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【创新设计】2015高考数学(江苏专用,理科)二轮专题整合:40分附加题专项练 必做部分


必做部分
1. 如图,在多面体 ABCDEF 中,ABCD 为正方形,ED⊥平面 ABCD,FB∥ED, 且 AD=DE=2BF=2.

(1)求证:AC⊥EF; (2)求二面角 C-EF-D 的大小. (1)证明 连接 BD,∵FB∥ED,∴F,B,E,D 共面,

∵ED⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴ED⊥AC,又 ABCD 为正方形,∴BD ⊥AC,而 ED∩DB=D,∴AC⊥平面 DBFE,而 EF?平面 DBFE, ∴AC⊥EF. (2)解 如图建立空间直角坐标系.

→ 则 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),F(2,2,1),E(0,0,2),由(1)知AC为平面 DBFE 的 → 法向量,即AC=(-2,2,0), → → 又CE=(0,-2,2),CF=(2,0,1) 设平面 CEF 的法向量为 n=(x,y,z),

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→ ? ?CE· n=0, 则有? → ? ?CF· n=0, ?-2y+2z=0, 1 即? 取 z=1,则 x=-2,y=1, ?2x+z=0, ? 1 ? ∴n=?-2,1,1? ? ? → → 1+2 n· AC 2 则 cos 〈n,AC〉= =3 =2, → |n||AC| 2×2 2 π 又平面 CEF 与平面 DBFE 的二面角为锐角,所以 θ=4. 2.某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛,每个年级选出 3 名学生组成代表 队,比赛规则是:①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛;②代表队中 每名队员至少参加一盘比赛,但不能参加两盘单打比赛.若每盘比赛中高一、 3 4 高二获胜的概率分别为7,7. (1)按比赛规则,高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容? (2)若单打获胜得 2 分,双打获胜得 3 分,求高一年级得分 ξ 的概率分布列和数 学期望. 解 法,
2 1 所以,高一年级代表队出场共有 A3 C2=12 种不同的阵容. 1 (1)先安排参加单打的队员有 A2 3种方法,再安排参加双打的队员有 C2种方

(2)ξ 的取值可能是 0,2,3,4,5,7. 64 96 48 P(ξ=0)=343,P(ξ=2)=343,P(ξ=3)=343, 36 72 27 P(ξ=4)=343,P(ξ=5)=343,P(ξ=7)=343. ξ 的概率分布列为 ξ P 0 64 343 2 96 343 3 48 343 4 36 343 5 72 343 7 27 343

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64 96 48 36 72 27 所以 E(ξ)=0×343+2×343+3×343+4×343+5×343+7×343=3. 3.已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线. (1)分别求出凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数; (2)猜想凸 n 边形的对角线条数 f(n),并用数学归纳法证明. 解 (1)凸四边形的对角线条数为 2 条;

凸五边形的对角线条数为 5 条; 凸六边形的对角线条数为 9 条. (2)猜想 f(n)= 证明 n?n-3? * 2 (n≥3,n∈N ).

(1)当 n=3 时,f(3)=0 成立. k?k-3? 2 .

(2)假设当 n=k(k≥3)时猜想成立,即 f(k)=

则当 n=k+1 时,考察 k+1 边形 A1A2?AkAk+1. 1° k 边形 A1A2?Ak 中原来的对角线都是 k+1 边形中的对角线,且边 A1Ak 也成 为 k+1 边形中的对角线; 2° 在 Ak+1 与 A1,A2,?,Ak 连接的 k 条线段中,除 Ak+1A1,Ak+1Ak 外,都是 k +1 边形中的对角线,故共计有 f(k+1)=f(k)+1+(k-2)= = = k?k-3? 2 +1+(k-2)

k2-3k+2k-2 k2-k-2 = 2 2 ?k+1??k-2? ?k+1??k+1-3? = , 2 2

即猜想对 n=k+1 时也成立. 综合(1)(2)得 f(n)= n?n-3? 对任何 n≥3,n∈N*都成立. 2

4.设 m 是给定的正整数,有序数组(a1,a2,a3,?,a2m)中 ai=2 或-2(1≤i≤2m). a2k-1 (1)求满足“对任意的 k(k∈N*,1≤k≤m),都有 a =-1”的有序数组(a1,a2, 2k a3,?,a2m)的个数 A;

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? 2l ? ?ai? (2)若对任意的 k,l(k,l∈N*,1≤k≤l≤m)都有? ?i=2k-1?≤4 成立,求满足“存在 ? ? a2k-1 k(k∈N*,1≤k≤m),使得 a ≠-1”的有序数组(a1,a2,a3,?,a2m)的个数 2k B. 解 a2k-1 (1)因为对任意的 k 满足 1≤k≤m,都有 a =-1, 2k

则(a2k-1,a2k)=(2,-2)或(a2k-1,a2k)=(-2,2)共有 2 种, 所以(a1,a2,a3,?,a2m)共有 2m 种不同的选择, 所以 A=2m.
m-1 (2)当存在一个 k 时,那么这一组有 2C1 种,所以共有 m种,其余的由(1)知有 2 m-1 2C1 种; m2

当存在两个 k 时,因为条件对任意的 k,l 满足 1≤k≤l≤m, ? 2l ? 2 ?ai? 都有? ?i=2k-1?≤4 成立,得这两组共有 2Cm种, ? ?
2 m-2 其余的由(1)知有 2m-2 种,所以共有 2Cm 2 种;??, m 1 m 2 m 依次类推得 B=2C1 +2C2 +?+2Cm =2(3m-2m). m2 m2
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