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湖北省八校2011届高三第一次联考数学试题文科


1

2

3

4

2011 届湖北八校第一次联考数学试题(文科) 联考数学试题( 参 考 答 案
题号 答案

2010. 12
7
A

1 D

2 B

3
A

4 B

5 C

6
D

8 C

9 C
10 3

10
B

11 .

π
4

12 . ?13

13.


?9

14 .

2 n+1 ? 2

15 .

16 . (Ⅰ)∵ p // q

12 cos 2 A = (1 ? sin A) ? 2sin A , 7

∴ 6(1 ? 2sin 2 A) = 7 sin A(1 ? sin A) , 5sin 2 A + 7 sin A ? 6 = 0 , ∴ sin A =

3 6分 . (sin A = ?2舍) 5 1 4 (Ⅱ)由 S ?ABC = bc sin A = 3, b = 2 ,得 c = 5 ,又 cos A = ± 1 ? sin 2 A = ± , 2 5

∴ a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A = 4 + 25 ? 2 × 2 × 5 cos A = 29 ? 20 cos A ,
当 cos A =

4 时, a 2 = 13, a = 13 ; 5 4 当 cos A = ? 时, a 2 = 45, a = 3 5 . 5

10 分 12 分

17 . (Ⅰ)设 {an } 的公差为 d ≠ 0 ,则 S9 = 9a1 +

9×8 d = 135 ,∴ a1 + 4d = 15 ……① 2

2 又∵ a3 , a4 , a12 成等比数列,∴ a4 = a3 ? a12 ,即 ( a1 + 3d ) 2 = ( a1 + 2 d )( a1 + 11d ) ,

化简,得

13d + 7 a1 = 0

………………② 6分

由①②,得: d = 7, a1 = ?13 , ∴ an = a1 + ( n ? 1) d = 7 n ? 20 . (Ⅱ)由于 am = am +1 ? d , am + 2

2 2 2 am + am + 2 am +1 + d 2 d2 = am +1 + d ,∴ = = am +1 + , 2am +1 am +1 am +1

设 ak = am +1 +

d2 49 7 , 则 7 k ? 20 = 7( m + 1) ? 20 + ,即 k = m + 1 + , am +1 7(m + 1) ? 20 7 m ? 13

由于 k 、 m 为正整数,所以 7 必须能被 7m ? 13 整除,

∴ 7 m ? 13 = 1, ?1, 7, ?7 ,∴ m = 2, k = 10 ,
2 2 am + am+ 2 仍为 {an } 中的一项. 故存在唯一的正整数 m = 2 ,使 2am +1

12 分

5

18 . (Ⅰ) f ( x ) 在 [0, +∞) 上是增函数.

2分

1 1 ∵ f ( x) + f ( ) = ?1 + 2 log 2 ( x 2 + 2 ) ,∴ f (1) + f (1) = ?1 + 2 log 2 (1 + 1) = 1, x x 1 4分 ∴ f (1) = . 2
(Ⅱ)因为 f ( x ) 是偶函数,所以 f (

kx + 3 x2 + 9

)= f(

kx + 3 x2 + 9

),

不等式就是 f (

kx + 3 x2 + 9

) > f (1) ,∵ f ( x ) 在 [0, +∞) 上递增,



kx + 3 x +9
2

>1

∴ kx + 3 > x 2 + 9 ,
∴ (1 ? k 2 ) x 2 ? 6kx < 0 ,

6分

k 2 x 2 + 6kx + 9 > x 2 + 9.
2

①若 k = 0 ,则 x < 0 ,∴ 不等式解集为 φ ;

6k 6k < x < 0, ∴ 不等式解集为 ( , 0) ; 2 1? k 1? k 2 6k 6k ③若 0 < k < 1 ,则 0 < x < , ∴ 不等式解集为 (0, ). 2 1? k 1? k2
②若 ?1 < k < 0 ,则

12 分

19 . (Ⅰ)∵ C , D 关于直线 l 对称∴C 点坐标为 (2 × 34 ? 44, 16) 即 (24, 16) ,
? ? 22 = a sin ? + b ? π ? ?19 = a sin( + ? ) + b 6 ? π ? ?16 = a sin( 3 + ? ) + b ?

① ② ③

把 A 、 B 、 C 的坐标代入解析式,得

② ? ①,得

π a[sin( + ? ) ? sin ? ] = ?3 ,③ ? ①,得 6

π a[sin( + ? ) ? sin ? ] = ?6 , 3

π π 3 3 ∴ 2sin( + ? ) ? 2sin ? = sin( + ? ) ? sin ? ,∴ cos ? + 3s in ? = cos ? + sin ? , 6 3 2 2
∴ (1 ? 3 3 3 ) cos ? = ( ? 3) sin ? = 3( ? 1) sin ? , 2 2 2 3 ,∵ 0 < ? < π 3 ∴? = π ?

∴ tan ? = ?

π
6

=

5π , 代入②,得 b = 19 , 6

6

再由①,得 a = 6 ,

∴ a = 6, b = 19 , ? =

于是, ABC 段的解析式为 y = 6sin(

π
72

x+

5π ) + 19 , 6

5π . 6

7分

由对称性得, DEF 段的解析式为 y = 6 sin[

π



π
72

(68 ? xF ) +

∴ 当 x = 92 时,股价见顶.

5π π = , 解得 xF = 92 , 6 2

72

(68 ? x ) +

5π ] + 19 , 6

10 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, yF = 6 + 19 = 25 ,故这次操作老张能赚 5000 × (25 ? 16) = 45 000 元. 12 分

20 (Ⅰ) . 设圆心 M ( a , 0) , 由已知, M 到 l : 8 x ? 6 y ? 3 = 0 的距离为 12 ? ( 得
∴ | 8a ? 3 | 82 + 6 2 =

3 2 1 ) = , 2 2

1 ,又∵ M 在 l 的下方,∴ 8a ? 3 > 0 ,∴8a ? 3 = 5 , a = 1 ,故圆的方程为 2
4分

( x ? 1) 2 + y 2 = 1 .

(Ⅱ)设 AC 斜率为 k1 , BC 斜率为 k2 ,则直线 AC 的方程为 y = k1 x + t ,直线 BC 的 方 程 为 y = k2 x + t + 6 . 由 方 程 组 ?

? y = k1 x + t 6 , 得 C 点 的 横 坐 标 为 xc = , k1 ? k 2 ? y = k2 x + t + 6

∵| AB |= t + 6 ? t = 6 ,∴ S =

1 6 18 , | | ?6 = 2 k1 ? k 2 k1 ? k 2 | k1 + t | 1 + k12
,∴ k1 =

由于圆 M 与 AC 相切,所以 1 =

1 ? (t + 6)2 1? t2 ;同理, k2 = , 2t 2(t + 6)
10 分

∴ k1 ? k2 =

3(t 2 + 6t + 1) 6(t 2 + 6t ) 1 ,∴ S = 2 = 6(1 ? 2 ), 2 t + 6t t + 6t + 1 t + 6t + 1

∵ ?5 ≤ t ≤ ?2 ,∴?2 ≤ t + 3 ≤ 1 ,∴ ?8 ≤ t 2 + 6t + 1 ≤ ?4 ,
1 15 1 27 . 13 分 ∴ S max = 6(1 + ) = , S min = 6(1 + ) = 4 2 8 4 1 1 21 .(Ⅰ)当 a = 1 时, F ( x ) = ? x 4 + x 3 + 2 x 2 + b , F ( x ) = 0 ? b = x 4 ? x 3 ? 2 x 2 , 4 4 1 4 3 2 记 g ( x ) = x ? x 3 ? 2 x 2 ,则 g ′( x ) = x ? 3 x ? 4 x = x ( x + 1)( x ? 4) , 4
令 g ′( x ) = 0 ,得 x = ?1, 0, 4 ,当 x 变化时, g ′( x )、g ( x ) 的变化情况如下表:

7

x
g ′( x) g ( x)

( ?∞, ?1)

?1

( ?1, 0)

0 0
极大值

(0, 4)

4

(4, +∞ )

?
?

0
极小值

+
?

?
?

0
极小值

+
?

3 ? 4

0

?32

由已知,知直线 y = b 与 y = g ( x ) 的图象有且只有两个公共点,所以, ?32 < b < ? 或 b > 0 ,∴ b 的取值范围为 ( ?32, ? ) ∪ (0, + ∞ ) .

3 , 4

3 4

5分

(Ⅱ) F ′( x) = ? x 3 + 3ax 2 + ( a 2 + 5a ? 2) x = ? x[ x 2 ? 3ax ? (a 2 + 5a ? 2)] , 则 x1 , x2 是 x 2 ? 3ax ? ( a 2 + 5a ? 2) = 0 的 两 个 不 相 等 的 非 零 实 根 ,

∴? = 9a 2 + 4(a 2 + 5a ? 2) = 13a 2 + 20a ? 8 > 0 ,且 a 2 + 5a ? 2 ≠ 0 ………………(*)
不妨设 F ( x1 ) = b ,∴?

1 4 a 2 + 5a ? 2 2 x1 + ax13 + x1 = 0 ,即 4 2

∴ ? x12 + 4ax1 + 2( a 2 + 5a ? 2) = 0 …………………①
又∵ x12 ? 3ax1 ? ( a 2 + 5a ? 2) = 0 ……………………② ① + ②,得 代入②,得

ax1 + ( a 2 + 5a ? 2) = 0 ,即 ?( a 2 + 5a ? 2) = ax1 ………………③

x12 ? 2ax1 = 0 ,∵ x1 ≠ 0 ,∴ x1 = 2a ,代入③,得 3a 2 + 5a ? 2 = 0 ,

1 1 1 ∴ a = ?2 或 a = . 经检验, a = ?2 或 a = 都满足(*),故 a = ?2 或 a = . 3 3 3
10 分 (Ⅲ)当 a ∈ [ ?1, 0] 时,可知 ? = 13a 2 + 20 a ? 8 < 0 ,∴

∴ x 2 ? 3ax ? (a 2 + 5a ? 2) > 0 恒成立,∴ x > 0 时, F ′( x ) < 0 ; x < 0 时, F ′( x ) > 0 .
∴ F ( x) 在 ( ?∞, 0) 内递增,在 (0, + ∞) 内递减, ∴ F ( x) 在 [ ?2, 2] 上的最小值 min{F (?2), F (2)} = 2a 2 + 18a ? 8 + b ≥ ?8 恒成立,

9 81 ∴ b ≥ ?2a 2 ? 18a = ?2[(a + ) 2 ? ] ,当 a = ?1 时, ?2a 2 ? 18a 取最大值 16 , 2 4
所以 b 的取值范围为 [16, + ∞ ) . 14 分

8


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