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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第二章 2.3(一)


数学归纳法(一) 一、选择题 1.一个关于自然数 n 的命题,如果验证当 n=1 时命题成立,并在假设当 n =k(k≥1 且 k∈N*)时命题成立的基础上,证明了当 n=k+2 时命题成立,那么 综合上述,对于( ) A.一切正整数命题成立 B.一切正奇数命题成立 C.一切正偶数命题成立 D.以上都不对 1 1 1 1 1 2.在数列 {an}中,an=1- + - +?+ - ,则 ak+1=( 2 3 4 2n-1 2n 1 1 1 A.ak+ B.ak+ - 2k+1 2k+2 2k+4 1 1 1 C.ak+ D.ak+ - 2k+2 2k+1 2k+2 )

3.设平面内有 k 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设 k 条 直线的交点个数为 f(k),则 f (k+1)与 f(k)的关系是( ) A.f(k+1)=f(k)+k+1 B.f(k+1)=f(k)+k-1 C.f(k+1)=f(k)+ k D.f(k+1)=f(k)+k+2 4.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,第二步 归纳假设应写成( ) A.假设 n=2k+1(k∈N*)正确,再推 n=2k+3 正确 B.假设 n=2k-1(k∈N*)正确,再推 n=2k+1 正确 C.假设 n=k(k∈N*)正 确,再推 n=k+1 正确 D.假设 n=k(k≥1)正确,再推 n=k+2 正确 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.用数学归纳法证明 1+2+3+?+n =
2

n4+n2
2

时,当 n=k+1 时左端在 n=k

时的左端加上________. n 6 .利用数学归纳法证明“(n + 1)(n +2)?(n+ n) = 2 ×1×3×?×(2n - 1) , n∈N*”时,从“n=k”变到“n=k+1”时,左边应增乘的因式是________. 三、解答题(共 70 分) 7.(15 分)对于 n∈N*,用数学归纳法证明: 1 1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+?+(n-1)·2+n· 1= n(n+1)(n+2). 6

8.(20 分)已知正项数列{an}和{bn}中,a1=a(0<a<1),b1=1-a.当 n≥2

bn-1 . 1-a2n-1 (1)证明:对任意 n∈N*,有 an+bn=1; (2)求数列{an}的通项公式.
时,an=an-1bn,bn=

9.(20 分)数列{an}满足 Sn=2n-an(n∈N*). (1)计算 a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式 an; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.

10.(15 分)已知点 Pn(an,bn)满足 an+1=an·bn+1,bn+1=

bn
1-4an2

(n∈N*)且点

P1 的坐标为(1,-1). (1)求过点 P1,P2 的直线 l 的方程; (2)试用数学归纳法证明:对于 n∈N*, 点 Pn 都在(1)中的直线 l 上.
一、选择题 1.B 解析:本题证的是对 n=1,3,5,7,?命题成立,即命题对一切正奇 数成立.

1 1 1 1 1 1 1 1 解析: a1=1- ,a2=1- + - ,?,an=1- + - +?+ 2 2 3 4 2 3 4 2n-1 1 1 1 1 1 1 1 1 - ,ak=1- + - +?+ - ,所以,ak+1=ak+ - . 2n 2 3 4 2k-1 2k 2k+1 2k+2 2.D 3. C 解析:当 n=k+1 时,任取其中 1 条直线,记为 l,则除 l 外的其他 k 条 直线的交点的个数为 f(k),因为已 知任何两条直线不平行,所以直线 l 必与平 面内其他 k 条直线都相交(有 k 个交点);又因为已知任何三条直线不过同一点, 所以上面的 k 个交点两两不相同,且与平面内其他的 f(k)个交点也两两不相同, 从而平面内交点的个数是 f(k)+k=f(k+1). 4.B 解析:首先要注意 n 为奇数,其次还要使 n=2k-1 能取到 1. 二、填空题 5.(k2+1)+(k2+2)+?+(k+1)2 解析:n=k 时左端为 1+2+3+?+k2, n=k+1 时左端为 1+2+3+?+k2+(k2+1)+(k2+2)+?+(k+1)2. 6.2(2k+1)解析:当 n=k(k∈N*)时,左式为(k+1)( k+2)?(k+k); 当 n=k+1 时,左式为(k+1+1)·(k+1+2)·?·(k+1+k-1)·(k+1 +k) ·(k+1+k+1), (2k+1)(2k+2) 则左边应增乘的式子是 =2(2k+1). k+1 三、计算题 7.证明:设 f(n)=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+?+(n-1)·2+n·1. (1)当 n=1 时,左边=1,右边=1,等式成立; (2)设当 n =k 时等式成立,即 1·k+2·(k-1)+3·(k -2)+?+(k- 1 1)·2+k·1= k(k+1)(k+2), 6 则当 n=k+1 时, f(k + 1) =1·(k + 1) + 2[(k + 1) - 1] + 3[(k + 1) - 2] +?+ [(k + 1) - 2]·3+[(k+1)-1]·2+ (k+ 1)·1 =f(k)+1+2+3+?+k+(k+1)

1 1 = k(k+1)(k+2)+ (k+1)(k+1+1) 6 2 1 = (k+1)(k+2)(k+3). 6 ∴由(1)(2)可知当 n∈N*时等式都成立. 8.解: (1)证明:用数学归纳法证明. ①当 n=1 时,a1+b1=a+(1-a)=1,命题成立; ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N*)时命题成立,即 ak+bk=1,则当 n=k+1 时,

ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)·bk+1=(ak+1)·

bk bk bk = =1. 2= 1-ak 1-ak bk

∴当 n=k+1 时,命题也成立. 由①、②可知,an+bn=1 对 n∈N*恒成立. anbn an(1-an) an (2)∵an+1=anbn+1= = , 2= 2 1-an 1-an 1+an 1 1+an 1 ∴ = = +1,

an+1
1

an

an



an+1 an an

1 - =1.

1 1 1 数列{ }是公差为 1 的等差数列,其首项为 = ,

a1 a

1

an a

1 = +(n-1)×1,从而 an=

a . 1+(n-1)a

3 7 15 9. 解:(1)a1=1,a2= ,a3= ,a4= , 2 4 8 n 2 -1 由此猜想 an= n-1 (n∈N*). 2 (2)证明:当 n=1 时,a1=1,结论成立.[来源:学_科_网] 假设 n=k(k≥1,且 k∈N*)时,结论成立, 2k-1 即 ak= k-1 , 2 那么 n=k+1(k≥1,且 k∈N*)时, ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak =2+ak-ak+1. ∴2ak+1=2+ak, 2k-1 2+ k-1 2 2+ak 2k+1-1 ∴ak+1= = = , 2 2 2k 这表明 n=k+1 时,结论成立. 2n-1 ∴an= n-1 (n∈N*). 2

10. 解:(1)由 P1 的坐标为(1,-1)知 a1=1,b1=-1. b1 1 ∴b2= 2= .[来源:学,科,网 Z,X,X,K] 1-4a1 3 1 a2=a1·b2= . 3 1 1 ∴点 P2 的坐标为( , ) 3 3 ∴直线 l 的方程为 2x+y=1. (2)证 明:①当 n=1 时, 2a1+b1=2×1+(-1)=1 成立. ②假设 n=k(k∈N*,k≥1)时,2ak+bk=1 成立, 则当 n=k+1 时, 2ak+1+bk+1=2ak·bk+1+bk+1= =

bk
1-4ak2

(2ak+1)

1-2ak =1, 1-2ak 1-2ak ∴当 n=k+1 时,命题也成立. 由①②知,对 n∈N*,都有 2an+bn=1, 即点 Pn 在直线 l 上. =

bk

12.已知数列{an}的第一项 a1=5 且 Sn-1=an(n≥2,n∈N*),Sn 为数列{an}的前 n 项和. (1)求 a2,a3,a4,并由此猜想 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明{an}的通项公式. 12.(1)解 a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10,

a4=S3=a1+a2+a3=5+5+10=20, ?n=1? ?5 猜想 an=? . n-2 * ?5×2 , ?n≥2,n∈N ? (2)证明 ①当 n=2 时,a2=5×22-2=5,公式成立.

②假设 n=k(k≥2,k∈N*)时成立,即 ak=5×2k-2, 当 n=k+1 时,由已知条件和假设有 ak+1=Sk=a1+a2+a3+?+ak

=5+5+10+?+5×2k-2. 5?1-2k-1? =5+ =5×2k-1. 1-2 故 n=k+1 时公式也成立. 由①②可知,对 n≥2,n∈N*,有 an=5×2n-2. 所以数列{an}的通项公式为 ?5 an=? n-2 ?5×2 ?n=1? ?n≥2,n∈N*? .

13.解 假设存在 a、b、c 使上式对 n∈N*均成立,则当 n=1,2,3 时上式显然也 成立, 1×2 =6?a+b+c?, ? ? 1 此时可得? 1×2 +2×3 =2?4a+2b+c?, ? ?1×2 +2×3 +3×4 =9a+3b+c,
2 2 2 2 2 2

1

解此方程组可得 a=3,b=11,c=10, 下面用数学归纳法证明等式 1×22 + 2×32+ 3×42 +? + n(n+ 1)2= (3n2+11n+10)对一切正整数均成立. (1)当 n=1 时,命题显然成立. (2)假设 n=k 时,命题成立. 即 1×22+2×32+3×42+?+k(k+1)2= 则当 n=k+1 时,有 1· 22+2· 32+?+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2 = = = = k?k+1? 2 2 12 (3k +11k+10)+(k+1)(k+2) k?k+1? 2 12 (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2) ?k+1??k+2? 2 (3k +5k+12k+24) 12 ?k+1??k+2? [3(k+1)2+11(k+1)+10]. 12 k?k+1? 2 12 (3k +11k+10), n?n+1? 12

即当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对任何正整数 n,等式都成立. 16.(10 分)设 Sn= 1 1 1 1 + + +?+ ,写出 S1,S2,S3,S4 的值, 1×2 2×3 3×4 n×?n+1?

归纳并猜想出结果. 解 当 n=1,2,3,4 时,

计算得原式的值分别为: 1 2 3 4 S1=2,S2=3,S3=4,S4=5. 观察这 4 个结果都是分数,每个分数的分子与项数对应,且分子比分母恰好 小 1. n 归纳猜想:Sn= . n+1 证明 ∵ 1 1 1 1 1 1 =1-2, =2-3,?, 1×2 2×3 n×?n+1? 1 1 =n- . n+1 1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn=1- + - + - +?+ - 2 2 3 3 4 n n+1 =1- 1 n = . n+1 n+1

2an 18.(12 分)若 a1>0、a1≠1,an+1= (n=1,2,?,) 1+an (1)求证:an+1≠an; 1 (2)令 a1=2,写出 a2、a3、a4、a5 的值,观察并归纳出这个数列的通项公式 an;
? ?an+p? ? ?是等比数列,并求出公比 q 的值. (3)证明:存在不等于零的常数 p,使? ? an ? ? ?

(1)证明

2an (采用反证法).假设 an+1=an,即 =a ,解得 an=0,1. 1+an n

从而 an=an-1=??=a1=0,1,与题设 a1>0,a1≠1 相矛盾, ∴假设错误. 故 an+1≠an 成立.

(2)解 (3)证明

2 1 2 4 8 16 a1=2、a2=3、a3=5、a4=9、a5=17,an= n-1 . 2 +1 因为 an+1+p ?2+p?an+p an+1+p an+p = ,又 = a · q,所以(2+p-2q)an 2an an+1 an+1 n

n-1

+p(1-2q)=0, 因为上式是关于变量 an 的恒等式, 1 故可解得 q=2、p=-1. bn 19.(12 分)已知点 Pn(an,bn)满足 an+1=an· bn+1,bn+1= (n∈N*)且点 P1 的 1-4a2 n 坐标为(1,-1). (1)求过点 P1,P2 的直线 l 的方程; (2)试用数学归纳法证明:对于 n∈N*,点 Pn 都在(1)中的直线 l 上. (1)解 由 P1 的坐标为(1,-1)知 a1=1,b1=-1.

b1 1 1 ∴b2= b2=3. 2= ,a2=a1· 3 1-4a1 ?1 1? ∴点 P2 的坐标为?3,3?. ? ? ∴直线 l 的方程为 2x+y=1. (2)证明 ①当 n=1 时,2a1+b1=2×1+(-1)=1 成立.

②假设 n=k(k∈N*,k≥1)时,2ak+bk=1 成立. 则 2ak+1+bk+1=2akbk+1+bk+1 = 1-2ak bk bk = =1. 2(2ak+1)= 1-4ak 1-2ak 1-2ak

∴n=k+1 时,命题也成立. 由①②知,对 n∈N*,都有 2an+bn=1,即点 Pn 在直线 l 上. 例5.已知数列 ?an ? 的前 n 和为 S n ,其中 an ? (1)求 a2 , a3 (2)猜想数列 ?an ? 的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
Sn 1 且 a1 ? n(2n ? 1) 3

解答: (1) a2 ? K]

S2 a ?a ? 1 2 [来源:学。科。网 Z。X。X。 2(2 ? 2 ? 1) 6

1 1 1 又 a1 ? ,则 a2 ? ,类似地求得 a3 ? 15 35 3 1 1 1 (2)由 a1 ? , a2 ? , a3 ? ? 1? 3 3? 5 5? 7

猜得: an ?

1 (2n ? 1)(2n ? 1)

以数学归纳法证明如下: ①当 n ? 1 时,由(1)可知等式成立; ②假设当 n ? k 时猜想成立,即 ak ?
1 (2k ? 1)(2k ? 1)

那么,当 n ? k ? 1 时,由题设 an ?

Sn 得 n(2n ? 1)

ak ?

Sk Sk ?1 , ak ?1 ? k (2k ? 1) (k ? 1)(2k ? 1) 1 k = (2k ? 1)(2k ? 1) 2k ? 1

所以 Sk ? k (2k ? 1) ak = k (2k ? 1)
Sk ?1 ? (k ? 1)(2k ? 1)ak ?1

ak ?1 ? S K ?1 ? S K ? (k ? 1)(2k ? 1)ak ?1 -

k 2k ? 1

因此, k (2k ? 3)ak ?1 ? 所以 ak ?1 ?

k 2k ? 1

1 1 ? (2k ? 1)(2k ? 3) [2(k ? 1) ? 1][2(k ? 1) ? 1]

这就证明了当 n ? k ? 1 时命题成立. 由①、②可知命题对任何 n ? N ? 都成立. 例 1.用数学归纳法证明:
1 1 1 1 n ? ? ??? ? . ?2n ? 1??2n ? 1? 2n ? 1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

请读者分析下面的证法:

证明:①n=1 时,左边 ?

1 1 1 1 ? ,右边 ? ? ,左边=右边,等式成立. 1? 3 3 2 ?1 3

②假设 n=k 时,等式成立,即:
1 1 1 1 k . ? ? ??? ? ?2k ? 1??2k ? 1? 2k ? 1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

那么当 n=k+1 时,有:
1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ?2k ? 1??2k ? 1? ?2k ? 1??2k ? 3? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7
? 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?? ? 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2k ? 1 2k ? 1 ? ? 2k ? 1 2k ? 3 ? ?

?

1? 1 ? 1 2k ? 2 ?1 ? ?? ? 2 ? 2k ? 3 ? 2 2k ? 3

?

k ?1 k ?1 ? 2k ? 3 2?k ? 1? ? 1

这就是说,当 n=k+1 时,等式亦成立. 由①、②可知,对一切自然数 n 等式成立. 评述:上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的,这是一种假证,假就假 在没有利用归纳假设 n=k 这一步,当 n=k+1 时,而是用拆项法推出来的,这样归 纳假设起到作用,不符合数学归纳法的要求. 正确方法是:当 n=k+1 时.
1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ?2k ? 1??2k ? 1? ?2k ? 1??2k ? 3? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? k 1 ? 2k ? 1 ?2k ? 1??2k ? 3?

?

?2k ? 1??k ? 1? 2k 2 ? 3k ? 1 ? ?2k ? 1??2k ? 3? ?2k ? 1??2k ? 3?
k ?1 k ?1 ? 2k ? 3 2?k ? 1? ? 1

?

这就说明,当 n=k+1 时,等式亦成立, 例 2.是否存在一个等差数列{an},使得对任何自然数 n,等式:

a1+2a2+3a3+?+nan=n(n+1)(n+2) 都成立,并证明你的结论. 分析:采用由特殊到一般的思维方法,先令 n=1,2,3 时找出来{an},然后 再证明一般性. 解:将 n=1,2,3 分别代入等式得方程组.
?a1 ? 6 ? , ?a1 ? 2a 2 ? 24 ?a ? 2a ? 3a ? 60 2 3 ? 1

解得 a1=6,a2=9,a3=12,则 d=3. 故存在一个等差数列 an=3n+3,当 n=1,2,3 时,已知等式成立. 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列 an=3n+3, 对大于 3 的自然数, 等式 a1+2a2+3a3+?+nan=n(n+1)(n+2)都成立. 因为起始值已证,可证第二步骤. 假设 n=k 时,等式成立,即 a1+2a2+3a3+?+kak=k(k+1)(k+2) 那么当 n=k+1 时, a1+2a2+3a3+?+kak +(k+1)ak+1 = k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3] =(k+1)(k2+2k+3k+6) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2] 这就是说,当 n=k+1 时,也存在一个等差数列 an=3n+3 使 a1+2a2+3a3+? +nan=n(n+1)(n+2)成立. 综合上述,可知存在一个等差数列 an=3n+3,对任何自然数 n,等式 a1+2a2+3a3+?+nan=n(n+1)(n+2)都成立. 例 3.证明不等式 1 ?
1 2 ? 1 3 ??? 1 n ? 2 n (n∈N).

证明:①当 n=1 时,左边=1,右边=2. 左边<右边,不等式成立.

②假设 n=k 时,不等式成立,即 1 ? 那么当 n=k+1 时,
1? 1 2 ? 1 3
1 k ?1

1 2

?

1 3

???

1 k

?2 k .

???

1 k

?

1 k ?1

?2 k ?

?

2 k k ?1 ?1 k ?1

?

k ? ?k ? 1? ? 1 k ?1

?

2?k ? 1? k ?1

? 2 k ?1

这就是说,当 n=k+1 时,不等式成立. 由①、②可知,原不等式对任意自然数 n 都成立.


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