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高考数学北师大版(通用,理)总复习讲义 8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离

§ 8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 1. 空间向量与空间角的关系 π (1)已知异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 s1,s2,当 0≤〈s1,s2〉≤ 时,直线 l1 与 l2 的夹角等于〈s1, 2 s2〉 ; π 当 <〈s1,s2〉≤π 时,直线 l1 与 l2 的夹角等于 π-〈s1,s2〉 . 2 π (2)已知平面 π1 和 π2 的法向量分别为 n1 和 n2,当 0≤〈n1,n2〉≤ 时,平面 π1 与 π2 的夹角等于〈n1, 2 n2〉 ; π 当 <〈n1,n2〉≤π 时,平面 π1 与 π2 的夹角等于 π-〈n1,n2〉 . 2 (3)已知直线 l 的方向向量为 s,平面 π 的法向量为 n,则直线 l 与平面 π 的夹角 θ 满足:sin θ=|cos〈s, n〉|. 2. 距离公式 点到直线的距离公式:d= → → 2 |PA|2-|PA· s0| . → 点到平面的距离公式:d=|PA· n0|. 1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角. (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角. (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角. π π (4)两异面直线夹角的范围是(0, ],直线与平面所成角的范围是[0, ]. 2 2 (5)直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量夹角为 120° ,则 l 和 α 所成角为 30° . ( × ) ( × ) ( × ) ( √ ) ( √ ) π 2. 已知二面角 α-l-β 的大小是 ,m,n 是异面直线,且 m⊥α,n⊥β,则 m,n 所成的角为 3 ( 2π A. 3 π B. 3 π C. 2 π D. 6 ) 答案 B 解析 ∵m⊥α,n⊥β, ∴异面直线 m,n 所成的角的补角与二面角 α-l-β 互补. π 又∵异面直线所成角的范围为(0, ], 2 π ∴m,n 所成的角为 . 3 3. 在空间直角坐标系 Oxyz 中,平面 OAB 的一个法向量为 n=(2,-2,1),已知点 P(-1,3,2),则点 P 到平 面 OAB 的距离 d 等于 A.4 答案 B 解析 P 点到平面 OAB 的距离为 → |OP· n| |-2-6+2| d= = =2,故选 B. |n| 9 4. 若平面 α 的一个法向量为 n=(4,1,1),直线 l 的一个方向向量为 a=(-2,-3,3),则 l 与 α 所成角的正 弦值为_____________. 答案 4 11 33 B.2 C.3 D.1 ( ) 解析 ∵n· a=-8-3+3=-8,|n|= 16+1+1=3 2, |a|= 4+9+9= 22, -8 4 11 n· a ∴cos〈n,a〉= = =- . |n|· |a| 3 2× 22 33 又 l 与 α 所成角记为 θ,即 sin θ=|cos〈n,a〉|= 4 11 . 33 5. P 是二面角 α-AB-β 棱上的一点,分别在平面 α、β 上引射线 PM、PN,如果∠BPM=∠BPN=45° , ∠MPN=60° ,那么平面 α 与 β 的夹角为________. 答案 90° 解析 不妨设 PM=a,PN=b,如图, 作 ME⊥AB 于 E,NF⊥AB 于 F, ∵∠EPM=∠FPN=45° , ∴PE= 2 2 a,PF= b, 2 2 → → → → → → ∴EM· FN=(PM-PE)· (PN-PF) → → → → → → → → =PM· PN-PM· PF-PE· PN+PE· PF =abcos 60° -a× 2 2 2 2 bcos 45° - abcos 45° + a× b 2 2 2 2 = ab ab ab ab - - + =0, 2 2 2 2 → → ∴EM⊥FN,∴平面 α 与 β 的夹角为 90° . 题型一 求异面直线所成的角 例 1 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=1,E 为 CC1 的中点,则异面直线 BC1 与 AE 所成角 的余弦值为 A. 10 10 B. 30 10 2 15 C. 10 3 10 D. 10 ( ) → → 思维启迪 本题可以通过建立空间直角坐标系,利用向量BC1、AE所成的角来求. 答案 B 解析 建立坐标系如图,则 A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2). → → BC1=(-1,0,2),AE=(-1,2,1), → → BC1· AE 30 → → cos〈BC1,AE〉= = . 10 → → |BC1|· |AE| 所以异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为 思维升华 30 . 10 用向量方法求两条异面直线所成的角,是通过两条直线的方向向量的夹角来求解,而两异 π? 面直线所成角的范围是 θ∈? ?0,2?,两向量的夹角 α 的范围是[0,π],所以要注意二者的区别与联系, 应有 cos θ=|cos α|. 已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为正方形,AA1=2AB,E 为 AA1 的中点, 则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为 A. 10 10 1 B. 5 3 10 C. 10 3 D. 5 ( ) 答案 C 解析 如图,以 D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. 设 AA1=2AB=2,则 B(1,1,0),E(1,0,1),C(0,1,0),D1(0,0,2), → ∴BE=(0,-1,1), → CD1=(0,-1,2), 1+2 3 10 → → ∴cos〈BE,CD1〉= = . 10 2· 5 题型二 求直线与平面所成的角 例 2 如图,已知四棱锥 P—ABCD 的底面为等腰梯形,AB∥CD, AC⊥BD,垂足为 H,PH 是四

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