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0-1背包问题的解决(回溯法)


前面这块转贴原理及 c++代码实现的回溯算法-----带剪枝的递归回溯;最后给出一个不带 剪枝的 c 语言描述的 递归回溯算法且不能给出选择方案,只给出最大价值 回溯法:

回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。 它在包含问题的所有解 的解空间树中,按照深度优先的策略,从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至 解空间树的任一结点时, 总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定 不包含,则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索,逐层向其祖先结点回溯。否 则,进入该子树,继续按深度优先的策略进行搜索。回溯法在用来求问题的所有 解时,要回溯到根,且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来 求问题的任一解时, 只要搜索到问题的一个解就可以结束。这种以深度优先的方 式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法, 它适用于解一些组合数较大的问题。 二、算法框架: 1、问题的解空间:应用回溯法解问题时,首先应明确定义问题的解空间。问题 的解空间应到少包含问题的一个(最优)解。 2、回溯法的基本思想:确定了解空间的组织结构后,回溯法就从开始结点(根 结点)出发,以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结 点,同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处,搜索向纵深方向移至一 个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点,并成为当前扩展结点。如果在当 前的扩展结点处不能再向纵深方向移动,则当前扩展结点就成为死结点。换句话 说,这个结点不再是一个活结点。此时,应往回移动(回溯)至最近的一个活结 点处, 并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在 解空间中搜索,直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。 运用回溯法解题通常包含以下三个步骤: (1)针对所给问题,定义问题的解空间; (2)确定易于搜索的解空间结构; (3)以深度优先的方式搜索解空间,并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜 索; 3、递归回溯:由于回溯法是对解空间的深度优先搜索,因此在一般情况下可用 递归函数来实现回溯法。 【概要设计】 0—1 背包问题是一个子集选取问题,适合于用子集树表示 0—1 背包问题的解空 间。 在搜索解空间树是, 只要其左儿子节点是一个可行结点, 搜索就进入左子树, 在右子树中有可能包含最优解是才进入右子树搜索。否则将右子树剪去。 int c;//背包容量 int n; //物品数 int *w;//物品重量数组 int *p;//物品价值数组 int cw;//当前重量 int cp;//当前价值 int bestp;//当前最优值

int *bestx;//当前最优解 int *x;//当前解 int Knap::Bound(int i)//计算上界 void Knap::Backtrack(int i)//回溯 int Knapsack(int p[],int w[],int c,int n) //为 Knap::Backtrack 初始化 【详细设计】 #include<iostream> using namespace std;

class Knap { friend int Knapsack(int p[],int w[],int c,int n ); public: void print() { for(int m=1;m<=n;m++) { cout<<bestx[m]<<" "; } cout<<endl; }; private: int Bound(int i); void Backtrack(int i); int int int int int int int int int }; c;//背包容量 n; //物品数 *w;//物品重量数组 *p;//物品价值数组 cw;//当前重量 cp;//当前价值 bestp;//当前最优值 *bestx;//当前最优解 *x;//当前解

int Knap::Bound(int i) { //计算上界 int cleft=c-cw;//剩余容量 int b=cp; //以物品单位重量价值递减序装入物品 while(i<=n&&w[i]<=cleft) { cleft-=w[i]; b+=p[i]; i++; } //装满背包 if(i<=n) b+=p[i]/w[i]*cleft; return b; }

void Knap::Backtrack(int i) { if(i>n) { if(bestp<cp) { for(int j=1;j<=n;j++) bestx[j]=x[j]; bestp=cp; } return; } if(cw+w[i]<=c) //搜索左子树 { x[i]=1; cw+=w[i]; cp+=p[i]; Backtrack(i+1); cw-=w[i]; cp-=p[i]; } if(Bound(i+1)>bestp)//搜索右子树 { x[i]=0;

Backtrack(i+1); } }

class Object { friend int Knapsack(int p[],int w[],int c,int n); public: int operator<=(Object a)const { return (d>=a.d); } private: int ID; float d; };

int Knapsack(int p[],int w[],int c,int n) { //为 Knap::Backtrack 初始化 int W=0; int P=0; int i=1; Object *Q=new Object[n]; for(i=1;i<=n;i++) { Q[i-1].ID=i; Q[i-1].d=1.0*p[i]/w[i]; P+=p[i]; W+=w[i]; } if(W<=c) return P;//装入所有物品 //依物品单位重量排序 float f; for( i=0;i<n;i++) for(int j=i;j<n;j++) { if(Q[i].d<Q[j].d) { f=Q[i].d;

Q[i].d=Q[j].d; Q[j].d=f; }

} Knap K; K.p = new int[n+1]; K.w = new int[n+1]; K.x = new int[n+1]; K.bestx = new int[n+1]; K.x[0]=0; K.bestx[0]=0; for( i=1;i<=n;i++) { K.p[i]=p[Q[i-1].ID]; K.w[i]=w[Q[i-1].ID]; } K.cp=0; K.cw=0; K.c=c; K.n=n; K.bestp=0; //回溯搜索 K.Backtrack(1); K.print(); delete [] Q; delete [] K.w; delete [] K.p; return K.bestp; } void main() { int *p; int *w; int c=0; int n=0; int i=0; cout<<"请输入背包个数:"<<endl; cin>>n; p=new int[n+1];

w=new int[n+1]; p[0]=0; w[0]=0; cout<<"请输入个背包的价值:"<<endl; for(i=1;i<=n;i++) cin>>p[i]; cout<<"请输入个背包的重量:"<<endl; for(i=1;i<=n;i++) cin>>w[i]; cout<<"请输入背包容量:"<<endl; cin>>c; cout<<Knapsack(p,w,c,n)<<endl; } /*c*/ #include "stdio.h" #define N 5 int bestp; int cp; int x[N]; void knap(int c[N],int v[N],int t,int m) { int i; if(t>N-1) { if(bestp<cp) bestp=cp; } else { if(c[t]<=m) { cp+=v[t]; m-=c[t]; knap(c,v,t+1,m); m+=c[t]; cp-=v[t]; } knap(c,v,t+1,m); }

} main() { int c[]={2,2,6,5,4},v[]={6,3,5,4,6}; int m=10; knap(c,v,0,m); printf("%d\n",bestp); }


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