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立体几何证明垂直专项含练习题及答案


立体几何证明------垂直
一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有:_________,_________,_________三种。 2.(公理 4)平行于同一条直线的两条直线互相_________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这 个平面相交,那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理 1:如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面,那么这两 个平面平行. 8.线面垂直性质定理:垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二.知识点梳理
知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义 语言描述 如果直线 l 和平面α 内的任意一条直 线都垂直,我们就说直线 l 与平面{ INCLUDEPICTURE "http://222.60.80.64/text/3fe6d6eeeb3 1e3a129b7b7d3d79c7c68/tbjx.files/im age002.gif" \* MERGEFORMATINET | 互 相 垂 直,记作 l⊥α 图形

判定 一条直线与一个平面内的两条相交 直线都垂直,则这条直线与该平面垂 直.

b 为平面α 内的任一直线,而 l 对这 ⊥,⊥,∩=B,?,? 一直线总有 l⊥α 结论 ⊥ ⊥ 要点诠释:定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线” ,这与“无数条直线”不 同(线线垂直线面垂直) 知识点二、直线和平面垂直的性质 性质
1

条件

语言描述 图形 条件 结论

一条直线垂直于一个平面, 那么这条 垂直于同一个平面的两条直线平行. 直线垂直于这个平面内的所有直线

知识点三、二面角 Ⅰ.二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角(dihedral angle). 这条直线叫做二 面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角. (简记) 二面角的平面角的三个特征: ⅰ. 点在棱上 ⅱ. 线在面内 ⅲ. 与棱垂直 Ⅱ.二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面内分别作垂直于棱的射线和, 则射线和构成的叫做二面角的平面角. 作用:衡量二面角的大小;范围:.

知识点四、平面和平面垂直的定义和判定 定义 判定 两个平面相交, 如果它们所成的二面 一个平面过另一个平面的垂线,则这 角是直二面角,就说这两个平面垂 两个平面垂直 直.

文字描述

图形 结果 α ∩β =l α -l-β =90o α ⊥β (垂直问题中要注意题目中的文字表述,特别是“任何” 随意” “ “无数”等字眼)

三.常用证明垂直的方法 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直, 而证明线线垂直一般有以下的一些方法: (1) (2) (3) (4) 通过“平移” 。 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 利用勾股定理。 利用直径所对的圆周角是直角

(1)

通过“平移”,根据若

1.在四棱锥 P-ABCD 中,△PBC 为正三角形,AB⊥平面 PBC,AB∥CD,AB=DC,. 求证:AE⊥平面 PDC. D A
2

E B C

P

2.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD, ∠PDA=45°,点 E 为棱 AB 的中点.求证:平面 PCE⊥平面 PCD;

A

.
C D

O

B

P

F

E B

A C

D

(第 2 题 图)

(2)利用等腰三角形底边上的中线的性质
3、在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90? , AP ? BP ? AB , PC ? AC . (Ⅰ)求证: PC ? AB ;

P

A C

B

(3)利用勾股定理
4.如图,四棱锥的底面是边长为 1 的正方形,
3

求证:平面;
P _

A _

D _

B _

C _

(4)利用直径所对的圆周角是直角
5、如图,AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点,PA⊥平面 ABC. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC;

课堂及课后练习题:
1.判断下列命题是否正确,对的打“√” ,错误的打“×” 。
4

(1)垂直于同一直线的两个平面互相平行 ( ) (2)垂直于同一平面的两条直线互相平行 ( ) (3)一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线垂直( 2.已 知 直 线 a,b 和 平 面 , 且 则 b 与 的 ________________________________________________. 3.如图所示,在四棱锥中,,,,是的中点,是上的点,且,为中边上的高。 (1)证明: ;

) 位 置 关 系 是

4.如图所示, 四棱锥 PABCD 底面是直角梯形底面 ABCD, E 为 PC 的中点, PA=AD。 证明: ;

5.如图,在三棱锥 P ? ABC 中,⊿ PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90 ? 证明:AB⊥PC

5

6.如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点, (1)求证:平面 BCD; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小;
A

D O B E C

7.如图,四棱锥 S ? ABCD中,, BC ? CD ,侧面 SAB 为等边三角形,
AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1 .

(Ⅰ)证明: SD ? 平面SAB ;

8.如图,在圆锥 PO 中,已知 PO = 2 ,⊙O 的直径 AB ? 2 ,C 是狐 AB 的中点, D 为 AC 的中点.证 明:平面 POD ? 平面 PAC ;
6

课堂及课后练习题答案: 1 (1) √ (2) √ (3)√ 2. 3. 证明:因为为中边上的高,所以,又因为,所以, ,所以 4.分析:取 PD 的中点 F,易证 AF//BE, 易证 AF⊥平面 PDC,从而 .5.证明:因为 ?PAB 是等边三角形, ?PAC ? ?PBC ? 90? , 所以 Rt ?PBC ? Rt ?PAC ,可得 AC ? BC 。 如图,取 AB 中点 D ,连结 PD , CD , 则 PD ? AB , CD ? AB , 所以 AB ? 平面 PDC , 所以 AB ? PC 。 6.(1)证明:连结 OC

在中,由已知可得 而 即 平面 7. (I)取 AB 中点 E,连结 DE,则四边形 BCDE 为 矩形,DE=CB=2,连结 SE,则 SE ? AB, SE ? 3.
2 2 2 又 SD=1,故 ED ? SE ? SD ,

所以 ?DSE 为直角。
7

由 AB ? DE, AB ? SE, DE ? SE ? E , 得 AB ? 平面 SDE,所以 AB ? SD 。 SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直。 所以 SD ? 平面 SAB。

8


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