区间为 答案: (?2, 0)



14. 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3(a ? 2) x ? 1 既有极大值又有极小值, 则实数 a 的取值范
3 2

围是 . 答案: a ? 2 或 a ? ?1 15.

?

π 2 0

x x? ? ? cos ? sin ? dx ? 2 2? ?

2



答案:

16.图 1 是一个质点做直线运动的 v ? t 图象,则质点在前 6s 内的 位移为 . 答案:9m

π ?1 2

三、解答题 17.设函数 f ( x) ? x ? bx ? cx( x ? R) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数.
3 2

(1)求 b,c 的值; (2)求 g ( x) 的单调区间与极值. 解: (1) f ?( x) ? 3x ? 2bx ? c ,
2

g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? x3 ? bx 2 ? cx ? (3x 2 ? 2bx ? c)
? x3 ? (b ? 3) x 2 ? (c ? 2b) x ? c 是一个奇函数,所以 g (0) ? 0 ,
得c ? 0, 由奇函数定义,得 b ? 3 ; (2)由(1)知 g ( x) ? x ? 6 x ,
3

从而 g ?( x) ? 3x ? 6 ,
2

第 3 页 共 13 页

( ( ? ? 由此可知, ??, 2) 和 ( 2, ?) 是函数 g ( x) 的单调递增区间, ? 2,2) 是函数 g ( x)
的单调递减区间,

g ( x) 在 x ? ? 2 时,取得极大值,极大值为 4 2 ; g ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值,极小值为 ?4 2 .
18.设 F ( x) ?

?

x

0

t (t ? 4)dt ( x ? 0) .

(1)求 F ( x) 的单调区间; (2)求函数 F ( x) 在 [1, 上的最值. 5] 解:由于 F ( x) ?

?

x ?1 ?x 1 t (t ? 4)dt ? ? (t 2 ? 4t )dt ? ? t 3 ? 2t 2 ? |0 ? x 3 ? 2 x 2 , 0 0 3 ?3 ? x

定义域是 (0, ?) . ? (1) F ?( x) ? x ? 4 x ,令 F ?( x) ? 0 ,得 x ? 4 ,
2

令 F ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 4 .

? 4) ?函数的单调递增区间是 (4, ?) ,单调递减区间是 (0, ;
(2)令 F ?( x) ? 0 ,得 x ? 4 ,

32 25 , F (5) ? ? , 3 3 5 32 ? F ( x) 在 [1, 上的最大值是 F (1) ? ? ,最小值是 F (4) ? ? . 5] 3 3
由于 F (1) ? ? , F (4) ? ? 19.设函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ,若对所有的 x ≥ 0 ,都有 f ( x) ≥ ax 成立,求实数 a 的取值范围. 解:令 g ( x) ? ( x ? 1) ln x( x ? 1) ? ax ,于是不等式 f ( x) ≥ ax , 即为 g ( x) ≥ g (0) 成立. 对函数 g ( x) 求导,得 g ?( x) ? ln( x ? 1) ? 1 ? a ,

5 3

第 4 页 共 13 页

令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? e 当x?e
a ?1

a ?1

? 1.

? 1时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为减函数;
a ?1

所以要对所有 x ≥ 0 都有 g ( x) ≥ g (0) 成立的充要条件为 e

? 1≤ 0 ,解得 a ≤1 ,

1? 即 a 的取值范围是 ? ??, .
20.如图 2,水渠的横断面为等腰梯形,水的横断面面积为 S , 水面高为 h , 问侧面与地面成的角 ? 为多大时, 才能使横断面被 水浸湿的长度(称为湿周)最小?并求出最小湿周. 解:设水浸湿的长度为 l , AB ? CD ? x , 则 S ? ( BC ? x cos ? )h ,

S ? x cos ? , h S ? l ? BC ? 2 x ? ? x cos ? ? 2 x h S S h , ? ? (2 ? cos ? ) x ? ? (2 ? cos ? ) h h sin ? ? BC ?
?l? ? h sin 2 ? ? (2 ? cos ? ) cos ? 1 ? 2 cos ? ?h , 2 sin ? sin 2 ?

令 l ? ? 0 ,则 cos ? ?

1 π ,?? ? . 2 3
? π? ? 0, ? ? 3?
?

?
l?
l

π 3

?π π? ? ,? ?3 2?

0
S ? 3h h

?
?

?

由表可知,当 ? ?

π S 时,可使湿周最小,最小值为 ? 3h . 3 h

21.设 y ? f ( x) 是二次函数,方程 f ( x) ? 0 有两个相等的实根,且 f ?( x) ? 2 x ? 2 . (1)求 y ? f ( x) 的表达式;

第 5 页 共 13 页

(2)求 y ? f ( x) 的图象与两坐标轴所围成图形的面积.

解: (1)设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,
2

则 f ?( x) ? 2ax ? b . 又 f ?( x) ? 2 x ? 2 ,所以 a ? 1 b ? 2 . ,

? f ( x) ? x 2 ? 2 x ? c .
又方程 f ( x) ? 0 有两个相等实根,即 x ? 2 x ? c ? 0 有两个相等实根,
2

所以 ? ? 4 ? 4c ? 0 ,即 c ? 1 . 故 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ;
2

(2)依题意,所求面积为 S ?

?

0

?1

1 ?1 ? ( x 2 ? 2 x ? 1)dx ? ? x3 ? x 2 ? x ? |0 1 ? . ? 3 ?3 ?

第 6 页 共 13 页

高中苏教选修(2-2)第 1 章导数及其应用综合测试
一、选择题 1.函数 f ( x) ? sin x 的导数 f ?( x) ? (
2

) D. sin 2x

A. 2sin x 答案:D

B. 2sin 2 x

C. 2cos x

2.已知函数 y ? 2 x ? ax ? 36 x ? 24 在 x ? 2 处有极值,则该函数的一个递增区间是
3 2



) B. (3, ?) ? C. (2, ?) ? D. (??, 3)

A. (2, 3) 答案:B

3.曲线 y ? x 在点 (11) 处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的面积为( ,
3



A.

4 3

B.

8 9

C.

8 3

D.

4 9

答案:C 4.设 f ( x) ? A. ?1 答案:D

? sin tdt ,则 f ? f ?0 ?
x

? π ?? ? ? ? 的值等于( ? 2 ??



B. 1

C. ? cos1

D. 1 ? cos1

5.若函数 y ?

ex 在 x ? x0 处的导数值与函数值互为相反数,则 x0 的值( x
B.等于 1 C.等于



A.等于 0 答案:C 6.定积分

1 2

D.不存在

?

π 2 0

sin 2

x dx 的值等于( 2
B.



A.

π 1 ? 4 2

π 1 ? 4 2

C.

1 π ? 2 4

D.

π ?1 2

答案:A 7.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率的平方成正比,比例 系数为 k (k ? 0) ,贷款的利率为 0.048,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利

第 7 页 共 13 页

率为 x( x ? (0, 0.048)) ,为使银行获得最大收益,则存款利率为( A.0.032 答案:A B.0.024 C.0..04 D.0.036



8. 若函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的极值点为 ? , 函数 g ( x) ? x ln x ( x ? 0) 的极值点为 ? ,
2 2

则有( A. ? ? ? 答案:A

) B. ? ? ? C. ? ? ? D. ? 与 ? 的大小不确定

9.由曲线 y ? e , y ? e 以及 x ? 1 所围成的图形的面积等于(
x

?x



A.2 答案:D

B. 2e ? 2

C. 2 ?

1 e

D. e ?

1 ?2 e


10.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? a 的极值点的个数是(
3 2

A.2 答案:C

B.1

C.0

D.由 a 确定

11.经过点 (3, 的直线 l 与抛物线 y ? 0)

x2 的两个交点处的切线相互垂直,则直线 l 的斜率 2
D. ?

k 等于( 1 A. ? 6
答案:A

) B. ?

1 3

C.

1 2
2 x

1 2


12.下列关于函数 f ( x) ? (2 x ? x )e 的判断正确的是( ① f ( x) ? 0 的解集是 ? x | 0 ? x ? 2? ; ② f (? 2) 是极小值, f ( 2) 是极大值; ③ f ( x) 既没有最小值,也没有最大值. A.①③ B.①②③ 答案:D 二、填空题
2

C.②

D.①②

13.已知 f ( x) ? x , g ( x) ? x ,若 f ?( x) ? g ?( x) ? ?2 ,则 x ?
3



第 8 页 共 13 页

答案:

1? 7 3

14.若函数 f ( x) ? 是 .

4x 在区间 (m,m ? 1) 上是单调递增函数,则实数 m 的取值范围 2 x ?1
2

答案: ?1 ? m ≤ 0 15.一个质点以速度 v(t ) ? t ? 1 ? 6(m/s) 沿直线运动,则在时间间隔 (1 4) 上的位移 ,
2

是 . 答案:31.5m 16.已知函数 f ( x) ? 是 . 答案: m ≥ 三、解答题 17. 已知作用于某一质点的力 F ( x ) ? ?

1 3 1 2 x ? x ? 2 x ? m 的图象不经过第四象限,则实数 m 的取值范围 3 2

7 6
? x, 0 ≤ x ≤ 1 ? , (单位: , N) 试求力 F 从 x ? 0 ? x ? 1, 1 ? x ≤ 2 ?

处运动到 x ? 2 处(单位:m)所做的功. 解:力 F 所做的功 W ?

? xdx ? ?
0

1

2

1

( x ? 1)dx ?

1 2 1 ?1 2 ?2 x |0 ? ? x ? x ? |1 ? 3J . 2 ?2 ?

答:力 F 所作的功为 3J . 18.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c . f ( x) 在点 x ? 0 处取得极值,并且在单调区间
3 2

[0, 和 [4, 上具有相反的单调性. 2] 5]
(1)求实数 b 的值; (2)求实数 a 的取值范围. 解: (1) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b ,因为 f ( x) 在点 x ? 0 处取得极值,
2

所以 f ?(0) ? 0 ,即得 b ? 0 ; (2)令 f ?( x) ? 0 ,得 3x ? 2ax ? 0 ,
2

第 9 页 共 13 页

解得 x ? 0 或 x ? ? 依题意有 ?

2 a. 3

2 a?0. 3

x
f ?( x)

(??, 0)

0

2 ? ? ? ? 0, a ? 3 ? ?
?

2 ? a 3

? 2 ? ? ? ? a, ? ? ? 3 ?

?
?

0
极大值

0
极小值

?
?

f ( x)

?

因为函数在单调区间 [0, 和 [4, 上具有相反的单调性,所以应用 2 ≤ ? 2] 5] 解得 ?6 ≤ a ≤ ?3 . 19.已知函数 f ( x) ? x ? x ? 16 .
3

2 a≤4 , 3

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, 6) 处的切线方程; ? (2)直线 l 为曲线 y ? f ( x) 的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标. 解: (1)? f ?( x) ? ( x ? x ? 16)? ? 3x ? 1 ,
3 2

? ?在点 (2, 6) 处的切线的斜率 k ? f ?(2) ? 3 ? 22 ? 1 ? 13 ,

?切线的方程为 y ? 13x ? 32 ;
(2)设切点为 ( x0,y0 ) ,则直线 l 的斜率为 f ?( x0 ) ? 3x0 ? 1 ,
2 2 3 ?直线 l 的方程为: y ? (3x0 ? 1)( x ? x0 ) ? x0 ? x0 ? 16 .

又?直线 l 过点 (0, , 0)
2 3 ? 0 ? (3x0 ? 1)(? x0 ) ? x0 ? x0 ? 16 ,

整理,得 x0 ? ?8 ,? x2 ? ?2 ,
3

? y0 ? (?2)3 ? (?2) ? 16 ? ?26 ,

第 10 页 共 13 页

l 的斜率 k ? 3 ? (?2) 2 ? 1 ? 13 ,
? ?直线 l 的方程为 y ? 13x ,切点坐标为 (?2, 26) .

20.如图所示,求抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 和过它上面的点 P ? 1
2

?p ? ,p ? ?2 ?

的切线的垂线所围成的平面图形的面积. 解:由题意令 y ?

2 px ( x ≥ 0) ,

1 1 p y? ? ? ?2 p ? , y? | p ? 1 , x? 2 2 px 2 px 2
所以过 P 点且垂直于过 P 点的抛物线的切线的直线的斜率为 ?1 . 1 1 其方程为 y ? p ? ? ? x ? 即 2x ? 2 y ? 3 p ? 0 . 与抛物线方程联立消去 x ,得 y ? 2 py ? 3 p ? 0 ,
2 2

? ?

p? ?. 2?

解得 y ? p 或 y ? ?3 p . 又 x ? ?y ?

3 p, 2
p

?? 3 ? y2 ? dy 所以所求平面图形的面积为 S ? ? ?? ? y ? p ? ? ?3 p 2 ? 2p? ?? ?

? y2 3 1 3? p ? ? ? ? py ? y ? |?3 p 6p ? ? 2 2
?? 1 3 1 ? ? 9 9 9 ?? ? ?? ? p 2 ? p 2 ? p 2 ? ? ? ? p 2 ? p 2 ? p 2 ? ? 2 6 ? ? 2 2 2 ?? ?? 2

?

16 2 p . 3

21.甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙 第 11 页 共 13 页

方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 x (元)与年产量 t (吨)满足函数关系 x ? 2000 t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方

s 元(以下称 s 为赔付价格) (1)将乙方的年利润 w (元)表示为年产量 t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的
年产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y ? 0.002t (元) ,在乙方按照获得最大
2

利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价 格 s 是多少? 解: (1)因为赔付价格为 s 元/吨,所以乙方的实际年利润为 w ? 2000 t ? st . 由 w? ?

1000 1000 ? s t ?s ? , t t
? 1000 ? ? . ? s ?
2

令 w? ? 0 ,得 t ? t0 ? ?

当 t ? t0 时, w? ? 0 ;当 t ? t0 时, w? ? 0 , 所以 t ? t0 时, w 取得最大值.

? 1000 ? 因此乙方取得最大年利润的年产量 t 0 为 ? ; ? (吨) ? s ?
(2)设甲方净收入为 v 元,则 v ? st ? 0.002t .
2

2

? 1000 ? 将t ? ? ? 代入上式, ? s ?
得到甲方净收入 v 与赔付价格 s 之间的函数关系式 v ?

2

106 2 ? 4 ?109 . s s

又 v? ?

106 ? (8000 ? s 3 ) , s5

令 v? ? 0 ,得 s ? 20 . 当 s ? 20 时, v? ? 0 ;当 s ? 20 时, v? ? 0 , 所以 s ? 20 时, v 取得最大值. 因此甲方应向乙方要求赔付价格 s ? 20 (元/吨)时,获最大净收入. 第 12 页 共 13 页

22.由曲线 y ? 2 x ? 2(1≤ x ≤ 3) 及直线 y ? 0 ,绕 y 轴旋转所得旋转体做容器,每秒
2

钟向容器里注水 8cm3 ,问几秒钟后能注满容器?(坐标的长度单位是 cm) 解:如图,底面是 x 轴上 0 ≤ x ≤1部分的线段绕 y 轴旋转所生成的圆, 侧面是抛物线 y ? 2 x ? 2 上 1≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤16 部分绕 y 轴旋转所得
2

的曲面. 由 y ? 2 x ? 2 ,得 x ?
2

2

y?2 , 2

注满容器时的体积为 V ? π

?

16

0

? y2 ? y?2 dy ? ? ? y ? | ? 80π(cm3 ) . 2 ? 4 ?0

16

每秒注水 8cm ,充满容器所需时间为 80π ? 8 ? 10π (秒) .
3

所以 10π 秒钟后能注满容器.

第 13 页 共 13 页


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