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高中数学必修一函数的性质奇偶性精选习题测试


奇偶性 1.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,那么 g(x)=ax3+bx2+cx( A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 ) D.a=3,b=0 ) )

2.已知函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a] ,则( A. a

?

1 ,b=0 3

B.a=-1,b=0

C.a=1,b=0

3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x,则 f(x)在 R 上的表达式是( A.y=x(x-2) B.y =x(|x|-1) C.y =|x|(x-2) )

D.y=x(|x|-2)

4.已知 f(x)=x5+ax3+bx-8,且 f(-2)=10,那么 f(2)等于( A.-26 B.-18 C.-10 D.10

5.函数

f ( x) ?

? x ?1 是( 1? x ? x ?1
2

1? x2



A.偶函数

B.奇函数

C.非奇非偶函数

D.既是奇函数又是偶函数 )

6.若 ? (x ) ,g(x)都是奇函数, A.最小值-5

f ( x) ? a? ? bg( x) ? 2 在(0,+∞)上有最大值 5,则 f(x)在(-∞,0)上有(
C.最小值-1 D.最大值-3

B.最大值-5

7.函数

f ( x) ?

x?2 ?2 1? x2

的奇偶性为________(填奇函数或偶函数)



8.若 y=(m-1)x2+2mx+3 是偶函数,则 m=_________. 9.已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若

f ( x) ? g ( x) ?

x ?1

1

,则 f(x)的解析式为_______.

10.已知函数 f(x)为偶函数,且其图象与 x 轴有四个交点,则方程 f(x)=0 的所有实根之和为________. 11.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m) ,求实数 m 的取值范围. 12.已知函数 f(x)满足 f(x+y)+f(x-y)=2f(x) (y) x ? R,y ? R) ·f ( ,且 f(0)≠0,试证 f(x)是偶函数. 13.已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x3+2x2—1,求 f(x)在 R 上的表达式. 14.f(x)是定义在(-∞,-5] ? [5,+∞)上的奇函数,且 f(x)在[5,+∞)上单调递减,试判断 f(x)在(-∞,-5] 上的单调性,并用定义给予证明. 15.设函数 y=f(x) x ? R 且 x≠0)对任意非零实数 x1、x2 满足 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2) ( , 求证 f(x)是偶函数. 函数的奇偶性练习参考答案

? 1. 解析: x) ax2+bx+c 为偶函数, ( x) ( = f

? x 为奇函数, g x) ax3+bx2+cx=(x)? (x) 满足奇函数的条件. ∴( = f ·
?



案:A 2.解析:由 f(x)=ax2+bx+3a+b 为偶函数,得 b=0.又定义域为[a-1,2a] a-1=2a,∴ a ,∴

1 .故选 A. 3

3.解析:由 x≥0 时,f(x)=x2-2x,f(x)为奇函数,∴当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=-x2-2x=x(-

x-2) .∴

? x( x ? 2) f ( x) ? ? ? x(? x ? 2)

( x ? 0), 即 f(x)=x(|x|-2)答案:D 4.解析:f(x)+8=x5+ax3+bx 为奇函数, ( x ? 0),

f(-2)+8=18,∴f(2)+8=-18,∴f(2)=-26.答案:A 5.解析:此题直接证明较烦,可用等价形式 f(-x)+f
(x)=0. 答案:B 6.解析: ? (x ) 、g(x)为奇函数,∴

f ( x) ? 2 ? a? ( x) ? bg( x) 为奇函数.又 f(x)在(0,
∴f(x)在(-∞,0)上有最

+∞)上有最大值 5,

∴f(x)-2 有最大值 3.∴f(x)-2 在(-∞,0)上有最小值-3,

小值-1.答案:C7.答案:奇函数 8.答案:0 解析:因为函数 y=(m-1)x2+2mx+3 为偶函数,∴f(-x)=f(x) ,即 (m-1) x)2+2m(-x)+3=(m—1)x2+2mx+3,整理,得 m=0.9.解析:由 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, (- 可得

f ( x) ? g ( x) ?

1 1 1 1 1 1 ? )? 2 ,联立 f ( x ) ? g ( x ) ? ,∴ f ( x) ? ( .答案: ? x ?1 x ?1 2 x ?1 ? x ?1 x ?1
11.答案: m

f ( x) ?

1 x
2

?1

10.答案:0

?

1 2

12.证明:令 x=y=0,有 f(0)+f(0)=2f(0)(0) ·f ,又 f(0) 。

≠0,∴可证 f(0)=1.令 x=0,∴f(y)+f(-y)=2f(0) (y) ? f(-y)=f(y) ·f ,故 f(x)为偶函数.13.解析:本 题主要是培养学生理解概念的能力.f(x)=x3+2x2-1.因 f(x)为奇函数,∴f(0)=0.当 x<0 时,-x>0,f(-x)=

?x 3 ? (-x)3+2(-x)2-1=-x3+2x2-1,∴f(x)=x3-2x2+1.因此, f ( x ) ? ?0 ?x 3 ?

? 2x 2 ?1 ? 2x ? 1
2

( x ? 0), ( x ? 0),
14.解析: 。

( x ? 0).

任取 x1<x2≤-5,则-x1>-x2≥-5. 因 f(x)在[5,+∞]上单调递减,所以 f(-x1)<f(-x2) ? f(x1)<-f(x2) ,即单调减函数.15.解析:由 x1,x2 ? R 且不为 0 的任意性,令 x1=x2=1 代入可证, ? f(x1)>f(x2)

f(1)=2f(1) ,

∴f(1)=0. 又令 x1=x2=-1,∴f[-1×(-1) ]=2f(1)=0,∴(-1)=0.又令 x1=-1,x2=x,∴f(-x)=f(-1) +f(x)=0+f(x)=f(x) ,即 f(x)为偶函数. 点评:抽象函数要注意变量的赋值,特别要注意一些特殊值,如,x1=x2=1,x1=x2=-1 或 x1=x2=0 等,然后再结合具体 题目要求构造出适合结论特征的式子即可. 函数值域的八大求法 方法一:观察法 例 1. 求函数 y ? 方法二:不等式法

4 ? x2

的值域。

解析:由 x

2

? 0及 4 ? x 2 ? 0, 知 4 ? x 2 ?[0,2] 。故此函数值域为 [0,2] 。

例 2. 求函数

y?

( x 2 ? 1) 2 ( x ? 0) x2 的值域。

解析:

?y ?

( x 2 ? 1) 2 x 4 ? 2x 2 ? 1 1 ? ? 2 ? x2 ? 2 ? 4 2 2 [4,?? ) 。 x x x ,?此函数值域为

方法三:反函数法 例 3. 求函数

y?

x ?1 (x ? ?4) x?2 的值域。

解析:由

y?

x ?1 x?2

x?


2y ? 1 2y ? 1 5 ? ?4 y ? 或y ? 1 1 ? y 。 由 x ? ?4 , 得 1 ? y 2 ,解得 。?此函数值域为

5 (??,1) ? [ ,??) 2 。
方法四:分离常数法

例 4. 求函数 解
2

y?

6( x 2 ? 1) 2 6x 4 ? 13x 2 ? 6 的值域。
析 : :
y

6( x ? 1) 6x ? 12x ? 6 y? 4 ? 4 2 6x ? 13x ? 6 6x ? 13x 2 ? 6 x2 1 1 24 ?1? 4 ?1? ?1? ? 2 6 25 25 6x ? 13x ? 6 2 6x ? 13 ? 2 x 。从而 易知 此函 数值 域为 24 [ ,1] 25 。
2 4 2

0 -1 -2

1 2 (1,-1)

x

评注:此题先分离常数,再利用不等式法求解。注意形如 方法五:判别式法

y?

cx ? d c c (??, ) ? ( ,??) (a ? 0, bc ? ad) a a ax ? b 的值域为 。

例 5. 求函数

y?

x2 ? 1 x 2 ? x ? 1 的值域。
2

解析: 原式整理可得 ( y ? 1)x

? yx ? ( y ? 1) ? 0 。 y ? 1 ? 0 即 y ? 1 时,x ? ?2 原式成立。 y ? 1 ? 0 即 y ? 1 时, 当 当
y?

? ? y 2 ? 4( y ? 1)[?( y ? 1)] ? 0 ,解得
方法六:图象法 例 6. 求函数

2 5 2 5 2 5 2 5 或y ? ? (?? ,? ]?[ ,?? ) 5 5 。综上可得原函数值域为 5 5 。 y ? 1 ? 0 时的情况。 评注:此方法适用于 x 为二次的情形,但应注意

y?

1 x ? 1 ? 1( x ? 0) 的值域。
(??,?2] ? (?1,?? ) 。

解析:作出此函数的图象,如下图所示。可知此函数值域为 方法七:中间变量法

例 7. 求函数

y?

x2 ? 3 x 2 ? 5 的值域。

x2 ?
解 析 : 由 上 式 易 得

5y ? 3 5y ? 3 3 x 2 ? 0, 知 ? 0, 解得y ? ? 或y ? 1 y ?1 。 由 y ?1 5 。 故 此 函 数 值 域 为

3 (??,? ] ? (1,??) 5 。
方法八:配方法 例 8. 求函数 y ? x ? 2 解析:因为 y ? (

x ? 3 的值域。

x ? 1) 2 ? 2 ? 2 ,故此函数值域为 [2,?? ) 。


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