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第四课时(1.2.1任意角的三角函数第二课时)_图文

复习回顾 x 一般地,设角α终边上任意一点(异于原点 )P(x,y), 它到原点(顶点)的距离为r>0,则 y sinα= y ; cosα= x ; tanα= . x r r y x 1.设α 是一个任意角,它 的终边与单位圆交于点P(x,y),角 α 的三角函数是怎样定义的? y sin ? ? y cos ? ? x tan ? ? ( x ? 0) 2.三角函数在各象限的函数值符号分别 如何? 一全正,二正弦,三正切,四余弦. tan(? ? 2k? ) ? tan ? 3.公式 sin(? ? 2k? ) ? sin ?, cos(? ? 2k? ) ? cos ? , tan(? ? 2k? ) ? tan ? ( k ? Z).其数学意义如何? 终边相同的角的同名三角函数值相等. 4.角是一个几何概念,同时角的大小也 具有数量特征.我们从数的观点定义了 三角函数,如果能从图形上找出三角函 数的几何意义,就能实现数与形的完美 统一. 知识探究(一):正弦线和余弦线 思考1:如图,设角α 为第一象限角,其 终边与单位圆的交点为P(x,y),则 cos ? ? x都是正数,你能分 sin ? ? y, 别用一条线段表示角α 的正弦值和余弦 y 值吗? | MP |? y ? sin ? P (x ,y ) | OM |? x ? cos ? O M x 思考2:若角α 为第三象限角,其终边 与单位圆的交点为P(x,y),则 sin ? ? y , cos ? ? x 都是负数,此时 角α 的正弦值和余弦值分别用哪条线 段表示? y ? | MP |? y ? sin ? ? | OM |? x ? cos ? M O x P (x ,y ) 思考3:为了简化上述表示,我们设想 将线段的两个端点规定一个为始点,另 一个为终点,使得线段具有方向性,带 有正负值符号.根据实际需要,应如何 规定线段的正方向和负方向? 规定:线段从始点到终点与坐标轴同向 时为正方向,反向时为负方向. 思考4:规定了始点和终点,带有方向的线 段,叫做有向线段.由上分析可知,当角α 为第一、三象限角时,sinα 、cosα 可分 别用有向线段MP、OM表示,即MP= sinα , OM=cosα ,那么当角α 为第二、四象限角 时,你能检验这个表示正确吗? y P (x ,y ) y x M M O O P (x ,y ) x 思考5:设角α 的终边与单位圆的交点 为P,过点P作x轴的垂线,垂足为M,称 有向线段MP,OM分别为角α 的正弦线和 余弦线.当角α 的终边在坐标轴上时, 角α 的正弦线和余弦线的含义如何? y P M O x P O x y P 思考6:设α 为锐角,你能根据正弦线和 余弦线说明sinα +cosα >1吗? y P O M x MP+OM>OP=1 正切线 思考1:如图,设角α 为第一象限角,其 终边与单位圆的交点为P(x,y),则 y tan ? ? 是正数,用哪条有向线段表示 x 角α 的正切值最合适? y P T y tan ? ? ? AT x O M A x 思考2:若角α 为第四象限角,其终边 y 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? x 是负数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适? y y tan ? ? ? AT x M O A x P T 思考3:若角α 为第二象限角,其终边 y 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? x 是负数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适? T y P A T y tan ? ? ? AT x A M O x 思考4:若角α 为第三象限角,其终边 y 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? x 是正数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适? y T y tan ? ? ? AT x A M O T A x P 思考5:根据上述分析,你能描述正切线 的几何特征吗? y P O A x T P O A T x y 过点A(1,0)作单位圆的切线,与角α 的终边或其反向延长线相交于点T,则 AT=tanα . 思考6:当角α 的终边在坐标轴上时,角 α 的正切线的含义如何? y P P O x 当角α的终边在x轴上时,角α的正切线 是一个点;当角α的终边在y轴上时,角 α的正切线不存在. 思考7:观察下列不等式: p p p sin < < t an 4 4 4 p p p sin < < t an 3 3 3 p p p sin < < t an 6 6 6 你有什么一般猜想? 思考8:对于不等式 sin a < a < tan a (其中α 为锐角),你能用数形结合 思想证明吗? y P O M A x T 二、三角函数线的应用 例1 作出下列各角的正弦线、余弦 线、正切线: ? 5? (1 ) ; (2) ? ; 4 6 2? (3 ) 3 ; 12? (4 ) ? . 5 成立的α 的取值范围. y = 3 2 3 例2 在0~ 2? 内,求使 sin a > 2 y P P1 P2 p 2p a ? ( , ) 3 3 O M x 例3 求函数 f (a ) = 2 cos a - 1 的定义域. y P2 P O M x P1 p p a ?[ + 2k p, + 2k p ](k 3 3 1 x = 2 Z) 练习 . 在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范 3 围,并由此写出角 α 的集合:(1)sin α≥ ; (2)cos α≤ 2 1 - . 2 解 3 (1)作直线 y= 交单位圆于 A、 B 两点, 连接 OA、 OB, 2 α 的 集 合 为 则 OA 与 OB 围成的区域(

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